4 Marca 2014 Teoria Zadania

Gry
4 Marca 2014
Teoria
Gra NIM
Gra Staircase NIM
Gra Misère NIM
Twierdzenie Sprague-Grundy’ego
Zadania
[CF Beta Round#15] Industrial Nim Tolik i Bolik grą w NIMa, który składa się z n (1 ≤ n ≤ 100 000)
grup stosików kamieni. Jedna grupa stosików jest opisana dwoma parametrami x i m (1 ≤ x, m ≤ 1016 ),
które oznaczają, że w tej grupie znajduje się m stosików o rozmiarach x, x + 1, x + 2, . . ., x + m − 1.
NIM polega na tym, że gracze na zmianę wykonują swoje ruchy, a w jednym ruchu gracz może wybrać
dowolny stosik z dowolnej grupy i zdjąć z niego dowolną liczbę kamieni. Przegrywa gracz, który nie może
wykonać ruchu (gdy wszystkie kupki są puste). Który gracz wygra, jeśli wiadomo, że obaj grają optymalnie,
a Tolik zaczyna?
[XVI OI] Kamyki Jaś i Małgosia grają w grę, w której jest n (1 ≤ n ≤ 1000) kupek kamieni, posortowanych
niemalejąco po ich wielkościach. Gracze wykonują ruchy na przemian. Ruch polega na zabraniu z dowolnej
kupki, dowolnej liczby kamieni. Jest tylko takie zastrzeżenie, że po każdym ruchu, ciąg kupek musi pozostać
posortowany niemalejąco. Przegrywa gracz, który nie może wykonać ruchu. Znając rozmiary kolejnych
kupek kamieni, stwierdź, czy gracz zaczynający wygra, czy przegra.
[SPOJ] Matrix Game Dwóch graczy gra w grę na planszy o rozmiarach n × m (1 ≤ n, m ≤ 50). W każdym
polu planszy znajduje się jedna dodatnia liczba całkowita. Gracze na zmianę wykonują ruchy. W ramach
jednego ruchu, gracz wybiera pewien wiersz planszy, który nie składa się z samych zer. W tym wierszu,
gracz skupia się na najbardziej lewym polu, w którym jest niezerowa liczba. Niech ta liczba będzie równa k.
Gracz może ją zamienić na dowolną z liczb całkowitych od 0 do k − 1. Ten kto nie może wykonać ruchu
(gdy na planszy będą same zera) przegrywa. Kto wygra?
[VII OI] Paski Gra w Paski toczy się na planszy o wymiarach 1 × p, podzielonej na p kwadracików jednostkowych. Gracze mają do dyspozycji dowolnie wiele pasków czerwonych, zielonych i niebieskich. Czerwone
paski mają rozmiary 1 × c, zielone 1 × z, a niebieskie 1 × n. Gracze na zmianę wykonują ruchy, polegające
na przyczepieniu paska w wybranym przez siebie kolorze, w dowolnym miejscu planszy, tak aby żadne
dwa paski na siebie nie nachodziły, oraz żeby przyczepiany pasek nie wystawał poza planszę. Końce doczepianego paska muszą pokrywać się z brzegami kwadracików planszy. Przegrywa gracz, który nie może
wykonać ruchu. Który z graczy wygra? Ograniczenia: 1 ≤ p, c, z, n ≤ 1000.
[NI MA] Przesyłki Bajtocka poczta składa się z n oddziałów, które są połączone drogami tak, aby tworzyły
drzewo. W i-tym oddziale znajduje się mi monet. Bajton i Biton muszą przetransportować wszystkie
monety do oddziału nr 1. Na zmianę przenoszą pewną dodatnią liczbę monet z wybranego oddziału do
sąsiedniego oddziału, położonego bliżej oddziału nr 1. Monet z oddziału nr 1 nie można już wynosić.
Ten kto dostarczy ostatnią monetę, będzie musiał zostać na całonocnym zliczaniu pieniędzy. Jeśli Bajton
i Biton będą grali optymalnie, to który z nich się nie wyśpi? Ograniczenia: 1 ≤ n ≤ 106 , 1 ≤ mi ≤ 109 .
[PA 2012] Dwójkowy zbijak Gra w „dwójkowego zbijaka” toczy się na planszy złożonej z n pól ponumerowanych liczbami od 1 do n. Na każdym polu stoi jeden pionek. Gracze wykonują ruchy na zmianę. Ruch
polega na zabraniu pionka z pola o numerze x i przesunięciu go na pole o numerze 2k x, dla dowolnego
k ≥ 1, o ile takie pole istnieje. Jeśli na nowym polu stał jakiś pionek, to następuje wzajemne bicie i oba
pionki zostają wyeliminowane z gry. Przegrywa gracz, który nie może wykonać żadnego ruchu. Znajdź k-tą
(1 ≤ k ≤ 109 ) co do wielkości planszę, na której gracz zaczynający przegrywa. Pierwsze trzy takie plansze
mają rozmiary: 1, 10 i 11.