Lim 13

GRANICE FUNKCJI I ASYMPTOTY - WZORY
Regu÷a de L’Hospitala:
 0 ()
 ()
 0 ()
 to lim
= lim 0

0
!0
!0
!0
!0
!0  ()
!0  ()
!0  ()
Asymptota pionowa:  = 0 jez· eli zachodzi przynajmniej jednen z dwóch warunków: lim+  () = §1 lim¡  () = §1;
Jez· eli lim  () = lim  () = 0 lub lim  () = lim  () = §1 i istnieje garnica lim
!0
!0
 ()
 ()
Asymptota ukośna:  =  +  jez· eli  = lim
  = lim [ () ¡ ] lub  = lim
  = lim [ () ¡ ].
!+1
!+1
!¡1
!¡1


_____________________________________________________________________
GRANICE FUNKCJI - ZADANIA
Wyznacz granice funkcji (bez regu÷y de L’Hospitala):
2 + 6 + 8
2 ¡ 6 + 8
4 ¡ 16
83 ¡ 27
¡3 + 2 + 3 ¡ 4
1. lim 2
; 2. lim 2
; 3. lim
;
4.
lim
;
5.
lim
;
!1  + 5 + 4
!4  ¡ 5 + 4
!¡2 3 ¡ 8
!¡1
!32 2 ¡ 3
23 + 1
p
p
p
¡3 + 2 + 3 ¡ 4
+4¡2
+2
+4¡2
2 ¡ 7 ¡ 3
¤
¤
p
p
p
6. lim
;
7.
lim
;
8.
lim
;
9
.
lim
;
8
.
lim
;
!¡1
!0
!¡2
!0
!4
22 + 1

7¡¡3
+9¡3
2 + 9 ¡ 5
p
3
p
¡p
¢
¡p
¢
p
+1¡1
3
9¤ . lim
; 10. lim 3 1 + 3 ; 11. lim
1 +  + 2 +  ; 12.¤ lim
1++2 3 1¡ 
!¡1
!¡1
!¡1
!0

1
sin 3
cos 4
tan 3

sin2 3
13. lim
; 14. lim
; 15. lim
; 16. lim
; 17. lim
; 18.¤ lim (1 + 3)  
2
!0 sin 5
!0 cos 3
!0 tan 
!0 cos 
!0 sin 4
!0
1
1
p
1
2

¤
¤
¤
¤

2¡
19. lim ( ¡ 1)
; 20. lim (1 + sin ) ; 21. lim (1 + sin ) ; 22. lim+ 1 + ; 23.¤ lim  1¡ 
!2
!0
!0
!0
!1
Wyznacz granice jednostronne funkcji (lewosronna̧ i prawostronna̧)
µ
¶
¡1
1
1
1
j¡1j
1
2¡ ;
24. lim§ 2¡
; 25. lim§
; 26. lim§ exp
;
27.
lim
2
28.
lim

;
42 ¡ 5 ¡ 3 + 2
!2
!1 j ¡ 1j
!1
!2§
!1§
µ
¶
µ
¶
1
1
¡4
21 ¡ 2¡1
¤
p
29.¤ lim§ exp
;
30.
lim
exp
;
31.
lim

32.
lim

42 ¡ 5 ¡ 3 + 2
42 ¡ 5 ¡ 3 + 2
!1
!2§
!4+
!0§ 21 + 2¡1
2 ¡¡16 + 16
¢
µ
¶
1
¡ ¢ 1
1
2 ¡ 3 jj + 2
2 ¡ 4 j ¡ 2j ¡ 4
33. lim§
; 34. lim§ ( ¡ 1) ¡2  35. lim+ 2 ¡1 + 12 1¡ ; 36¤ . lim§ 2
;
!2
¡2
!2
!1
!2
j + 3 ¡ 10j
Wyznacz granice funkcji (korzystaja̧c ewentualnie(!) z regu÷y de L’Hospitala)
ln  ¡ 1
ln ( + 1)
arcsin 
ln  + 
37. lim
; 38. lim
; 39.¤ lim
; 40. lim (ln  ¡ ) ; 41. lim
;
!  ¡ 
!0
!0
!1
!1 ln  ¡ 



¡
¢
 ¡ 2
1
1
42. lim ( ¡  ) ; 43. lim
; 44. lim ¡ ; 45. lim+   ; 46. lim   ; 47. lim  1 ¡ 1 ; 48.
!1
!1 2 ¡ 
!1
!1
!1
!0
¡1
¢
2
2
 + ¡
1 ¡1
1 ¡1
1


lim+  ln ; 49. lim+   ; 50. lim¡   ; 51. lim  ¡ sin  ; 52. lim¡ 3 1 ; 53. lim+ 3 1 ; 54. lim 
;
!1  ¡ ¡
!0
!0
!0
!0
!0
!0
p
¡
¢
1
23 + 32 ¡ 12 + 7
55.¤ lim+
; 56.¤ lim 32 ¡ 12 ¡ ln  ; 57.¤ lim (ln )¡2 ; 58.¤ lim+ (ln ) ; 59.¤ lim+ (ln ) 1¡ ;
2
!1
!1
!1 ¡ ¡  + ¢¡ 2 ¢
!1
!1
60.¤ lim ln 1 + 32 ¡ 2 
!1
Wyznacz asymptoty funkcji
23 + 1
3 + 2 ¡ 1
1
2
2 + 
61.  () =
;
62.

()
=

63.

()
=
2
¡
;
64.

()
=
;
65.

()
=
;
1 ¡ 2
83 + 1
2 ¡ j ¡ 1j
1 ¡ jj
(1 ¡ )2
p
¡
¢
3 + 22 + 1
66.  () =
 67.  () = 42 + 3 + 1 68.¤  () = ln ( ¡ 1) ; 69¤  () = ln 1 + 1 ;
2
j4 ¡  j
GRANICE FUNKCJI - ODPOWIEDZI
3
2;
¤
2
3;
¡ 12 ;
6. 1; 7. 14 ;
9
16. 0; 17. 16
;
1.
2.
3. 0; 4. 27; 5.
8. ¡6; 9¤ . 32 ; 8¤ . 53 ; 9¤ . 13 ; 10. ¡1; 11. ¡ 12 ;
3
12. +1 13. 5 ; 14. 1; 15. 3;
18.¤ 3  19.¤ ¡1 ; 20.¤ ; 21.¤ 1; 22.¤ ; 23.¤ ¡1 
24. +1 ¡1; 25. +1 +1; 26. +1 +1; 27. +1 0; 28. 0 0;
29.¤ +1 +1; 30.¤ +1 0; 31. 0 32. ¡1 1; 33. 8 0; 34.   35. 0 1; 36¤ . ¡ 17  17 ;
37. 1 ; 38. 1; 39.¤ 1; 40. ¡1; 41. ¡1; 42. ¡1; 43. 2; 44. 0; 45. +1; 46. 1; 47. 1; 48. 0; 49. 0; 50. +1;
51. 0; 52. ¡1; 53. +1; 54. 1; 55.¤ ¡1 1; 56.¤ +1; 57.¤ 1; 58.¤ 0; 59.¤ 1; 60.¤ ln 3
61. "  = ¡1 # "  = 1 # -  = ¡2 &; 62. #  = 12 " á  = 18 ; 63. #  = 1 # .  = 2 %;
64. #  = ¡1 # "  = 3 # .  =  ¡ 1  = ¡ ¡ 3 &; 65. "  = 1 # .  =   = ¡ ¡ 2 &;
66. #  = ¡2 # "  = 2 " .  =  + 2 %; 67. -  = ¡2 ¡ 34   = 2 + 34 %; 68.¤ #  = 0  =  %
69¤  = ¡1 #  = 0 " á  = 0 ¡!;
Objaśnienia, np.:
"  = 0 # - asymptota pionowa lewostronna górna, prawostronna dolna,
.  =  +  % - asymptota ukośna lewostronna (do do÷u), prawostronna (do góry),
à  = 0 ¡! - asymptota pozioma obustronna.
3