Analiza Matematyczna dla Matematyki WPPT, lista 25

Analiza Matematyczna dla Matematyki WPPT, lista 25
Zadanie 1. Dla (x, y, z) 6= (0, 0, 0) określmy funkcję f (x, y, z) = √
x2
1
. Wykaż, że spełnia
+ y2 + z2
ona równanie Laplace’a
∂ 2 f (x, y, z) ∂ 2 f (x, y, z) ∂ 2 f (x, y, z)
+
+
= 0.
∂x2
∂y 2
∂z 2
1
, (x, y) 6= (0, 0),
+ y2
= 0 ale równanie takie spełnia funkcja f (x, y) =
Wykorzystując częściowo poprzednie rachunki sprawdź, że f (x, y) = √
nie spełnia równania Laplace’a
√
ln x2 + y 2 .
∂ 2 f (x,y)
∂x2
+
∂ 2 f (x,y)
∂y 2
x2
Zadanie 2. Znajdź kresy górne i dolne zbiorów wartości poniższych funkcji w podanych dziedzinach.
2
2
a) f (x, y) = (x2 + y 2 )e−(x +y ) , (x, y) ∈ R2 , b) f (x, y) = xy ln(x2 + y 2 ), x > 0, y > 0,
c) f (x, y, z) = (x + y + z)e−(x+2y+3z) , x > 0, y > 0, z > 0.
Zadanie 3. Sprawdź, że funkcja f (x, y) = (1 + ey ) cos x − yey ma nieskończenie wiele maksimów
lokalnych i ani jednego minimum lokalnego.
Zadanie 4.* Niech f : Rn → Rn będzie odwzorowaniem ciągłym i odwracalnym (czyli różnowartościowym) na zbiorze zwartym K. Wykaż, że wówczas przekształcenie odwrotne f −1 : f (K) → K
też jest ciągłe. Czy teza musi zachodzić, gdy K nie jest zwarty?
Komentarz: Oznacza to, że f jest homeomorfizmem zbiorów K i f (K).
Zadanie 5. Znajdź równanie stycznej w punkcie (1, 1) do krzywej danej równaniem uwikłanym
yex − xey + y − x2 = 0.
Zadanie 6. W otoczeniu punktu (1, 1) narysuj fragment krzywej yx3 + xy 3 = 2.
Zadanie 7. Funkcja uwikłana u(x, y) określona jest w pewnym otoczeniu punktu (1, 1) poprzez
warunki
x2 yu + 2xy 2 u3 − 3x3 y 3 u5 = 0, oraz u(1, 1) = 1.
Wyznacz równania płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do powierzchni u = u(x, y) w punkcie
(1, 1, 1).
Zadanie 8. Wykaż, że gradient funkcji różniczkowalnej jest w każdym punkcie prostopadły do poziomicy tej funkcji.
Zadanie 9. Wyznacz ekstrema funkcji uwikłanej y = f (x), określonej równaniem:
a) x2 + y 2 = x4 + y 4 , b) (x2 + y 2 )2 = 2(x2 − y 2 ).
Zadanie 10. Znajdź ekstrema warunkowe:
1
1
x2
1
a) funkcji f (x, y) = x + y przy warunku 2 + 2 = , b) funkcji f (x, y) = − + 3xy + y 2 przy
x
y
2
4
warunku x2 + y 2 = 13.
Zadanie 11. Niech n ­ 1, x ­ 0, y ­ 0. Rozważając funkcję f (x, y) = 21 (xn + y n ) przy warunku
xn + y n
x+y n
x + y = a wykaż, że
­
.
2
2
Zadanie 12. Wykaż, że jeśli xi ­ 0, i = 1, 2, ..., n oraz
Pn
i=1
!
n 2
xi xj ¬
α .
2
1¬i<j¬n
X
xi = nα, to