1 166. Współczesny Romeo , któremu zabroniono wstępu do

Wydział PPT; kierunek: Inż. Biomedyczna. Listy nr 13 do kursu Fizyka. Rok. ak. 2013/14
Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz listy zadań do kursu są dostępne na stronie wykładowcy
www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda i stronach prowadzących zajęcia. Student jest zobowiązany przynoszenia tabel na
zajęcia. Lista ta ma na celu zdobycie przez studentów wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności
rozwiązywania zadań dotyczących termodynamiki z wykorzystaniem dotychczas zbytych kompetencji. Zadania nie
rozwiązane na zajęciach lub krótko omówione, oznaczone symbolem (S), mogą być treściami sprawdzianów.
163. (S) Wahadło zegara jest podwieszone na mosiężnym (współczynnik rozszerzalności liniowej 1,84·10−5 K−1) pręcie.
Zegar chodzi dokładnie przy 20oC. O ile spóźni się on lub pośpieszy w ciągu tygodnia w temperaturze 30oC? R-e: Okres
*
*
drgań   2 l g wydłuży się, zatem zegar będzie się spóźniać;    l l 
1  T 
1  1  T 2 (skorzystano z roz-
winięcia w szereg funkcji pierwiastkowej, gdyż αT ≪ 1). Spóźnienie zegara po czasie t wyniesie:
t ≃ t(τ* − τ )/τ ≃ tαT/2 = 12·7·24· 602 ·1,84 · 10−5 ·10/2 ≃ 56 s.
164. (S) (a) Okrągły otwór w płycie aluminiowej ma w temperaturze 0oC średnicę 4cm. Jaki będzie jego promień, jeśli
temperatura płyty wzrośnie do 100oC? Współczynnik liniowej rozszerzalności cieplnej aluminium wynosi 2,3·10−5 K−1.
(b) Naczynie aluminiowe o objętości 100cm3 jest całkowicie wypełnione gliceryną o temperaturze 20oC. Ile gliceryny
wyleje się (o ile gliceryna rozleje się) po ogrzaniu naczynia do temperatury 30oC? Współczynnik objętościowej rozszerzalności cieplnej gliceryny wynosi 5·10−4 K−1. R-e: (a) Względny przyrost promienia r/r = αT i r* = r + r = r(1 + αT) ≈
2,0046 cm. (b) Wzrośnie zarówno pojemność naczynia (o VAl = 3αAlV T), jak i objętość gliceryny (o Vglic = βglicV T). Rozleje się
3
gliceryna o objętości V3 = max(0,Vglic − VAl) = max(0, (βglic − 3αAl)VT) ≈ 0,4 cm .
165. (S) Jaka ilość z 260g wody znajdującej się w temperaturze krzepnięcia nie zamarznie po odebraniu jej 50,2 kJ ciepła? Ciepło topnienia lodu 333 kJ/kg. Jaka ilość z 800g wrzącej wody pozostanie po dostarczeniu jej 1 MJ ciepła?
Ciepło parowania wody 2,256 MJ/kg. R-e: (a) Ciepło oddane przez wodę przy krzepnięciu Q = ml, m — masa lodu, l — ciepło
topnienia. Pozostanie m0 −m = m0 − Q/l ≈ 109 g. (b) Ciepło pobrane przez wodę przy parowaniu Q = ml, m — masa pary, l — ciepło
parowania. Pozostanie m0 −m = m0 − Q/l ≈ 357 g.
166.(S) Naczynie miedziane o masie 150g zawiera 220g wody; temperatura układu 20oC. Do naczynia wrzucono miedziany walec o masie 300g. W rezultacie woda zaczęła wrzeć i 5g wody zamieniło się w parę. Końcowa temperatura
układu wyniosła 100oC. Ile energii cieplnej dostarczono układowi? Ile energii cieplnej pobrała woda? Jaka była początkowa temperatura walca? Ciepła właściwe wody i miedzi: 4190 J/(kgK), 386 J/(kgK); ciepło parowania wody w temperaturze wrzenia: 2258 kJ/kg. R-e: Traktujemy układ jako izolowany. Ciepło Q1 = cmiedzimwalca(twalca − tkońc) oddane przez stygnący
walec jest równe sumie ciepeł pobranych przez: ogrzewające się naczynie (Q2 = cmiedzimnacz(tkońc − tpocz)), ogrzewającą się wodę (Q3 =
cwodymwody(tkońc −tpocz)) i parującą wodę (Q4 = lparmpary). Z równania bilansu cieplnego Q1 = Q2+Q3 +Q4 znajdujemy twalca = tkońc
+[(cmiedzimnacz +cwodymwody)(tkońc −tpocz)+lparmpary]/cmiedzimwalca. Podstawiając dane, otrzymujemy twalca = 874oC.
166. Współczesny Romeo, któremu zabroniono wstępu do jakiejkolwiek kuchni, postanowił zagotować Julii
wodę na kawę potrząsając termosem. Przyjmijmy, że: (a) początkowa temperatura wody wynosi 20oC; (b)
podczas każdego potrząśnięcia termosem woda spada z wysokości 30 cm; (c) Romeo potrząsa termosem 30
razy w ciągu minuty. Jak długo Romeo będzie gotował wodę? Ws-ka: Przy jednym potrząśnięciu na ciepło zamienia się
energia potencjalna Q1 = mgh. Wydzielana moc P = fQ1, gdzie f = 30/(60 s) = 0,5 s−1 — częstotliwość potrząsania.
167. (S) Alkohol etylowy wrze w temperaturze 78oC, krzepnie przy −114oC, jego ciepło właściwe 2,43 kJ/(kg·K), ciepło parowania 879 kJ/kg, ciepło krzepnięcia 109 kJ/kg. Ile energii trzeba odebrać od 0,51 kg alkoholu etylowego, który
początkowo jest gazem o temperaturze 78oC, aby zamienić go w ciało stałe o temperaturze −114oC? R-e: Całkowita
energia to ciepło oddane przy skraplaniu gazu, następnie ochładzaniu cieczy, i na końcu jej krzepnięciu: E = mlpar + cm(Tpar − Tkrz)
+mlkrz = m[lpar + c(Tpar − Tkrz) + lkrz] ≈ 756 kJ.
168. Pewna ilość gazu idealnego zwiększa swoją objętość od V0 = 1m3 do Vk = 4m3 i jednocześnie jego ciśnienie maleje od p0 = 40Pa do pk = 10Pa. Narysuj wykresy i wyznacz geometrycznie prace wykonane przy
tym przez gaz w następujących przemianach: (a) (p0,V0)(przemiana izobaryczna)(p0,Vk)(przemiana izochoryczna)(pk,Vk); (b) (p0,V0)(przemiana izochoryczna)(pk,V0)(przemiana izobaryczna) (pk,Vk); (c)
opisanej w układzie współrzędnych (p, V) przez prostą przechodząca przez punkty (p0,V0) i (pk,Vk).
169. (S) Przedstawić we współrzędnych (p,V) na tle rodzin izoterm przemiany cykliczne pokazane na rysunkach po
lewej stronie poniżej.
Rozwiązanie
1
170. Znajdujący się w komorze gaz idealny poddano zamkniętemu cyklowi przemian termodynamicznych:
ABCA, przy czym przejście AB jest przemianą izochoryczną, BC odpowiada przemianie adiabatycznej, a przemiana CA jest izobaryczna. Ciepło dostarczone układowi w procesie AB było równe
20J, a wypadkowa praca wykonana przez układ w jednym cyklu zamkniętym wyniosła 15 J. Ile ciepła dostarczono układowi (lub ile ciepła oddał układ) w przemianie izobarycznej?
171. (S) W naczyniu znajduje się gaz o masie cząsteczkowej μ, temperaturze T i ciśnieniu p. Jaka jest gęstość gazu w
tych warunkach? Obliczenia wykonać dla T = 300K, p = 1,04·105 Pa i µ = 32 kg/kmol. Stała gazowa R = 8,32
J/(mol·K). R-e: Z równania stanu gazu doskonałego pV = nRT = (m/µ)RT otrzymujemy gęstość  = m/V = pµ/(RT) =
5
3
1,04·10 ·0,032/8,32·300 = 1,33 [kg/m ]; dane te odpowiadają O2 pod ciśnieniem atmosferycznym.
172. (S) Gaz idealny poddany jest przemianie cyklicznej ABCA, co ilustruje rys. obok.
Przedstawić przemianę we współrzędnych (p,T) oraz (V,T). Wyrazić przez p0 i V0: (a) pracę
wykonaną przez gaz na każdym odcinku cyklu; (b) całkowitą pracę W wykonaną przez gaz
w każdym cyklu; (c) ciepło Q pobrane przez gaz w każdym cyklu.
R-e. Wyznaczmy skalę temperatur: TA = T0 = p0V0 /nR ;
TB = p03V0 /nR = 3T0; TC = p03V0 /2nR = (3/2)T0. Równanie
prostej AC na powyższym wykresie (p, V ): p(V ) = 5p0/4 −
p0V/(4V0) ; odpowiada to parabolom T(p) = 4T0p( 5p0/4 −
p)/(p0)2 na wykresie (p, T) oraz T(V ) = T0 V (5V0 − V )/
2
(2 V0) na wykresie (V, T); przy przeliczaniu skorzystano z
równania stanu gazu pV = nRT. Praca (tu i w następnych
zadaniach W oznacza pracę wykonaną przez gaz) WAB = 2p0V0 (gdyż p = p0 = const); WBC = 0 (gdyż V = const); WCA = −32p0V0 (pole
trapezu). Pobrane ciepło w cyklu zamkniętym jest równe wykonanej pracy: Q = W = p0V0 (pole trójkąta ABC); stąd można prościej
wyznaczyć pracę WCA = W −WAB −WBC.
172. Jeden mol gazu doskonałego podlega cyklicznej przemianie przedstawionej na
rysunku obok we współrzędnych (p,V). Obliczyć ciepło pobrane przez gaz w przemianie 23 oraz pracę uzyskaną w cyklu, jeśli dane są temperatury: najwyższa T1
i najniższa T2 = T3. R-e: Praca w przemianie izobarycznej W31 = RT = R(T1 − T3); w przemianie
izochorycznej W12 = 0. Z równania stanu gazu p2 = p1T2/T1; praca w całym cyklu W123
=(V1−V3)(p1−p2)/2 = (T1−T3)· nR(p1−p1T3/ T1)/(2p1) = (R/2T1)·(T1 −T3)2 (pole trójkąta 1–2–3). Praca na
odcinku 2→3: W23 = W −W12 −W31 = (R/2T1)·(T1 −T3)2−R(T1 −T3) = −(R/2T1)(T1−T3)(T1+T3) < 0. Ponieważ T2 = T3, zmiana energii
wewnętrznej U23 = 0 i pobrane ciepło Q23 = W23.
174. (S) Masa m wodoru rozszerza się izobarycznie, dwukrotnie powiększając objętość. Znaleźć zmianę entropii w tym
T
procesie. Dane jest ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu cp. R-e: Zmiana entropii S  
dQ 2 mc PdT
T

 mc P ln 2 ;
T
T
T1
T1
z równania stanu gazu doskonałego dla p = const mamy T 2/T1 = V2/V1, zatem S  mc P ln V2 V1   mc P ln 2.
175. (S) Cztery mole gazu doskonałego poddano izotermicznemu dla T = 400K odwracalnemu rozprężaniu od V1 do V2
= 2V1. Obliczyć pracę wykonaną przez gaz oraz zmianę entropii gazu. R-e: Wykonana praca
W 
V2
V2

pdV  nRT 
V1
dV
nRT ln V2 V1   nRT ln 2 (korzystamy z równania stanu pV = nRT). Zmiana entropii S = Q/T =
V
V1
W/T=nRln2 (T=const, więc Q=W.
176. (S) W dwóch naczyniach o pojemnościach V1 i V2 znajdują się masy m1 i m2 gazów o masach cząsteczkowych
odpowiednio μ1 i μ2. Obliczyć ciśnienia parcjalne gazów po ich połączeniu oraz ciśnienie mieszaniny gazów powstałej
po połączeniu tych naczyń przewodem o pomijalnej objętości oraz zmianę entropii w tym procesie. Temperatura gazów
jest stała i wynosi T. R-e: W naczyniach znajduje się odpowiednio n1 = m1/μ1 i n2 = m2/μ2 moli tych gazów. Po połączeniu naczyń
mamy p(V1 + V2) = (n1 + n2)RT, skąd końcowe ciśnienie p = (m1/μ1 + m2/μ2)RT/(V1 + V2). Przy stałej temperaturze dU = 0, więc dQ =
dW i dS = p dV/T = nRdV/V . Zmiana entropii obu gazów to
V1 V2
S  n1 RT

V1
V1 V2
dV
 n2 RT
V

V2
dV
V V
V V
 n1RT ln 1 2  n2 RT ln 1 2 .
V
V1
V2
2
177. (S) Dwa podukłady o temperaturach początkowych T1 i T2 > T1 oraz pojemnościach cieplnych odpowiednio C1 i C2
zetknięto ze sobą, pozwalając na wyrównanie się temperatur. Pokazać, że entropia całego układu rośnie podczas wymiany ciepła. Znaleźć zmianę entropii układu w całym procesie. R-e: Układ jest izolowany, więc dQ1 = −dQ2. Różniczka
entropii dS = dS1 + dS2 = dQ1(1/T1 − 1/T2) > 0, ponieważ T1 < T2 oraz dQ1 > 0 (podukład o niższej temperaturze pobiera ciepło).
Temperaturę końcową Tk znajdujemy z bilansu cieplnego: Q1 + Q2 = C1(Tk − T1) + C2(Tk − T2) = 0; Tk = (C1T1 + C2T2)/(C1 + C2). Całkowita
Tk
zmiana
entropii
T
k
dT
dT
T
T
T
T
 C2 
 C1 ln k  C2 ln k  C1 ln k  C2 ln 2 . Czy
T
T
T1
T2
T1
Tk
T1
T2
S  S1  S2  C1 
otrzymany
wynik
potwierdza wcześniejsze stwierdzenie o wzroście entropii?
178. Znaleźć zmianę entropii przy zamianie masy m lodu o temperaturze T1 w parę o temperaturze T2. Ws-ka:
Zmiana entropii występuje przy ogrzewaniu lodu, jego topnieniu (w stałej temperaturze Tt =
273K), ogrzewaniu wody, jej parowaniu w temperaturze wrzenia (w stałej temperaturze Tw =
373K; w rzeczywistości parowanie zachodzi też w niższych temperaturach) i przy ogrzewaniu
pary do temperatury T2.
179. Gaz dwuatomowy wykonuje cykl Carnota; podczas rozprężania izotermicznego jego objętość wzrasta dwukrotnie, a podczas rozprężania adiabatycznego wykonuje pracę równą 300 kJ. Znaleźć pracę wykonaną podczas pełnego cyklu. R-e: Rozważmy jeden mol takiego gazu. Gaz ma dwuatomowe cząsteczki, zatem
CV = 5R/2. Praca w przemianach adiabatycznych (Q = 0): WBC = −UBC = −CV (T2 − T1) = 5R(T1 − T2)/2 = −WDA (dlaczego?); w przeVB
VB
mianach izotermicznych: WAB  RT1 pdV  RT1 dV RT1 ln VB VA   RT1 ln 2, podobnie

V
VA
VA
VD
VD
WCD  RT2  pdV  RT2

VC
dV
RT2 ln VC VD   RT2 ln 2, gdyż z równania adiabaty
V
VC
TV-1 = const mamy proporcję VC/VB =VD /VA =
(T2 /T1 ) -1 i dalej VC /VD = VB /VA = 2. Ostatecznie W = WAB + WCD = RT1 ln 2 − RT2 ln 2 = Rln2(T1 − T2) = (2/5)· ln2·WBC ≈ 83 kJ.
180. (S) Pierwszy stopień dwustopniowego silnika Carnota pobiera z grzejnika o temperaturze T1 energię w po-
staci ciepła Q1,wykonuje pracę W1 i oddaje do chłodnicy o temperaturze T2 energię w postaci ciepła Q2. Drugi
stopień pobiera energię Q2, wykonuje pracę W2 i oddaje do chłodnicy o jeszcze niższej temperaturze T3
energię Q3. Udowodnij, że sprawność dwustopniowego silnika jest równa (T1 − T3)/T1. R-e: Sprawność silnika
dwustopniowego  = (W1 + W2)/Q1 = [(Q1 − Q2) + (Q2 − Q3)]/Q1 = 1 − Q3/Q1. Ponieważ 1 = 1 − Q2/Q1 = 1 − T2/T1, 2 = 1 − Q3/Q2 = 1 −
T3/T2, mamy 1 − = Q3/Q1 = (Q3/Q2)(Q2/Q1) = T3/T1 i  = (T1 − T3)/T1.
181. Jeden mol gazu doskonałego użyto jako substancji roboczej w silniku wysokoprężnym pracującym według następującego cyklu zamkniętego: (1) (1 2) zapłon od (p1,V1) do (p2 = p1,V2 = 2V1); (2) (23) suw
bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p2,V2) do (p3 = p1/32,V3 = 16V1);
(3) (34) od (p3,V3) do (p4 = p3,V4 = 8V1); (4) suw (41) bez wymiany
ciepła z otoczeniem od (p4,V4) do (p1,V1). Przedstawić ten cykl w zmiennych (p,V). Wykładnik adiabaty  jest znany. Obliczyć: a) Temperatury
na początku i końcu przemian; b) Sprawność silnika. R-e: (a) Znajdziemy wykładnik adiabaty: pV = const, skąd p0(V0) =
−5 3
3−5
(p0/32)(8V0) = 2 2 p0(V0) i dalej 1 = 2 . Otrzymujemy  = 5/3 = (i + 2)/i, skąd liczba stopni swobody cząsteczek i = 3 - są to
cząsteczki jednoatomowe. (b) Wymiana ciepła zachodzi tylko w przemianach izobarycznych. Sprawność  = (QAB − QCD)/QAB.
Wyznaczmy temperatury: z równania stanu pV = RT mamy p0V0 = RTA = RTB /2= 2RTC = 4RTD, więc QAB = Cp(TB − TA) = 5Rp0V0/2, QCD
= Cp(TC − TD) = −5Rp0V0/8. Stąd  = 3/4 .
182. (S) Jeden zamknięty cykl silnika benzynowego składa się z 4 następujących przemian:
(1) (12) zapłon od (p1,V1) do (p2 = 3p1,V1); (2) (23) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p2,V1) do (p3,V3); (3) (34) ssanie od (p3,V3) do (p4,4V1); (4) (41) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p4,4V1) do (p1,V1). Przedstawić ten cykl w zmiennych (p,V).
Traktując mieszaninę benzyna-powietrze jako gaz idealny o znanym wykładniku adiabaty 
obliczyć: a) Ciśnienie i temperaturę na początku i końcu przemian; b) Sprawność silnika.
−1
R-e: Jest to tzw. cykl Otto. (a) Z równań adiabat (2→3, 4→1) w postaci TV  = const oraz z równań
izochor (1→2, 3→4) otrzymujemy stosunki temperatur T2/T1 = 3, T3/T1 = 3/4−1, T4/T1 = 1/4−1. (b) Wymiana ciepła zachodzi tylko
w przemianach izochorycznych: Q12 = CV (T2 − T1) = 2CV T1 (pobrane), Q34 = CV (T4 − T3) = −Q12/4−1< 0 (oddane). Zatem sprawność
= W/Q12 = (Q12 − |Q34||)/Q12 = 1 − |Q34|/Q12 = 1 − 1/4−1= 1 – (V1/4V1)−1 = 1 – ()−1,  =V1/4V1 =1/4 - stopień sprężenia silnika.
3
183. (S) a) Chłodziarka Carnota wymaga 300J pracy, aby pobrać 800J ciepła z komory chłodzenia. Ile wynosi jej
sprawność? Ile ciepła jest odprowadzane na zewnątrz przez chłodziarkę? b) Klimatyzator pobiera energię cieplna z pokoju o temperaturze tz = 21oC i odprowadza ją do otoczenia o temperaturze t0G = 32oC. Ile wynosi jego sprawność ? Ile
dżuli energii pobranej z pokoju przypada na jeden dżul energii elektrycznej dostarczonej klimatyzatorowi? Ile wynosi ,
jeśli temperatura otoczenia wzrośnie do 3t0G, a potem do 10t0G? Ws-ka: patrz rozdział 21 tom II podręcznika D.
Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki. R-e: (a) Chłodziarka pobiera Q2 = 800 J ciepła, więc oddać musi Q1 = Q2 +W =
1100 J. Sprawność silnika pracującego w odwrotnym cyklu  = W/Q1 = 3/11 (Q1 to teraz ciepło pobrane z grzejnicy). Współczynnik
sprawności chłodziarki ′ = Q2/W = 8/3. (b) Jeżeli klimatyzator pracuje w cyklu Carnota, to jego współczynnik sprawności ′ =
Q2/(Q1−Q2) = T2/(T1−T2) = Tz/(Tc – Tz) = 32,7 (temperatury w skali bezwzględnej!).
184. (S) Silnik lodówki ma moc 200W. Ile wynosi maksymalna energia, którą lodówka może odprowadzić w ciągu 10
minut z komory chłodniczej, jeżeli panuje w niej temperatura 270K, temperatura powietrza na zewnątrz wynosi 300K, a
współczynnik wydajności jest taki sam, jak w przypadku chłodziarki Carnota? R-e: Silnik wykonuje pracę W = Pt = 200·
10· 60 = 120 kJ. Mamy Q1 = Q2 + W, gdzie Q1 — ciepło oddane na zewnątrz, Q2 — ciepło pobrane z komory chłodniczej; w cyklu
Carnota Q1/Q2 = T1/T2, skąd W = Q2(T1/T2 − 1) i Q2 = WT2/(T1 − T2). Dla T1 = 300K i T2 = 270K otrzymujemy Q2 = 9W = 1080 kJ.
185. (S) Dwa pręty, z miedzi i z aluminium, o przewodnościach cieplnych odpowiednio 394 i 218W/(mK), długości 50
cm każdy i promieniu 1 cm są połączone szeregowo. Ich powierzchnie boczne są izolowane cieplnie. Wolny koniec
pręta miedzianego znajduje się w temperaturze 80oC, a aluminiowego – w temperaturze 10oC. (a) Jaka jest temperatura
na złączu? (b) Jaka jest szybkość przepływu ciepła przez pręty? R-e: Strumień ciepła w jednorodnym pręcie o długości l i
przewodności λ: q = −λ dT/dx = −λT/l. Pręt jest izolowany, zatem w obu częściach płynie taki sam strumień ciepła q1 = q2, skąd
λ1(Tx − T1) = λ2(T2 − Tx). Stąd znajdujemy Tx = (λ1T1+ λ2T2)/( λ1+ λ2) = (218·10+394·80)/(218+394) ≈ 55 [oC]. Szybkość przepływu ciepła
przez pręt o przekroju S: dQ/dt = qS = λST/l = λ1 (Tx − T1)S/l = λ2 (T2 − Tx)S/l. Po podstawieniu Tx otrzymujemy dQ/dt = λ1 λ2·(T2 −
T1)r2/(l· (λ1 + λ2)) ≈ 218·394/(218+394)· 70· 3,14· (10−2)2/0,5 ≈ 6,2 [W]
186. Oblicz strumień ciepła traconego przez narciarza przez jego ubranie, jeżeli przyjmie się następujące
dane: Pole powierzchni ciała 1,8m2, grubość ubrania 1 cm, temperatura skóry 33oC, temperatura powietrza
1oC i przewodność cieplna właściwa ubrania 0,04W/(mK). Jak zmieniłby się ten rezultat, jeżeli w wyniku
upadku kombinezon narciarza nasiąkłby wodą, której przewodność cieplna właściwa wynosi 0,6W/(mK)?
187. (S) Kulę o promieniu 0,5m, temperaturze 27oC i zdolności emisyjnej 0,85 umieszczono w otoczeniu o temperaturze
77oC. Z jaką szybkością kula: (a) emituje; (b) pochłania promieniowanie cieplne? (c) Jaka jest wypadkowa szybkość
wymiany energii przez kulę? R-e: Temperatura kuli T1 = 300K, promień r = 0,5m, zdolność emisyjna  = 0,85, temperatura
otoczenia T2 = 350K. (a) Moc emitowana Pe = 4r2(T1)4 ≈ 1,23 kW. (b) Moc pochłaniana Pa = 4r2(T2)4 ≈ 2,27 kW(zdolność
absorpcyjna jest równa zdolności emisyjnej, a otoczenie traktujemy jako ciało doskonale czarne o powierzchni równej powierzchni
kuli). (c) Wypadkowa moc wymieniana P = Pa − Pe ≈ 1,04 kW (kula się ogrzewa).
188. Zbiornik zawiera N cząsteczek gazu rozłożonych po równo w obydwóch jego połowach. Przyjmijmy,
że N = 50. (a) Ile wynosi wielokrotność takiej „centralnej” konfiguracji? (b) Ile wynosi całkowita liczba
mikrostanów układu? (c) Jakie jest prawdopodobieństwo konfiguracji centralnej? R-e: (a) Konfiguracji
makroskopowej z 50 cząsteczkami rozmieszczonymi po połowie odpowiada
50
mikroskopowych. (b) Całkowita liczba mikrostanów to n = 2
wystąpienia konfiguracji p1/2 = n1/2/n ≈ 0,11.
 50 
50!
n1/2    
 1,3  1014 konfiguracji
2
25
   25!
15
≈ 1,1·10 . (c) Wartość ta odpowiada prawdopodobieństwu
189. (S) Pokaż, że ciśnienie p(h) w gazie o stałej temperaturze T poddanym działaniu pola grawitacyjnego Ziemi na
wysokości h ma wartość p(h) = p0·exp [−μgh/(RT)] = p0 exp [−m0gh/(kBT)], gdzie p0 – ciśnienie na poziomie morza, μ –
masa molowa, m0 – masa jednej cząstki gazu doskonałego. Ws-ka: Patrz notatki do wykładu. R-e: Rozważmy warstwę
powietrza o grubości dh i przekroju S, znajdującą się na wysokości h. Różnica ciśnień pomiędzy górną i dolną powierzchnią
warstwy, powstała wskutek działania siły ciężkości dF = -Sgdh wynosi dp = dF/S =−gdh, gdzie  = pμ/(RT) — gęstość gazu (z
równania Clapeyrona). Stąd otrzymujemy równanie różniczkowe dp/p = −gμ/(RT)dh, którego rozwiązaniem jest p(h) =
p0exp[−μgh/(RT)].
190. (S) Samolot leci na wysokości 8300 m. W kabinie pasażerów utrzymywane jest ciśnienie odpowiadające ciśnieniu
powietrza na wysokości 2700 m. Oszacować: a) Stosunek gęstości powietrza w kabinie, gdzie temperatura wynosi
+20oC, do gęstości powietrza otoczenia o temperaturze −20oC; b) różnicę ciśnień między wnętrzem i otoczeniem. Masa
molowa powietrza 29 g/mol. R-e: Obliczmy najpierw ciśnienie powietrza na wysokości h1 = 2700m (i zarazem w kabinie),
przyjmując p0 = 105 Pa i atmosferę o średniej temperaturze Ta = 273K i masie molowej μ = 29 g/mol: p1 = p0exp[−μgh1/(RTa)] ≈
0,71p0. Ciśnienie na zewnątrz (h2 = 8300m): p2 = p0e[−μgh2/(RTa)] ≈ 0,35p0. Gęstość = pμ/(RT), zatem stosunek gęstości 1/2 =
p1T2/(p2T1) ≈ 1,75 dla T1 = 293K i T2 = 253K. Różnica ciśnień p1 − p2 ≈ 0,36p0 ≈ 360 hPa.
4
191. (”Odmrażanie” stopni swobody) a) Obliczyć energię ruchu cieplnego oraz molową pojemność cieplną
CV gazu idealnego o temperaturze T oraz i stopniach swobody korzystając z zasady ekwipartycji energii
cieplnej. b) Przy dostatecznie wysokich temperaturach cząsteczka gazu dwuatomowego rotuje w przestrzeni
(sztywna dwuatomowa molekuła wiruje w przestrzeni) i średnia energia tego stopnia swobody wynosi kBT. Ile
wynosi w tych warunkach pojemność molowa CV1 ? (Gaz cząsteczek H2 w przedziale temperatur od 350K do
około 800K wykazuje CV = CV1 .) c) Przy jeszcze wyższych temperaturach wzbudzane są wibracyjne stopnie
swobody cząstki dwuatomowej (atomy wykonują ruch drgający wzdłuż linii łączącej je), przy czym średnia
energia takiego ruchu wynosi kT. Obliczyć pojemność CV 2  przy bardzo wysokich temperaturach. (Gaz
cząsteczek H2 o temperaturze powyżej 5000K wykazuje
CV = CV 2  ) Patrz notatki do wykładu. R-e: Zgodnie z
zasadą ekwipartycji energii, na każdy stopień swobody przypada energia kBT/2, zatem N cząsteczek gazu o i stopniach swobody ma
energię U(T) = NikBT/2. Molowa pojemność cieplna CV = (∂U/∂T)V /n = CV = (∂U/∂T)V /n = NikB/(2N/NA) = i(kBNA/2 = iR/2. (a) Mamy
trzy stopnie swobody ruchu postępowego, czyli energię 3kBT/2 na cząsteczkę. Łącznie z energią ruchu obrotowego daje to 5kBT/2
1
na cząsteczkę, skąd otrzymamy, jak wyżej, CV = 5R/2. (b) Dodając jeszcze energię ruchu drgającego, mamy 7kBT/2 na cząsteczkę,
zatem CV  = 7R/2.
2
192. Średnia wartość kwadratu prędkości idealnego gazu mugoltronów, będących składnikiem atmosferę w
świecie mugoli1, wynosi vm2   k BT m0 , gdzie m0 — masa jednego mugoltronu i  — stała Pottera.
Korzystając z toku rozumowania zastosowanego na wykładzie do otrzymania równania Clapeyrona stanu
gazu doskonałego, wyprowadzić równanie stanu gazu mugoltronów. Wykreślić w zmiennych (P, V )
izotermy, izobary i izochory dla tego hipotetycznego gazu. R-e: Zamknijmy N cząstek w sześciennym naczyniu o
objętości

V
=
a3.
Średni
v x2  v x2  v 2y  v z2

kwadrat
dowolnej
3  v 2 3   k BT
składowej
 3m0  .
prędkości,
np.
vx,
z
uwagi
na
symetrię
wynosi
Ciśnienie wywierane na parę przeciwległych ścianek przez cząstkę
poruszającą się prostopadle do nich z prędkością v wynosi F/A = (p/t)/a2 = m0v2/a3, gdzie p = 2m0v — zmiana pędu przy odbiciu
od ścianki, t = 2a/v — czas między kolejnymi odbiciami. Dla N cząstek mamy P = Nm0 v x2 /a3, skąd PV = Nm0 v x2 = αNkBT/3 lub
PV = αnRT/3 (n — liczba moli gazu mugoltronów). Izotermy, izobary i izochory są we współrzędnych (P, V ) odpowiednio
hiperbolami i prostymi (poziomymi i pionowymi), jak dla „zwykłego” gazu doskonałego.
193. (S) Stacja meteorologiczna jest umieszczona na wysokości 3250m. Oszacować ciśnienie powietrza na tej
wysokości. Przyjąć: temperaturę powietrza 5oC, masę molową powietrza 29 g/mol, ciśnienie na poziomie morza p0 =
1000 hPa. R-e: Postępujemy, jak w zadaniu 188; p ≈ 680 hPa.
194. (S) Załóżmy, że atmosferę Ziemi tworzą tylko atomy: azotu, lub tlenu albo wodoru. Oszacować ciśnienie takiej
atmosfery na wysokości 1km. Przyjąć: temperaturę atmosfery 5oC, ciśnienie na poziomie morza p0=1000 hPa. Porównać
otrzymany wynik z ciśnieniem powietrza w tych samych warunkach i na tej samej wysokości przyjmując masę molową
powietrza 29g/mol. R-e: Postępując jak w zadaniu 188, otrzymujemy ciśnienia na wysokości 1km: dla powietrza
p=884hPa, dla azotu (μ=28g/mol) p=888 hPa, dla tlenu (μ=32 g/mol) p=873 hPa, dla wodoru (μ=2 g/mol) p= 992 hPa.
195. (S) Na jakiej wysokości ciśnienie powietrza stanowi 75% ciśnienia na poziomie morza? Masa molowa powietrza
29 g/mol. R-e: Rozwiązaniem równania p(h)/p(0)=exp[−μgh/(RT)]=0,75 jest h = −RT/(μg) ln 0,75 ≈ 2,3km (dla T = 273K).
197. (S) Ile waży 1m3 powietrza: (1) na powierzchni Ziemi; (2) na wysokości 4 km nad jej powierzchnią? Przyjąć
temperaturę powietrza 0oC. Ciśnienie na poziomie morza p0 = 1000 hPa. R-e: Gęstość ̺ = nμ/V = pμ/(RT) będzie się w
izotermicznej atmosferze zmieniać z wysokością jak ciśnienie. Dla h = 0 mamy ≈ 1,28 kg/m3 i 1m3 powietrza waży Q ≈
12,6N; dla h = 4 km zaś  ≈ 0,78 kg/m3 i Q ≈ 7,6N.
Wrocław, 27 grudnia 2013
W. Salejda
1
Mugol - człowiek, który nie posiada zdolności magicznych i nie jest w stanie w żaden sposób ich u siebie rozwinąć. Pochodzi z rodziny mugoli (gdy pochodzi z
czarodziejskiej rodziny, to jest charłakiem). Wobec mugoli stosowane są środki ostrożności mające na celu odciągnięcie ich uwagi od świata czarodziejów.
Nadzoruje tego typu działania Ministerstwo Magii. Czarodzieje ukrywali się przed mugolami ze względu na ich historyczną wrogość wobec siebie.
5