Seminarium Stochastyczne, pi?
Transkrypt
Seminarium Stochastyczne, pi?
Seminarium Stochastyczne, Toruń, 24 kwietnia 2009 Asymptotyka stacjonarnego czasu czekania w wielkim obciążeniu Władysław Szczotka (Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski) Stacjonarny czas czekania ω w jednokanałowym systemie kolejkowym z P dyscypliną obsługi pierwszy przyszedł - pierwszy wyszedł ma postać ω = sup0≤k<∞ kj=1 (vj − uj ), gdzie {(vk , uk ), k ≥ 1} jest stacjonarnym, ergodycznym ciągiem nieujemnych zmiennych df losowych, takich że a = Ev1 − Eu1 < 0. W pewnych sytuacjach vk interpretuje się jako czas obsługi k-tego klienta, a uk czas między przyjściem k-tego a k + 1-szego klienta. Wielkość Ev1 /Eu1 nazywa się obciążeniem systemu. D Wiadomo, że jeżeli ωn są stacjonarnymi czasami czekania oraz an ↑ 0, to ωn → ∞ i sytuacja ta nazywa się wielkim obciążeniem. Problematyka badania asymptotyki ωn gdy an ↑ 0 nazywa się teorią wielkich obciążeń. ZwykleProzważa się ją w oparciu o przedstawienie ωn = sup0≤t<∞ (Xn (t)−βn t), gdzie Xn (t) = [nt] j=1 (vn,j −un,j −an ), βn (t) = |an |[nt], t ≥ 0. D Wiadomo, że jeżeli dla pewnego ciągu cn ↑ ∞ zachodzi (i)Xn /cn → X w topologi Skorochoda, gdzie X jest procesem ciągłym stochastycznie, (ii) βn (t)/cn → βt, 0 < β < D ∞ oraz (iii) {ωn /cn } jest ciasny, to ωn /cn → sup0≤t<∞ (X(t) − βt) ≡ W. W referacie podamy charakteryzacje warunków ciasności (iii) w przypadku tzw. systemów GI/GI/1, tzn. gdy dla każdego n ≥ 1, zmienne losowe vn,k , un,k , k ≥ 1 są wzajemnie niezależne. W przypadku tym X jest procesem Léviego. Pokażemy ponadto, że jeżeli X jest spektralnie dodatnim procesem Léviego, to istnieje ciąg systemów M/GI/1, takich D że zachodzi zbieżność ωn /cn → W. Podamy również przykład, że warunki (i)-(ii) nie implikują warunku (iii). 1