seria VI

Analiza matematyczna 3, semestr zimowy
Zadanie 1.
seria 6
Niech f : R2 → R b¦dzie funkcj¡ dan¡ wzorem:
(
f (x, y) =
xy 2
x2 +y 2
je±li (x, y) 6= (0, 0)
0
(x, y) = (0, 0)
Udowodni¢, »e f jest ci¡gªa na R2 oraz, »e dla ka»dego u ∈ R2 \{(0, 0)} istnieje
pochodna kierunkowa w punkcie (0, 0) w danym kierunku u. Sprawdzi¢ czy
f ró»niczkowalna w punkcie (0, 0).
Takie same polecenie jak w zadaniu 1, dla funkcji f : R2 → R
zadanej przez:
Zadanie 2.
(
f (x, y) =
Zadanie 3.
x2 y 3
x4 +y 4
je±li (x, y) 6= (0, 0)
0
(x, y) = (0, 0)
Dla jakich α > 0 funkcja f : R2 → R dana przez:
(
√|2xy|
α
5x2 +2y 2
f (x, y) =
0
je±li (x, y) 6= (0, 0)
je±li (x, y) = (0, 0)
jest ró»niczkowalna w punkcie (0, 0)?
Zadanie 4.
wzorem:
Sprawdzi¢ czy istniej¡ pochodne funkcji f : R2 → R danej
f (x, y) =
x2
y2
je±li |x| ≤ y
je±li x > y
Zbada¢ istnienie pochodnych cz¡stkowych funkcji f : R2 → R
danej wzorem:
Zadanie 5.
(
f (x, y) =
je±li (x, y) 6= (0, 0)
je±li (x, y) = (0, 0)
sin(xy)
|x|+|y|
0
Czy funkcja f jest klasy C 1 ?
To samo polecenie jak w zadaniu 5, dla funkcji F : R2 → R
zadanej wzorem:
Zadanie 6.
(
f (x, y) =
2
2
xy xx2 −y
+y 2
0
je±li (x, y) 6= (0, 0)
je±li (x, y) = (0, 0)
Zadanie 7.
Pokaza¢, »e funkcja f dana wzorem:
f (x, y) =
x2 y 2 sin x1
0
je±li x 6= 0
je±li x = 0
jest ró»niczkowalna w ka»dym punkcie R2 . Wyznaczy¢ maksymalny zbiór
punktów, w których obydwie pochodne cz¡stkowe s¡ ci¡gªe.
Niech E n oznacza przestrze« wielomianów stopnia nie wi¦kszego
ni» n. Sprawdzi¢ ró»niczkowalno±¢ nast¦puj¡cych funkcji:
Zadanie 8.
1. U : E n 3 P 7→
R1
0
(P 4 (t) − 3P 2 (t))dt ∈ R
2. V : E n 3 P 7→ P 0 − P 3 ∈ E n .
Zadanie 9.
Sprawdzi¢ ró»niczkowalno±¢ odwzorowa«:
a) f : R2 → R zdeniowanego przez f (x1 , x2 ) = kxk∞ = max (|x1 |, |x2 |).
b) f : R2 3 (x1 , x2 ) 7→ kxk1 = |x1 | + |x2 | ∈ R.
2