Dana jest n k!#wymiarowa hiperpłaszczyzna H zadana jako

Dana jest (n k)-wymiarowa hiperp÷
aszczyzna H zadana jako przeciecie
¾ k
hiperp÷
aszczyzn H1 ; :::; Hk , kaz·da wymiaru n 1, oraz odpowiednio o wektorach
prostopad÷
ych aj = [Aj1 ; :::; Ajn ] i równaniach
Aj1 x1 +
+ Ajn xn = Bj ;
j 2 f1; :::; kg :
Zbiór fa1 ; :::; ak g jest liniowo niezalez·ny w przestrzeni wektorowej Rn . H
jest zatem zbiorem wszystkich rozwiazań
¾
uk÷
adu równań
8
+ A1n xn = B1 ;
< A11 x1 +
::: : : : : : : : : : : : : : : : : : :
:
Ak1 x1 +
+ Akn xn = Bk ;
Rn
(1)
którego macierz g÷
ówna ma rzad
¾ równy k. W zapisie z iloczynem skalarnym (1)
ma postać
aj x = Bj ;
j 2 f1; :::; kg :
Weźmy dowolny punkt a 2 Rn . Poszukajmy jego odleg÷
ości od H, czyli liczby
(a; a0 ), gdzie a0 jest rzutem prostokatnym
¾
a na H. Jest to taki punkt a0 , z·e
h !i
a0 2 H;
aa0 ?H:
W twierdzeniu 8.5.14 pokazaliśmy, z·e istnieje jedyny taki rzut. Przestrzeń wektorów prostopad÷
ych do H jest generowana przez wektory a1 ; :::; ak prostopad÷e
odpowiednio do H1 ; :::; H
, iistnieja¾ wiec
¾ takie jednoznacznie określone liczby
h k!
Pk
rzeczywiste t1 ; :::; tk , z·e aa0 = i=1 ti ai , tj.
a0 = a +
k
X
ti a i :
(2)
i=1
Poszukujemy zatem takich wspó÷czynników t1 ; :::; tk , aby punkt a0 dany
przez (2) spe÷
nia÷uk÷
ad równań (1); równowaz·nie aby spe÷nia÷uk÷ad równań
k
X
ti a j
ai = Bj
aj
a;
i=1
czy równowaz·ny mu uk÷
ad
8
< t1 a 1 a 1 +
:
t1 a k
a1 +
j 2 f1; :::; kg ;
+ t1 a 1 a k = B 1
a1 a;
+ t1 a k
a1 a:
(3)
ak = B1
Wyznacznik g÷
ówny (3) jest równy det (ai aj )i;j
k.
Lemma 1 Je·zeli fa1 ; : : : ; ak g jest liniowo niezale·znym podzbiorem przestrzeni
wektorowej Rn , to wyznacznik macierzy (ai aj )i;j k jest niezerowy.
1
Proof. Za÷
óz·my, z·e zbiór fa1 ; : : : ; ak g jest liniowo niezalez·ny w Rn . Aby
wykazać niezerowość wyznacznika macierzy (ai aj )i;j k pokaz·emy, z·e jej wiersze tworza¾ zbiór liniowo niezalez·ny.
Weźmy dowolne r1 ; : : : ; rk 2 R oraz za÷óz·my, z·e
k
X
ri [ai a1 ; : : : ; ai ak ] = :
i=1
Zatem
0=
k
X
ri (ai aj ) =
i=1
k
X
ri a i
i=1
dla kaz·dego j 2 f1; : : : ; kg. Wynika stad,
¾ z·e wektor
do kaz·dego wektora a1 ; :::; ak , skad
¾
k
P
ri
ai =
!
k
P
aj
ri ai jest prostopad÷
y
i=1
. Z liniowej niezalez·ności
i=1
zbioru fa1 ; : : : ; ak g wynika zerowanie sie¾ wszystkich wspó÷czynników r1 ; : : : ; rk .
A tym samym zbiór wierszy macierzy (ai aj )i;j k jest liniowo niezalez·ny w
przestrzeni wektorowej Rn , co jest równowaz·ne niezerowaniu sie¾ wyznacznika
macierzy (ai aj )i;j k .
Uk÷
ad otrzymany w (3) jest uk÷adem Cramera i rozwiazujemy
¾
go wykorzystujac
¾ wzory Cramera. Niech (t1 ; :::; tk ) bedzie
¾
jego rozwiazaniem.
¾
Wówczas
Pk
0
a = a + i=1 ti ai jest rzutem prostokatnym
¾
a na H oraz
(a; H) = (a; a0 ) = ka0
ak =
Xk
i=1
ti a i :
Otrzymujemy zatem
Theorem 2 (Twierdzenie 8.9.2 Twierdzenie o odleg÷
ości punktu od hiperp÷
aszczyzny zadanej uk
Odleg÷o´s´c punktu a od (n k)-wymiarowej hiperp÷aszczyzny H o równaniach (1)
Pk
jest równa
¾
uk÷adu (3).
i=1 ti ai , gdzie (t1 ; :::; tk ) jest rozwiazaniem
Dowód opracować na podstawie rozumowania powyz·szego.
2