Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne PWT2004

www.pwt.et.put.poznan.pl
Paweł Turcza
AGH University of Science and Technology,
Department of Instrumentation and Measurement,
al. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków, Poland,
email: [email protected]
2004
Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne
Poznań 9 - 10 grudnia 2004
MODULACJA WIELONOŚNA DLA SYSTEMÓW xDSL OPARTA O
DYSKRETNĄ OKRESOWĄ TRANSFORMACJĘ WILSONA Z
DODATKOWYM OKNEM CZASOWYM
Streszczenie: Artykuł prezentuje nową metodę modulacji
wielonośnej opartą o transformację Wilsona z dodatkowym
oknem czasowym. Proponowana metoda modulacji cechuje
się znacznie wyższą selektywnością niż standardowo stosowana modulacja oparta o transformację Fouriera z oknem
prostokątnym (DMT). Dodatkowo dzięki specjalnemu doborowi funkcji okna i implementacji wykorzystującej modulację zespoloną uzyskano niską, porównywalną z DMT
złożoność obliczeniową i identyczne jak w DMT opóźnienie
systemowe.
1. WSTĘP
W stosowanych obecnie modemach wielonośnych
standardów ADSL, VDSL, OFDM [1] jako transmultiplekser (TMUX) stosowana jest para szybkich transformacji Fouriera (IFFT/FFT). Ponieważ transmitowany
sygnał przechodząc przez kanał ulega splotowi z odpowiedzią impulsową kanału do poprawnego odtworzenia
przesłanych danych konieczna jest odpowiednia korekcja.
W TMUX opartych o FFT korekcja kanału może być wykonana w bardzo efektywny sposób w dziedzinie częstotliwości. Możliwość tą daje twierdzenie o splocie dla
transformaty Fouriera oraz wprowadzenie do transmitowanego sygnału nadmiarowości w formie cyklicznego
prefiksu [1], co umożliwia symulację splotu kołowego
przez splot liniowy realizowany przez kanał transmisyjny.
Dodatkowo tak zbudowany TMUX (określany jako DMT
- Discrete MultiTone) poprzez podział całego pasma
transmisyjnego na wiele równoległych subkanałów pozwala na efektywną korekcję zniekształceń amplitudowych i fazowych kanału oraz osiągnięcie optymalnej
przepustowości kanału transmisyjnego (określonej przez
twierdzenie Shannona) poprzez alokację odpowiedniej
ilości bitów do poszczególnych subkanałów w zależności
od stosunku sygnał/szum (SNR) w poszczególnych subkanałach.
Niestety TMUX oparte o FFT cechują się niską selektywnością filtrów nadajnika i odbiornika, które powstają poprzez modulację (zespoloną) dolnoprzepustowego
filtru prototypowego – okna prostokątnego.
Niedostateczna selektywność (pierwszy listek boczny na poziomie –13dB, szybkość opadania listków 1/f)
prowadzi do dużej wrażliwości DMT na interferencje
wąskopasmowe, międzysymbolowe i międzynośne
(ISI/ICI) (szczególnie dokuczliwe przy długiej odpowiedzi impulsowej kanału). Brak selektywności przejawia się
PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004
również wysoką wrażliwością na błędy synchronizacji
zegarów taktujących przetworniki C/A i A/C, powoduje
problemy z kompatybilnością widma mocy oraz zwiększone przesłuchy między sąsiednimi parami linii transmisyjnych.
Wymienione wyżej niedostatki modulacji DMT były
powodem znacznego zainteresowania innymi sposobami
modulacji, w których poszczególne subkanały były by
lepiej odseparowane. W wyniku prowadzonych prac powstały nowe wersje DMT z oknem różnym od prostokątnego [2, 3], TMUX oparte o krytycznie próbkowane zespoły filtrów z modulacją kosinusową (DWMT) [4],
TMUX oparte o nadpróbkowane zespoły filtrów (FMT Filtered Multitone) [5], TMUX oparte o krytycznie próbkowane zespoły filtrów z modulacją kosinusową (CMFB)
z dodatkową fazową korekcją kanału [6], jak również
TMUX wykorzystujące transformację falkową [7, 8].
Choć wyżej wymienione transmultipleksery pozwalały na uzyskanie lepszej selektywności, niż standardowe
DMT, to odbywało się to kosztem zwiększenia opóźnienia
systemu (problematyczne przy usługach VoIP) oraz wzrostem złożoności korektora kanału.
W pracy [9] po raz pierwszy pokazano jak poprzez
zastosowanie periodycznej dyskretnej transformacji Wilsona (DTWE) połączyć zalety DMT i DWMT/FMT i
uzyskać TMUX (określany jako DTWE-TMUX) o efektywnej korekcji kanału, małej złożoności obliczeniowej,
niskim opóźnieniu i większej selektywności. Dalsza
szczegółowa analiza działania DTWE-TMUX pokazała,
że nie wszystkie subkanały cechują się jednako wysoką
selektywnością [10]. To spostrzeżenie stało się podstawą
do opracowania kolejnej wersji DTWE-TMUX wyposażonej w dodatkowe okno czasowe.
W kolejnych punktach artykułu omówiono kolejno:
modulację DMT w wersji podstawowej oraz z dodatkowym oknem czasowym, podano podstawowe informacje
dotyczące transformacji Wilsona, przedstawiono TMUX
oparty o transformatę Wilsona w wersji podstawowej i z
dodatkowym oknem czasowym oraz zaprezentowano
wyniki symulacji jego działania.
2. MODULACJA WIELOTONOWA DMT
Schemat blokowy systemu transmisyjnego opartego
o modulację wielotonową DMT przedstawiono na rys 1.
Jeśli długość odpowiedzi impulsowej kanału transmisyj-
1
www.pwt.et.put.poznan.pl
nego h(n) nie przekracza długości prefiksu dodawanego w
układzie konwertera P/S do transmitowanego sygnału, to
na długości transmitowanego bloku splot sygnału z odpowiedzią impulsową kanału jest splotem cyklicznym, a
macierz H tego splotu jest macierzą cyrkulacyjną i jako
taka ma postać diagonalną w bazie Fouriera. W takich
warunkach system może być opisany równaniem
ˆ = Λ −1 W ( W −1ΛW ) W −1X
X
N
FEQ
many blok poddawany jest operacji transformacji Fouriera
tak jak w klasycznym DMT.
odebrana ramka
L
(1)
P
H
Macierz W jest macierzą dyskretnej transformacji Fouriera, a macierz korektora FEQ Λ jest macierzą diagonalną,
co stanowi o bardzo niskiej złożoności obliczeniowej operacji korekcji kanału. Dodatkowy filtr korektora czasowego TEQ, poprzez efektywne skrócenie odpowiedzi impulsowej linii transmisyjnej c(n), (której długość w rzeczywistych systemach transmisyjnych wynosi kilkaset próbek)
pozwala na zwiększenie przepustowości i zmniejszenie
opóźnienia systemowego [1].
x(n)
xr(n)
N-1
LW
sygnal do analizy FFT
0
Rys 2. Ilustracja metody dodatkowego okna czasowego
4. TRANSFORMATA WILSONA
Periodyczna dyskretna transformacja Wilsona
(DTWE) sygnału x(n) zdefiniowana jest równaniem [11]
x (n) =
∑∑
H(z)
(5)
φl ,m (n) = cm ,l (γ l ,m (n) + ( −1) m +l γ l ,2 M − m (n) ) ,
gdzie
γ l ,m ( n) = γ ( n − lM )WNmKn ,
3. MODULACJA WIELOTONOWA DMT Z
DODATKOWYM OKNEM CZASOWYM
Fakt, że modulacja DMT oparta jest na transformacji Fouriera z oknem prostokątnym z jednej strony pozwala na bardzo efektywny podział kanału transmisyjnego na niezależne subkanały i korekcję w dziedzinie częstotliwości z drugiej zaś jest przyczyną dużej wrażliwości
metody na zakłócenia wąskopasmowe oraz błędy synchronizacji zegarów przetworników C/A i A/C w nadajniku i odbiorniku.
Jedną z prostszych i efektywnych metod pozwalających na zwiększenie selektywności filtrów odbiornika
jest zastosowanie dodatkowego okna czasowego w odbiorniku [3]. Metoda ta skuteczna jest jednak tylko wówczas, gdy długość odpowiedzi impulsowej kanału L jest
znacznie mniejsza niż długości prefiksu P. Długość okna
Lw = P-L jest wtedy ich różnicą. Jako okno czasowe
można stosować funkcję „podniesiony kosinus”
(2)
w(n) = 1/ 2(1 − cos(2π (n + 1) / 2 Lw ))
lub funkcję
(3)
gdzie n=0,...,Lw-1.
Ilustracja działania metody przedstawiona jest na rys
2. W metodzie tej zamiast odrzucać prefiks cykliczny (jak
przewiduje standard DMT) mnoży się go przez okno czasowe i dodaje do końcowej części odebranego symbolu
(również pomnożonej przez okno). Po tej operacji otrzy-
PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004
(4)
x , φl , m ψ l , m ( n )
ψ l ,m (n) = cm ,l ( gl , m (n) + (−1)m +l gl ,2 M − m (n) ) ,
Rys 1. Schemat blokowy modemu DMT
w(n) = sin(π n / 2 Lw ) 2
m=0
gdzie N=2KM, K ∈ ` , a M jest parzyste. Funkcje syntezy
{ψl,m(n)} i analizy {φl,m(n)} powstają w wyniku modulacji
funkcji okien: analizy γ(n) i syntezy g(n) zgodnie z zależnościami
FFT + FEQ
TEQ
S/P
P/S
IFFT
N / M −1 M
l =0
r(n)
C(z)
N-1
cm =
1  1
1 " 1
2  2
g l ,m ( n) = g ( n − lM )WNmKn ,
1 ,
2 
cm ,l = cm ( − j )
( m + l ) mod 2
W oznacza unormowaną macierz dyskretnej transformacji
Fouriera określoną wzorem
(6)
[ WN ]kn = 1/ N exp( − j 2π / Nkn) .
Ponieważ funkcje bazowe φ2l+1,m(n) i ψ2l+1,m(n) dla
m=0 i m=M zerują się, oznacza to że reprezentacja czasowo-częstotliwościowa (T-F) sygnału x(n) dla parzystych
chwil czasowych posiada M+1 współczynników zaś dla
nieparzystych chwil czasowych tylko M-1.
Jak wykazano w pracy [9] warunkiem efektywnej
korekcji kanału (przeprowadzanej w dziedzinie częstotliwości) jest użycie okna analizy γ(n) określonego równaniem
γ ( n) =
K −1
∑
p =− ( K −1)
k pWNpn
(7)
gdzie współczynniki kp powinny spełniać odpowiednie
warunki. W przypadku ortogonalnego TMUX współczynniki te powinny być wybrane tak by spełniały warunki
podane w [12], a okno syntezy musi być identyczne z
oknem analizy. Dla biortogonalnego TMUX jako współczynniki kp można przyjąć współczynniki dowolnego
okna trygonometrycznego np. Hanning (k0=1, k1=0.5) lub
Blackman (k0=0.84, k1=-0.5, k2=0.08), a okno syntezy g(n)
należy wyznaczyć z zależności
2
www.pwt.et.put.poznan.pl
g ( n) = γ ( n) ( M (| γ (n) |2 + | γ (n + M ) |2 ) )
(8)
5. MODULACJA OPARTA O DTWE
Schemat blokowy transmultipleksera opartego o
transformację Wilsona [9] przedstawiony jest na rys 3.
Dane przeznaczone do transmisji dzielone są na rozłączne
bloki, które następnie traktowane są jako reprezentacja TF periodycznego sygnału, który jest syntezowany przez
transformatę Wilsona i po dodaniu cyklicznego prefiksu
transmitowany przez układ konwersji próbek z postaci
równoległej na szeregową (parallel/serial P/S). Sygnał po
przejściu przez tor transmisyjny i korektor czasowy TEQ
(B(z)) podlega konwersji z postaci szeregowej na równoległą (serial/parallel S/P). Po odłączeniu cyklicznego prefiksu otrzymany blok traktowany jest jako jeden okres
sygnału x(n), którego reprezentacja T-F (odebrane dane)
jest wyznaczana przez sekcję analizy transformaty Wilsona.
Wilson Analysis
with FEQ
u(n)
H(z)
B(z)
S/P
r(n)
P/S
Wilson Synthesis
u(n)
C(z)
Rys 3. Schemat blokowy modemu DTWE
Tak jak w przypadku DMT zastosowanie cyklicznego
prefiksu pozwala na symulację splotu cyklicznego za pomocą splotu liniowego i czyni macierz kanału C macierzą
cyrkulacyjną. W pracy [9] wykazano, że współczynniki TF sygnału mogą być efektywnie wyznaczone ze wzoru
x, φl ,m = cm ,l
K −1
∑
p =− ( K −1)
k p  X ( l ) ( p + mK )
(9)
+ (−1)m +l ( X (l ) ( p + mK ) ) 

*
gdzie
X ( l ) (k ) = WN− lMk X (k )
(10)
jest transformatą Fouriera przesuniętego sygnału x(n-lM).
Ponieważ pierwszą operacją wykonywaną w (9) jest
transformata Fouriera odebranego sygnału, to przedstawiając cyrkulacyjną macierz kanału C w bazie Fouriera
C=W-1ΛW
(11)
możemy połączyć korekcję kanału z demodulacją (9) w
następujący sposób
x, φl ,m = cm ,l
K −1
∑
p =− ( K −1)
k p  Λ −p1+ mK X (l ) ( p + mK )
(12)
*
+ (−1)m +l ( Λ −p1+ mK X (l ) ( p + mK ) ) 

gdzie Λ i−1 jest i modulo N elementem diagonalnej macierzy Λ-1 korektora.
DTWE-TMUX Z DODATKOWYM OKNEM CZASOWYM
Traktując transformatę DTWE jako zespół filtrów widać,
że poszczególne filtry wchodzące w skład zespołu uzy-
PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004
skiwane są w wyniku modulacji (πm/M) i przesuwania w
czasie (lM) odpowiedzi impulsowej jednego filtra zwanego filtrem prototypowym (okna γ(n) i g(n)). Dlatego własności częstotliwościowe filtrów w zespole są bezpośrednio zależne od własności filtru prototypowego i wykonywanych na nim operacji. O ile przesunięcie w częstotliwości nie zmienia selektywności filtra, to periodyczne przesunięcie w czasie selektywność tą może znacznie zmniejszyć. Zjawisko to jest przyczyną, dla której nie wszystkie
filtry w DTWE mają jednakowo wysoką selektywność.
Dlatego w odbiorniku zanim sygnał zostanie poddany analizie DTWE warto przeprowadzić operację jego
okienkowania, tak jak w przypadku DMT (patrz rys 2). O
słuszności takiego postępowania można się przekonać
analizując zależność średniej wartości SNR od poziomu
zakłóceń wąskopasmowych przedstawioną na rys. 5 i 6.
6. WYNIKI SYMULACJI
W trakcie badań symulacyjnych wyznaczono i porównano wartość średniego stosunku sygnału do szumu
(SNR) na wyjściu toru transmisyjnego pracującego z modulacją DMT i DTWE (tylko wersja ortogonalna, K=8,
M=32) w funkcji poziomu zakłóceń wąskopasmowych i
szumowych (addytywny gaussowski szum biały AWGN).
W trakcie badań linia transmisyjna symulowana była jako
filtr FIR, którego odpowiedz impulsowa licząca 512 próbek odpowiadała standardowej linii testowej CSA#2 loop
[1]. Do skrócenia odpowiedzi impulsowej linii transmisyjnej zaprojektowano filtr korektora czasowego TEQ o 7
współczynnikach korzystając z metody [1]. Moc transmitowanego sygnału została ustalona na 14 dBm, a długość
prefiksu cyklicznego – jeśli nie zaznaczono inaczej zgodnie z normą wynosiła P=32 próbki.
Zarówno w przypadku modulacji DMT jak i DTWE
długość ramki wynosiła N=512 próbek, co gwarantowało
identyczne opóźnienie systemowe. Średnia wartość SNR
(MSNR) wyznaczana była z zależności
(13)
MSNR = ∑ SNRi ( N + P )
i
gdzie SNRi oznaczał wartość SNR w i-tym subkanale. Ze
względu na fakt, że w przypadku modulacji DTWE sygnały w poszczególnych subkanałach są rzeczywiste oraz
dążąc do stworzenia identycznych warunków testowych
dla obu rodzajów modulacji SNRi w przypadku modulacji
DMT wyliczane były osobno dla składowej rzeczywistej i
urojonej sygnału.
Na rys. 4 przedstawiono zależność średniej wartości
SNR w funkcji poziomu zakłóceń szumowych AWGN
zmienianych od –140dBm/Hz do –120dBm/Hz. Jak widać
najlepiej działa modem zbudowany w oparciu o transformatę Wilsona przy krótkim prefiksie (P=16), choć różnice
nie są duże. Przewaga tego modemu nad innymi wynika z
faktu jego małej wrażliwości na interferencje ISI/ICI, co
wynika z lepszej selektywności poszczególnych filtrów i
daje możliwość skrócenia prefiksu, a więc maksymalizuje
kryterium (13).
Wpływ zakłóceń wąskopasmowych na wartość
średniego SNR na wyjściu toru transmisyjnego przedstawiono na rys 5 i 6. Częstotliwości środkowe zakłócającego sygnału pokrywały się z częstotliwościami środkowymi kanału DMT nr 50 i 100 odpowiednio. Skrótem
WDMT oznaczono modulację DMT z dodatkowym
3
www.pwt.et.put.poznan.pl
oknem czasowym, literą P długość prefiksu, a literą W
długość okna czasowego. Wyraźnie widać, że zastosowanie dodatkowego okna czasowego zarówno w przypadku
DMT jak i DTWE może znacznie zmniejszyć wrażliwość
systemu transmisyjnego na zakłócenia wąskopasmowe i
jeśli tylko długość odpowiedzi impulsowej kanału na to
pozwala należy je stosować.
7. WNIOSKI KOŃCOWE
W artykule zaproponowano nowy typ modulacji DTWE z dodatkowym oknem czasowym - przeznaczony
dla standardu ADSL/VDSL. W trakcie badań symulacyjnych wykazano, że taki typ modulacji wykazuje znacznie
wyższą odporność na zakłócenia wąskopasmowe (np.
interferencje radiowe - RFI) niż DMT przy jednocześnie
podobnej odporność na zakłócenia szumowe AWGN jak
DMT. Zaproponowany modulator charakteryzuje się stosunkowo niską złożonością obliczeniową, a dzięki możliwości pracy z krótszym prefiksem nawet mniejszym
opóźnieniem niż DMT.
Rys 4. Średnia wartość SNR w funkcji poziomu zakłóceń
szumowych AWGN
SPIS LITERATURY
[1]
D. J. Rauschmayer, "ADSL/VDSL Principles: A Practical and Precise Study of Asymmetric Digital Subscriber
Lines and Very High Speed Digital Subscriber Lines,"
Macnillan Technology Series, 1999.
[2] P. Spruyt, P. Reusens, and S. Braet. Performance of improved DMT transceiver for VDSL. Tech. Rep.
T1E1.4/96-104, ANSI, April 1996.
[3] A.J. Redfern. Receiver window design for multicarrier
communication systems. IEEE Journal on Sel. Areas in
Comm., 20(5):1029–1036, June 2002.
[4] S.D. Sandberg and M.A. Tzannes, "Overlapped discrete
multitone modulation for high speed copper wire communications," IEEE J. on Sel. Areas in Comm., vol. 13, Dec.
1995.
[5] G. Cherubini, E. Eleftheriou, S. Olcer, "Filtered Multitone
Modulation for Very High-Speed Digital Subscriber Lines,
" IEEE J. on Sel. Areas in Comm., vol. 20, June 2002.
[6] A. Viholainen, J. Alhava, J. Helenius, J. Rinne, and M.
Renfors, "Equalization in filter bank based multicarrier
systems," in Proc. Int. Conf. on Electronics, Circuits and
Systems, Pafos, Cyprus, Sept. 5-8, 1999, pp. 1467-1470.
[7] K. M. Wong, J. Wu, T. N. Davidson, Q. Jin, and P. C.
Ching, “Performance of wavelet packet-division multiplexing in impulsive and gaussian noise,” IEEE Trans.
Commun., vol. 48, no. 7, pp. 1083–1086, July 2000.
[8] D. Daly, C. Heneghan, A. D. Fagan, and M. Vetterli, “Optimal wavelet packet modulation under finite complexity
constraint,” in Proc. IEEE Int. Conf. Acoust., Speech, Signal Process., May 2002, pp. 2789–2792.
[9] P. Turcza, "New transmultiplexer for xDSL based on
Wilson expansion," Proc. of IEEE International Conference on Communications, Paris, 2004.
[10] P. Turcza, "An analysis of distortion in Wilson expansion
based TMUX", Proc. Int. Conf. on Signals and Electronic
Systems ICSES-2004, str. 553-556, Poznań 2004.
[11] H. Bölcskei, H. Feichtinger, K. Gröchenig, F.Hlawatsch,
"Discrete-Time Wilson Expansions," IEEE Time-Freq.
and Time-Scale Symposium TFTS-96, Paris 1996.
[12] S. Mirabbasi, K.W. Martin, "Design of Prototype Filter
for Near-Perfect-Reconstruction Overlapped ComplexModulated Transmulitplexers," Proc. IEEE ISCAS, Phoenix 2002
PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004
Rys 5. Średnia wartość SNR w funkcji poziomu zakłóceń
wąskopasmowych umieszczonych w kanale nr 50,
AWGN=-140 dBm/Hz
Rys 6. Średnia wartość SNR w funkcji poziomu zakłóceń
wąskopasmowych umieszczonych w kanale nr 100,
AWGN=-140 dBm/Hz
4