odwzorowania liniowe

Zadania z algebry – odwzorowania liniowe.
(
)
1. Sprawdzić, czy w przestrzeni wektorowej R 3 ,+,⋅, R następujące układy wektorów są
liniowo zależne:
a. v1 = [1,4,3], v 2 = [0,−2,1], v 3 = [1,0,5] ,
b. w 1 = [2 , − 7 , 2 ], w 2 = [0 , 2 , 4 ], w 3 = [2 , − 1, 5 ] .
2. Wykazać, że wektory z1 = [1,0,−1], z 2 = [0,1,0], z 3 = [1,0,1] są bazą przestrzeni
(
)
wektorowej R 3 ,+,⋅, R , oraz znaleźć współrzędne wektorów a = [7,2,6], b = [0,6,3]
względem tej bazy.
3. Sprawdzić liniowość poniższych odwzorowań oraz wyznaczyć wymiar jądra i obrazu
odwzorowań liniowych, napisać macierze tych odwzorowań, jeśli w przestrzeniach
przyjmiemy bazy kanoniczne lub bazy odpowiednio (v) i (w). Czy możliwe jest
złożenie G o L o H ? Jeśli tak, to napisać jego wzór i podać macierz w bazach
kanonicznych.
a. L : R 3 ∋ ( x1 , x 2 , x 3 ) → L( x ) = (2 x1 + x 2 − x 3 , x1 + x 2 + 2 x 3 ) ∈ R 2 ,
v1 = [0,1,1], v 2 = [1,1,0], v 3 = [1,0,1] , w1 = [1,2], w2 = [2,1] .
b. G : R 2 ∋ ( x1 , x 2 ) → G ( x ) = ( x1 − 3 x 2 ,3 x1 − x 2 ) ∈ R 2 ,
v1 = [1,1], v 2 = [0,1], w1 = [1,0], w2 = [1,1] ,
c. H : R 2 ∋ ( x1 , x 2 ) → H ( x ) = ( x1 + 2 x 2 , x1 − 3 x 2 , x 2 ) ∈ R 3 ,
v1 = [1,2], v 2 = [1,0], w1 = [2,−7,2], w2 = [0,2,4], w3 = [2,−1,5] ,
(
)
d. J : R 2 ∋ ( x1 , x 2 ) → J ( x ) = e x1 + x2 , x1 + x 2 ∈ R 2 ,
v1 = [1,2], v 2 = [1,0], w1 = [1,2], w2 = [1,0] .