LIGA MATEMATYCZNA 2006/2007 Powodzenia!!!

LIGA MATEMATYCZNA 2006/2007
FINAŁ
17 kwietnia 2007
Czas pisania : 90 minut
Prosimy rozwiązywać zadania na oddzielnych kartkach!
Zadanie 1. Dla jakiej wartości parametru m zbiór rozwiązań układu
(
x2 + y 2 − 4y + 3 < 0
y = mx2
nie jest pusty?
Zadanie 2. Pewien człowiek prowadził psa na smyczy w stronę domu ze stałą prędkością 4 mil
na godzinę. W odległości 10 mil od domu pies zostaje spuszczony ze smyczy i natychmiast biegnie
do domu z prędkością 6 mil na godzinę. Po dotarciu na miejsce zawraca i biegnie do pana z tą
samą prędkością. Dobiegłszy do pana znowu zawraca w kierunku domu. Sytuacja taka powtarza
się, aż w końcu właściciel psa dociera do domu i wpuszcza psa do środka. Ile mil przebiegnie pies
od chwili spuszczenia ze smyczy do chwili wejścia do domu?
Zadanie 3. Oblicz długość promienia kuli wpisanej w czworościan foremny o krawędzi długości a.
Zadanie 4. Wykaż, że jeżeli różne od zera liczby x1 , x2 są pierwiastkami równania ax2 + bx + c = 0,
to odwrotności liczb x1 , x2 są pierwiastkami równania cx2 + bx + a = 0.
Zadanie 5. Na studenckiej imprezie znalazło się 10 osób. Wiemy, że żadne trzy z nich wcześniej
się nie znały (tzn. Jeśli Abacki znał Babackiego, a Babacki Cabackiego, to Abacki nie mógł
znać Cabackiego). Ile maksymalnie mogło być znajomości (znajomości liczymy w ten sposób, że
jeżeli Abacki zna Babackiego, Babacki zna Cabackiego, Cabacki zna Dabackiego, a Dabacki zna
Abackiego, to mamy 4 znajomości) ?
Uwaga ! Zakładamy, że jeżeli Abacki zna Babackiego, to Babacki zna Abackiego (i liczymy to
jako jedną znajomość).
Powodzenia!!!