Wykład 7 (18 XI 2010) Algebra macierzy

Bez znajomości takich pojęć algebry liniowej jak liniowość, wektor, przestrzeń liniowa, macierz itp., jest
się dzisiaj nieomal analfabetą w naukach przyrodniczych i być może również w naukach społecznych.
Lars Gårding, Spotkanie z matematyką
Wykład 7 (18 XI 2010)
Algebra macierzy
Treść wykładu. Macierze i ich algebra
Definicja i podstawowe przykłady.
Dodawanie macierzy i mnożenie przez liczbę.
Specjalne typy macierzy
Przestrzeń kartezjańska Rn .
7.1
7.1.1
Macierze i ich algebra
Pojęcie macierzy, pierwsze przykłady
Przykład 7.1.1 W zbiorze {1, 2, 3} rozważymy relację ρ określoną jako
ρ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2) (3, 3)}.
Relację tę można zapisać za pomocą tabeli o wymiarach 3 × 3 w nastepujący sposób. W główce każdego wiersza umieszczamy jedną pod drugą liczby 1, 2 3 służące jako numery kolejnych wierszy i w podobnym celu umieszczamy te liczby w
głowce każdej kolumny. Następnie na skrzyżowaniu wiersza i z kolumną j umieszczemy 1 jeśli (i, j) ∈ ρ i 0 w przeciwnym
przypadku. W ten sposób otrzymamy tabelkę
ρ
1
2
3
1
1
0
0
2
1
1
0
3
1
0
1
która w pełni charakteryzuje tę relację. W podobny sposób dowolną relację binarną w skończonym zbiorze można reprezentować za pomocą tabeli nazwanej „macierzą relacyjną”.
Przejdziemy do uogólnienia konstrukcji z powyższego przykładu. Będziemy rozważać tabele prostokątne wypełnione liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, takie jak
"
#
0 i
−i 0
1
2


3
4

lub
43
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1

.
2
3

(7.1)
ALiGA — Wykład 6.
44
Przyjmując, że tabela ma m wierszy i n kolumn (m i n mogą być dowolnymi liczbami naturalnymi)
możemy ją przedstawić w następującej formie:










a11 . . . a1j . . . a1n
a21 . . . a2j . . . a2n
........................
ai1 . . . aij . . . ain
........................
am1 . . . amj . . . amn





.




W tym zapisie wyróżniliśmy kolumnę o numerze j i wiersz o numerze i, a także stojący na ich przecięciu
element aij . Na przykład dla pierwszej z macierzy w (7.1) mamy
a11 = 0,
a12 = i,
a21 = −i,
a22 = 0.
Bardziej zadowalające określenie macierzy ujmuje ją jako pewnego rodzaju funkcję. Wprowadzimy najpierw oznaczenie Nm dla zbioru liczb naturalnych z zakresu (1, m) — Nm = { n ∈ N | 1 ¬ n ¬ m }.
Definicja 7.1 (Macierz prostokątna) Ustalmy dwie liczby naturalne m, n i rozważmy zbiór par
uporządkowanych Nm × Nn = {(i, j) | 1 ¬ i ¬ m; 1 ¬ j ¬ n}. Macierzą o m wierszach i n kolumnach
i wyrazach z ciała R nazywamy odwzorowanie
Nm × Nn ∋ (i, j) 7→ aij ∈ R,
zbioru Nm ×Nn w zbiór liczb rzeczywistych R. Macierz taką oznaczamy symbolem [aij ], lub jeśli potrzeba
dokładniej zaznaczyć obszar zmienności wskaźników, [aij ] 1¬i¬m .
1¬j¬n
Analogiczne odwzorowanie, które przyjmuje wartości z ciała liczb zespolonych C, nazywamy macierzą o wyrazach zespolonych.
Macierzą zerową nazywamy macierz, oznaczaną 0, której wszystkie wyrazy są równe zeru.
Zbiór wszystkich macierzy o rozmiarach m × n i wyrazach rzeczywistych będziemy oznaczać symbolem Mm×n (R) i nazywać przestrzenią macierzy nad ciałem R o rozmiarach m × n. Dla przestrzeni
macierzy o rozmiarach m × n i wyrazach z C używamy analogicznego oznaczenia Mm×n (C).
Macierz o rozmiarach n × n nazywamy macierzą kwadratową stopnia n — dla takiej macierzy liczba
kolumn równa jest liczbie wierszy. Dla uproszczenia zamiast Mn×n (R) (lub Mn×n (C)) będziemy w takim
przypadku pisać Mn (R) (lub Mn (C)) i mówić o przestrzeni macierzy kwadratowych stopnia n.
Podkreślmy, równość macierzy wymaga spełnienia dwóch warunków: równości rozmiarów
obu tablic, a także i tego, aby na tych samych miejscach w obu tablicach występowały
jednakowe elementy. Inaczej mówiąc, jeśli A = [aij ] 1¬i¬m , B = [bij ] 1¬i¬p , to
1¬j¬n
A=B
⇐⇒
m = p, n = q
oraz aij = bij
1¬j¬q
dla wszystkich 1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n.
(7.2)
W przypadku macierzy kwadratowej stopnia n, A = [aij ], elementami diagonalnymi nazywane są
elementy aii dla i = 1, 2, . . . , n. Będziemy także mówić, że elementy te tworzą przekątną główną
macierzy A. Podobnie powiemy, że aij leży poniżej głównej przekątnej, jeśli i < j, odpowiednio powyżej
przekątnej, jeśli i > j.
Dla ustalonego 1 ¬ i ¬ m elementy ai1 , ai2 , . . . , ain tworzą tablicę o wymiarach 1 × n nazywaną
i-tym wierszem macierzy, a elementy a1j , a2j , . . . , amj tworzą tablicę o wymiarach m × 1 nazywaną j-ta
kolumną macierzy.
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 21 stycznia 2011 roku)
45
Tablice o rozmiarach 1×n i m×1 można utożsamiać z ciągami o n, odpowiednio m elementach, gdyż
w ich zapisie jeden indeks jest nieistotny, bo niezmienny. A zatem w pierwszym przypadku będziemy
pisać
x = [x1 , x2 , . . . , xn ],
a w drugim przypadku
x1
 
 x2 

x=
 ..  .
 . 


xm
Tablice indeksowane za pomoca jednego wskaźnika nazywa się, odpowiednio, wektorami wierszowymi
lub wektorami kolumnowymi.
Ten rodzaj macierzy odgrywa pierwszorzędną rolę zarówno w rozważaniach teoretycznych jak i w
zagadnieniach praktycznych. Z tego względu wyróżnimy ten przypadek w formie oddzielnej definicji.
Definicja 7.2 (Przestrzeń kartezjańska) Zbiór wszystkich n-wyrazowych ciągów liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem Rn i nazywamy rzeczywistą przestrzenią kartezjańską o n wymiarach. Elementy tej przestrzeni nazywamy wektorami lub kartezjańskimi n-wektorami, a same wyrazy ciągu będziemy nazywać współrzędnymi wektora.
Abstrahując od rozróżnienia między wektorami wierszowymi a kolumnowymi wektory przestrzeni
kartezjańskiej Rn będziemy zapisywać za pomocą nawiasów okrągłych w następującej formie: x =
(x1 , . . . , xn ), y = (y1, . . . , yn ) itp. Dla oznaczenia ciągu, którego wszystkie elementy są równe zeru,
będziemy także używać symbolu zera, tak że zachodzić będzie (na mocy definicji) relacja
0 = (0, 0, . . . , 0).
7.1.2
Szczególne typy macierzy
Przedstawimy teraz pewne szczególne typy macierzy, o których będziemy często mówić w tych wykładach.
Macierz kwadratową D = [dij ], której wyrazy spełniają warunek dij = 0 dla każdej pary i, j, takiej
że i 6= j, nazywamy macierzą diagonalną. Macierz diagonalna stopnia n ma zatem postać

D=








d1 0 0
0 d2 0
0 0 d3
.. .. ..
. . .
0 0 0
W szczególności macierz diagonalną stopnia n
jednostkową stopnia n i oznaczać

1

0


In = 0
.
 ..

...
...
...
..
.
0
0
0
..
.
. . . dn





.



z jedynkami na diagonali będziemy nazywać macierzą
0
1
0
..
.
0
0
1
..
.
...
...
...
..
.

0

0

0
,
.. 
.

0 0 0 ... 1
a jeśli jej stopień jest jasny z kontekstu, lub nieistotny, po prostu I.
ALiGA — Wykład 6.
46
Zauważmy, że kolumnami tej macierzy są wektory (ponumerowane zgodnie z porządkiem kolumn)
 
1
 
0
 

k
e1 = 
0 ,
.
 .. 
 
0
 
0
 
1
 

k
e2 = 
0 ,
.
 .. 
 
0
 
0
 
0
 

k
e3 = 
1 ,
.
 .. 
 
 
0
...,
ekn =
0
 
0
 
0
 ,
.
 .. 
 
(7.3)
1
a jej wierszami — wektory
ew
1 = [1, 0, 0, . . . , 0],
ew
2 = [0, 1, 0, . . . , 0],
ew
3 = [0, 0, 1, . . . , 0],
...,
ew
n = [0, 0, 0, . . . , 1].
(7.4)
Tutaj górny wskaźnik k symbolizuje wektor kolumnowy, a w — wektor wierszowy.
W przypadku, gdy nie będziemy zwracać uwagi na rozróżnienie między wektorami kolumnowymi
a wektorami wierszowymi, to elementy te będziemy oznaczać po prostu jako ei i traktować jako nelementowe ciągi liczbowe. Wówczas symbol ei będzie oznaczać taki n-elementowy ciąg liczbowy, którego
wszystkie, poza jednym, elementy sa równe zeru, a jedyny różny od zera element jest równy 1 i znajduje
się na i-tym miejscu. Na przykład,
e1 = (1, 0, . . . , 0),
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0),
e3 = (0, 0, 1, 0, . . . , 0),
....
(7.5)
Ciągi te, traktowane jako elementy przestrzeni Rn , będziemy nazywać wektorami bazy standardowej (lub
zero-jedynkowej) przestrzeni Rn . Niezwykle ważne pojęcie bazy przestrzeni wektorowej, tu wprowadzone
ad hoc, wyjaśnimy dokładniej w dalszym ciągu.
Ogólniejsze niż macierze diagonalne są macierze trójkątne, w których zera występują we wszystkich
miejscach poniżej głównej przekątnej — nazywamy je macierzami górno-trójkątnymi, albo we wszystkich
miejscach powyżej głównej przekątnej — te nazywamy macierzami dolno-trójkatnymi. W przypadku
macierzy kwadratowych stopnia 3 te typy macierzy mają następującą postać:


macierz górno-trójkątna,


macierz diagonalna,


macierz dolno-trójkątna.
a11 a12 a13


 0 a22 a23  ,
0
0 a33
a11 0
0

0 
 0 a22
,
0
0 a33
a11 0
0

0 
,
 a21 a22
a31 a32 a33
Macierz, będąca jednocześnie macierzą górno- i dolno-trójkątną jest macierzą diagonalną.
Macierzą permutacji nazywamy macierz kwadratową, która w każdym wierszu i w każdej kolumnie
ma po jednym wyrazie równym 1, a pozostałe wyrazy są równe 0. Na przykład macierzą permutacji
jest macierz


0 1 0 0 0


 0 0 0 1 0



P =
 1 0 0 0 0


 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 21 stycznia 2011 roku)
47
Macierzy takiej można w następujący sposób przyporządkować permutację zbioru {1, 2, . . . , n}, tj. wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie {1, 2, . . . , n} na siebie. Punktem wyjścia jest macierz jednostkowa
I5 tego samego stopnia


1 0 0 0 0


0 1 0 0 0



I5 = 
0 0 1 0 0 ,


0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
która również w każdej kolumnie ma tylko jedną jedynkę (na głównej przekątnej) a poza nią same zera.
Przestawimy teraz w obrębie każdej kolumny jedynkę na miejsce, które zajmuje jedynka w macierzy P
— w pierwszej kolumnie jedynka z pierwszego wiersza wędruje do wiersza trzeciego, w drugiej kolumnie
z wiersza drugiego do wiersza pierwszego itd, aż do wyczerpania wszystkich kolumn. Zbierając wykonane
kroki widzimy, że dla otrzymania macierzy P należało dokonać przestawień danych tabelą
!
1 2 3 4 5
.
3 1 4 2 5
Łączny efekt tych przestawień wyznacza odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne zbioru {1, 2, . . . , n}
na siebie, zwane permutacją. O tych odwzorowaniach i ich własnościach będzie jeszcze wielokrotnie
mowa w tym wykładzie.
7.2
7.2.1
Działania algebraiczne w zbiorze macierzy. I
Dodawanie macierzy i mnożenie przez liczby
Jeśli dane są dwie macierze o tych samych rozmiarach, to można otrzymać nową macierz sumując
stojące na tych samych miejscach wyrazy danych macierzy. Można utworzyć nową macierz mnożąc
każdy z wyrazów danej macierzy przez jedną i tę samą liczbę. Takie określenia w naturalny sposób
wynikają z przyjętego przez nas punktu widzenia, w którym macierz traktuje się jako funkcję zadaną
na zbiorze indeksów. W sposób ścisły definicje te sformułujemy jak następuje:
Definicja 7.3 (Dodawanie macierzy i mnożenie ich przez liczby)
Dla macierzy A, B ∈ Mm×n (R), A = [aij ], B = [bij ] określamy sumę A + B wzorem
A + B = C,
C = [cij ], gdzie cij = aij + bij ,
dla 1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n.
Jeśli A ∈ Mm×n (R) i λ jest liczbą rzeczywistą, λ ∈ R, to iloczyn λA jest określony wzorem
λA = [λaij ].
Przykład 7.2.1 Rozważmy macierze
A=
1 0
,
0 0
B=
0 0
0 1
z przestrzeni M2 (R) macierzy kwadratowych stopnia 2. Łatwo zauważyć, że mamy wówczas
1 0
0 0
1 0
A+B =
+
=
.
0 0
0 1
0 1
W zbiorzy macierzy Mm×n (R) o ustalonych rozmiarach działania wprowadzone Definicją 7.3 mają
następujące własności, analogiczne do własności działań arytmetycznych w ciele liczb rzeczywistych.
ALiGA — Wykład 6.
48
Stwierdzenie 4 (Własności działań algebraicznych w zbiorze macierzy)
(I) Własności dodawania macierzy
Dla dowolnych macierzy A, B, C ∈ Mm×n (R) zachodzą równości
A + (B + C) = (A + B) + C
A+B =B+A
0+A=A
(łączność dodawania),
(przemienność dodawania),
(neutralność 0 wzg. dodawania),
(7.6)
(7.7)
(7.8)
Jeśli macierz −A jest zdefiniowana wzorem −A = [−aij ], to
A + (−A) = 0
(odwracalność dodawania).
(7.9)
Macierz −A nazywa się macierzą przeciwną do A.
(II) Własności mnożenia macierzy przez skalary
Dla dowolnych macierzy A, B ∈ Mm×n (R) i dowolnych liczb λ, µ ∈ R zachodzą równości
λ(µA) = (λµ)A
(λ + µ)A = λA + µA
λ(A + B) = λA + λB
(łączność),
(prawo rozdzielności mnożenia),
(prawo rozdzielności dodawania),
(7.10)
(7.11)
(7.12)
(unitarność mnożenia przez skalary).
(7.13)
Ponadto
1A = A
Sprawdzenie tych własności pozostawiamy do wykonania zainteresowanemu czytelnikowi.
Zauważmy, że macierz przeciwna do A jest dana wzorem
−A = (−1)A.
Podobnie jak w przypadku dodawania liczb dodawanie macierzy przeciwnej nazywamy odejmowaniem
i dla A + (−B) używamy oznaczenia A − B.
Z odwracalności dodawania i neutralności względem dodawania macierzy zerowej 0 wynika jednoznaczna rozwiązalność równań postaci A + αX = B w zbiorze macierzy jednakowych rozmiarów, pod
warunkiem 0 6= α ∈ R. Rzeczywiście, rozwiązaniem równania
A + αX = B
w zbiorze Mm×n (R) jest macierz X =
1
B−A .
α
Inaczej mówiąc, dla dowolnej różnej od zera liczby α ∈ R i dowolnej A ∈ Mm×n (R) odwzorowanie
Mm×n (R) ∋ X 7→ A + αX ∈ Mm×n (R)
jest bijekcją.
Przykład 7.2.2 Rozwiążemy równanie
3X + A = B
dla macierzy A ∈ M2 (R) i B ∈ M2 (R) danych, odpowiednio, jako
2
1
5
A=
,
B=
−2 −10
1
7
.
−2
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 21 stycznia 2011 roku)
49
Dodając do obu stron równania macierz przeciwną do A otrzymamy
5
7
2
1
3 6
3X = B − A =
−
=
,
1 −2
−2 −1
3 3
a stąd
X=
1
1
2
.
1
Suma macierzy A, B, . . . , K jednakowych wymiarów jest na mocy łączności dodawania określona jednoznacznie (tj. nie zależy od sposobu grupowania jej składników przy dodawaniu), a na mocy
przemienności nie zależy od porządku składników. Możemy ją wyrazić wzorem
A + B + . . . + K = [aij + bij + . . . + kij ].
Ogólniej, często będziemy chcieli tworzyć sumy złożone z większej liczby składników postaci αA, gdzie
A jest macierzą i α ∈ R. W takich sytuacjach wykorzystywać będziemy pojęcie kombinacji liniowej,
wprowadzone w następujący sposób. Niech Ai , i ∈ {1, 2, . . . , k} oznacza ciąg k macierzy tych samych
rozmiarów, powiedzmy m × n, i niech αi , i ∈ {1, 2, . . . , k} będzie ciągiem liczb o tej samej liczbie
elementów. Wyrażenie
α1 A1 + α2 A2 + . . . + αk Ak
(7.14)
będziemy nazywać kombinacją liniową elementów Ai o współczynnikach αi . Taką kombinację liniową
można też krótko zapisać używając symbolu sumy w postaci
k
X
αi Ai .
(7.15)
i=1
Przykład 7.2.3 W przestrzeni M2 (R) macierzy kwadratowych stopnia 2 rozważmy macierze
E11
1
=
0
0
,
0
E12
0
=
0
1
,
0
E21
0 0
=
,
1 0
E22
0 0
=
0 1
i niech a11 , a12 , a21 , a22 będą danymi liczbami. Łatwo sprawdzić, że mamy wówczas
a11 a12
= a11 E11 + a12 E12 + a21 E21 + a22 E22 .
a21 a22
Inaczej mówiąc, wykazaliśmy, że każda macierz A ∈ M2 (R) jest pewną kombinacją liniową macierzy Eij .
W Zadaniach umieszczonych na końcu tego wykładu przedstawiamy do wykazania kilka innych
własności działań w zbiorze macierzy.
Podkreślmy na zakończenie raz jeszcze, że dodawanie macierzy, rozpatrywane „wewnątrz” zbioru
macierzy o ustalonych rozmiarach, ma wszystkie własności algebraiczne dodawania w zakresie liczb
rzeczywistych — jest łączne, przemienne i odwracalne.
7.3
Działania algebraiczne w przestrzeni kartezjańskiej Rn
Stwierdzenie 4 stosuje się w szczególności do przestrzeni Mn×1 (R) wektorów wierszowych (macierzy jedno-kolumnowych), a także przestrzeni wektorów kolumnowych (macierzy jedno-wierszowych)
M1×n (R), które w istocie różnią tylko sposobem użytym do zapisu n-elementowych ciągów liczbowych
i dlatego mogą być identyfikowane z przestrzenią kartezjańską Rn .
ALiGA — Wykład 6.
50
Na podstawie samych definicji działań i ich własności zastosowanych do przypadku wektorów kolumnowych, odpowiednio wierszowych, czytelnik bez trudu sprawdzi prawdziwość następujących równości.
1
0
0
x1
 
 
 
 
n
X
 1
0
 x2 
0
 .  = x1  .  + x2  .  + . . . + xn  .  =
xj ekj ,
.
.
.
 . 
.
.
.
 . 


 
 
 
(7.16)
j=1
0
xn
0
1
i odpowiednio dla wektorów wierszowych
[x1 , . . . , xn ] = x1 [1, 0, . . . 0] + x2 [0, 1, . . . 0] + . . . + xn [0, 0, . . . , 1] =
n
X
xj ew
j .
(7.17)
j=1
k
W ostatnich wyrażeniach powyższych równości użyliśmy notacji ew
j , odpowiednio ej , wprowadzonej wzorami (7.3) i (7.4). Z tych równości wynika, że każdy wektor przestrzeni kartezjańskiej można otrzymać
z wektorów bazy standardowej stosując do nich operację mnożenia przez odpowiednio dobrane skalary
i dodawania.
Trzymając się terminologii wprowadzonej dla macierzy dowolnych rozmiarów, będziemy i w tym
przypadku używać nazwy kombinacja liniowa wektorów w1 , . . . , wk o współczynnikach α1 , . . . , αk dla
wyrażenia postaci
α1 w1 + α2 w2 + . . . + αk wk =
n
X
αj wj ,
(7.18)
j=1
gdzie w1 , . . . , wk jest dowolnym ciągiem wektorów przestrzeni Rn , a α1 , . . . , αk ciągiem liczb o tej samej
n
P
liczbie elementów. Jeśli
αj wj = 0, to powiemy, że jest to kombinacja zerowa.
j=1
Stwierdzenie 5 (Przedstawienie wektora przestrzeni kartezjańskiej w bazie standardowej)
Dowolny wektor przestrzeni kartezjańskiej Rn można wyrazić w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy standardowej z jednoznacznie wyznaczonymi współczynnikami. Mianowicie, jeśli x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈
Rn , to
x=
n
X
xi ei ,
(7.19)
i=1
gdzie ei dla i ∈ {1, 2, . . . , n} oznaczają wektory bazy standardowej.
Możliwość takiego zapisu wektora x wykazaliśmy powyżej, a jednoznaczność współczynników wynika z
łatwej obserwacji, że i-ty współczynnik kombinacji jest równy i-temu elementowi ciągu (x1 , x2 , . . . , xn ).
Przykład 7.3.1 Przez zastosowanie wzoru (7.19) otrzymać można przedstawienie każdego konkretnego wektora jako
kombinacji wektorów bazy standardowej. Na przykład dla wektora (2, −1, −5, 3) ∈ R4 otrzymamy
(2, −1, −5, 3) = 2e1 − e2 − 5e3 + 3e4 .
Tutaj oczywiście wektory ei dla i = 1, . . . , 4 są dane przez wzor (7.5) zastosowany do przypadku n = 4, tj.
e1 = (1, 0, 0, 0),
e2 = (0, 1, 0, 0),
e3 = (0, 0, 1, 0),
e4 = (0, 0, 0, 1).
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 21 stycznia 2011 roku)
7.4
51
Lista zadań nr. 7
Tematyka: Pojęcie macierzy i ich rodzaje. Działania algebraiczne na macierzach.
1. Wyznaczyć w jawnej postaci macierz A ∈ M4 (R), której elementy są zadane wzorem:
a)

i + k,
dla i ¬ k,
dla i > k;
aik = 
i·k

1,
b)
dla i = k,
dla i =
6 k.
aik = 
(i − k)−2 ,
2. Wsród podanych macierzy wskazać: macierze symetryczne (takie, dla których aij = aji przy
wszystkich i, j); macierze antysymetryczne (takie, dla których aij = −aji przy wszystkich i, j);
macierze górnotrójkątne.
1 2
3 4
2 0 −1 3 



;
3 −1 2
7
4 2
7 10

1 2
3 4
2 0 −1 3 



;
3 −1 2
7
4 3
7 10


−11 0
1 −2
 0
0 −1 3 


;

 0
0
2
7
0 −3 2 10
−11
 0


 0
0



0 1 −2
0 −1 3 

;
0 2
0
0 0
1



−11
 2


 3
4
5 0 4
0 −1 3 

;
0 2 7
3 7 10
−11
 0


 0
0
0
3
0
0


−11
 −5


 0
1

0
−5


 0
1
1 −2
0 3

;
0 1
0 0


5 0 −1
0 0 −3

;
0 −1 3 
3 −3 0

5 0 −1
0 0 −3

.
0 −1 3 
3 −3 0

3. Wykonać te spośród podanych niżej działań, które są dobrze określone.
a)
b)
c)
d)
e)
2A − 3B
3A − 2B
A+B
#
1 0
;
B=
0 1
"
#
"
0 1
,
dla A =
1 0
0 1
dla A =
,
1 0
dla A =
"
1 0 0


B = 0 1 0 ;
0 0 1
1 1 1
,
1 1 1

1 1 1


dla A = 1 1 1 ,
1 1 1
dla A =
#
0 1
,
1 0


#
"
#
1 0 1
B=
;
0 1 1

A + 2B + 3C
A+B
"
#
"



1 0 0


B = 0 1 0 ,
0 0 1

1 0 0

B=
 0 1 0 .
0 0 1



1
−1
h
i




A = −1 ,
B =  1 ,
C = −1 1 −2 ,
2
−2


"1√
#
1
− √312
0, 25
3
−
4√
√ .
D = 2√1
,
F = 1 q
−(1
−
3)
√
−
4
−
2
3
3
3

2 0 0


C = 0 3 0 ;
0 0 4
4. Które z podanych niżej macierzy są: a) równe; b) do siebie przeciwne?


ALiGA — Ćwiczenia 7.
52
5. Niech a, b ∈ M1×4 (R) będą dane jako
a = [2, 3, −1, 0], b = [1, 1, 1, 1].
Rozwiązać równanie 2x + a = 3b.
6. Niech A ∈ M2 (R) i B ∈ M2 (R) będą równe, odpowiednio
"
#
"
−2
1
A=
,
2 −10
#
1 2
B=
.
3 4
a) Rozwiązać równanie 2X − 3A = 4B;
b) Rozwiązać układ równań macierzowych X + Y = B, 2X − Y = A względem niewiadomych
X, Y ∈ M2 (R) .
7. Wyznaczyć macierz górno-trójkątną X i diagonalną Y , takie że A + X + Y = B, gdzie


1 1 1


A = 1 1 1 ,
1 1 1


1 0 0


B =  1 3 5 .
1 1 0
8. Wykazać, że każdą macierz A ∈ Mn (R) można przedstawić w postaci sumy macierzy diagonalnej,
górno-trójkątnej i dolno-trójkątnej. Na ile jednoznaczne jest takie przedstawienie?
9. Obliczyć wartości podanych kombinacji liniowych:
i)
iii)






−3
3
1

 
 

−2 + −4 +  2  ;
−4
2
0
ii)
−3
4
2
−2
 3  2


  
;
 −   + 3
2

 4 
−1 0
1
5
0

 





 


2
3
1

 
 

−2 − −4 + 2 4 ;
5
2
0
−1
0
1
0
−1 −1 −1  0 

 
 
 

.
+
+
+

 1   0   0   1 
0
1
0
0

iv)







10. Niech wektory vi , i ∈ {1, 2, . . . , 4} będą dane jako
v1 = [1, 0, 0, 0], v2 = [1, 1, 0, 0], v3 = [1, 1, 1, 0], v4 = [1, 1, 1, 1].
Obliczyć sumę
4
P
vi .
i=1
11. Niech wektory Xi ∈ R4 , i ∈ {1, . . . , 4} i Y ∈ R4 będą dane jako
1
 0

X1 = 
 ,
 0
0
 
1
1

X2 = 
 ,
0
0
 
1
1

X3 = 
 ,
1
0
 
1
1

X4 = 
 ,
1
1
 
−1
 1 

.
Y =

−5
1


Przedstawić wektor Y w postaci kombinacji liniowej wektorów Xi , i = 1, . . . , 4.
Wykład 8 (25 XI 2010)
Przestrzenie liniowe — podstawowe
własności
Treść wykładu.
Aparat przestrzeni liniowych w zastosowaniu do układów równań linio-
wych.
Pojęcie przestrzeni liniowej, przestrzeń rozpięta przez układ wektorów;
Podprzestrzenie liniowe, przestrzeń rozwiązań układu jednorodnego równań liniowych;
Baza przestrzeni liniowej, wymiar przestrzeni liniowej;
Przestrzeń kolumnowa i przestrzeń wierszowa macierzy, równość wymiarów tych przestrzeni;
Liniowo zależne i liniowo niezależne układy wektorów.
8.1
Pojęcie przestrzeni liniowej
Definicja 8.1 (Przestrzeń liniowa) Przestrzenią liniową będziemy nazywać dowolny niepusty zbiór
V ⊂ Mm×n (R) spełniający warunek
Dla każdej pary v, w ∈ V i każdej pary liczb α, β ∈ R kombinacja liniowa αv + βw jest elementem V .
(8.1)
Zastępując w powyższym sformułowaniu przestrzeń Mm×n (R) macierzy o wyrazach rzeczywistych przestrzenią Mm×n (C) macierzy o wyrazach zespolonych i dozwalając na tworzenie kombinacji liniowych
αv + βw ze współczynnikami α, β ∈ C otrzymujemy definicję przestrzeni liniowej nad ciałem C (zespolonej przestrzeni liniowej).
Jeśli dane są dwie przestrzenie liniowe W i V , a przy tym W ⊂ V (W jest podzbiorem V ), to
będziemy mówili, że W jest podprzestrzenią liniową V (lub krótko podprzestrzenią) V (1 ).
W szczególności, każdy podzbiór V ⊂ Rn , który jest przestrzenią liniową, będziemy nazywać podprzestrzenią liniową przestrzeni kartezjańskiej Rn .
Zamiast przestrzeń liniowa mówi się często także przestrzeń wektorowa, a elementy przestrzeni liniowej
ogólnie nazywa wektorami.
Przykład 8.1.1 Zbiór
v
V = { v ∈ M2 (R) | v = 11
0
spełnia warunek (8.1), gdyż jeśli v, w ∈ V i α, β ∈ R, to zapisując
v11 v12
w11
v=
,
w=
0 v22
0
1
v12
}
v22
w12
w22
Używając tej terminologii możemy powiedzieć, że przestrzeń liniowa jest podprzestrzenią liniową przestrzeni macierzy
Mm×n (R).
53
ALiGA — Wykład 25 XI 2010.
54
widzimy, że kombinacja liniowa
αv11 + βw11
αv + βw =
0
αv12 + βw12
αv22 + βw22
jest też elementem V . A zatem V , to jest zbiór macierzy kwadratowych stopnia 2 i górnotrójkątnych jest przestrzenią
liniową. Kontrastuje z tym przypadek zbioru
v11 v12
M = { v ∈ M2 (R) | v =
},
1 v22
gdyż wtedy dla kombinacji liniowej αv + βw elementów v, w ∈ M mamy
αv11 + βw11 αv12 + βw12
αv + βw =
.
α+β
αv22 + βw22
A zatem dla takich stałych α, β ∈ R, dla których α + β 6= 1 kombinacja liniowa αv + βw nie jest elementem M i w
konsekwencji zbiór M nie spełnia warunku (8.1).
W konsekwencji tej definicji dla każdej przestrzeni liniowej V ⊂ Mm×n (R) spełnione są dla v, w ∈
Mm×n (R) następujące implikacje
v, w ∈ V =⇒ v + w ∈ V ;
v ∈ V =⇒ αv ∈ V,
dla każdego α ∈ R.
Suma v + w użyta powyżej jest obliczona zgodnie z regułami dodawania macierzy (gdyż z założenia
V ⊂ Mm×n (R) elementy v, w ∈ V są macierzami o wymiarach m × n), a iloczyn αv jest iloczynem
liczby α i macierzy v ∈ Mm×n (R), tak jak to określa Definicja 7.3.
Możemy te obserwacje wyrazić jeszcze inaczej.
Stwierdzenie 6 Dla każdej przestrzeni liniowej V ⊂ Mm×n (R) zadane sa dwa odwzorowania:
V × V ∋ (v, w) 7→ v + w ∈ V,
R × V ∋ (α, v) 7→ αv ∈ V,
(8.2)
dla których spełnione są wszystkie własności algebraiczne działań wymienione w Stwierdzeniu 4.
W szczególności, każda przestrzeń liniowa V ⊂ Mm×n (R) zawiera element zerowy (tj. macierz zerową),
a dla każdego elementu v ∈ V element przeciwny −v jest też elementem V .
Uwaga. W większości podręczników algebry liniowej przyjmuje się warunki sformułowane w Stwierdzeniu 6 jako podstawę definicji przestrzeni liniowej z ciałem skalarów R. Powiada się mianowicie, że
przestrzenią liniową nad ciałem R jest zbiór V (dowolnej natury, niekoniecznie będący podzbiorem przestrzeni macierzy Mm×n (R)), dla którego są określone odwzorowania (8.2) spełniające wszystkie warunki
wymienione w Stwierdzeniu 4.
Lemat 2 Niech V będzie przestrzenią liniową. a) Jeśli wektory v1 , . . . , vk należą do przestrzeni V , to
dla dowolnych współczynników λ1 , . . . , λk ∈ R kombinacja liniowa
k
P
j=1
λj vj jest elementem przestrzeni
V.
k
k
P
P
µj vj są kombinacjami liniowymi wektorów układu v1 , . . . , vk , to dla
λj vj i w =
b) Jeśli v =
j=1
j=1
dowolnych stałych α, β ∈ R kombinacja liniowa αv + βw jest też kombinacją liniową wektorów układu
v1 , . . . , vk .
W myśl definicji 8.1 zbiór wszystkich kombinacji liniowych danego układu wektorów jest więc przestrzenią liniową.
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 21 stycznia 2011 roku)
55
Definicja 8.2 (Przestrzeń rozpięta przez układ wektorów) Niech v1 , . . . , vk będzie układem wektorów przestrzeni liniowej V . Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów tego układu, tj. zbiór
{v =
k
X
j=1
λj vj ∈ V | λj ∈ R, j = 1, . . . , k }
(8.3)
nazywamy przestrzenią liniową rozpiętą przez układ v1 , . . . , vk i oznaczamy symbolem lin{v1 , . . . , vk }.
Przykład 8.1.2 Niech
a
V = {X =
c
b
∈ M2 (R) | a + d = 0 }
d
Łatwo sprawdzić, że jeśli macierze X, Y należą do V , to dla dowolnych stałych α, β ∈ R kombinacja liniowa αX + βY
też należy do V . Rzeczywiście, niech
a b
s t
X=
, Y =
,
gdzie
a + d = 0,
s + w = 0.
c d
u w
Wówczas
αX + βY =
αa + βs
αc + βu
αb + βt
,
αd + βw
oraz
(αa + βs) + (αd + βw) = α(a + d) + β(s + w) = 0.
Pozostawiamy do sprawdzenia czytelnikowi, że każdy z poniższych układów rozpina przestrzeń V :
1 0
0 1
0 0
E1 =
, E2 =
, E3 =
;
0 −1
0 0
1 0
1 0
0 1
0 1
E1 =
, S1 =
, S2 =
.
0 −1
1 0
−1 0
8.2
Pojęcie bazy przestrzeni liniowej
Definicja 8.3 (Baza przestrzeni liniowej) Bazą przestrzeni liniowej V nazywamy taki ciąg v1 , . . . ,
vk elementów przestrzeni V , że każdy element z V można jednoznacznie przedstawić jako kombinację
liniową wyrazów tego ciągu.
Twierdzenie 17 Jeśli V ⊂ Mm×n (R) jest przestrzenią wektorową, to każde dwie bazy V mają tę samą
liczbę elementów nazywaną wymiarem przestrzeni V . Wymiar przestrzeni V oznaczmy symbolem dim V .
Przykład 8.2.1 a) Bazę przestrzeni kartezjańskiej Rn tworzy układ wektorów zero-jedynkowych e1 , . . . , en zadanych
jako
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0),
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0),
. . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1),
gdzie wektor ej ma wszystkie, poza jedną, współrzędne równe 0, a jedyną współrzędną różna od 0 jest współrzędna j,
która jest równa 1.
Odpowiednio w przestrzeni Mn×1 (R) wektorów kolumnowych o n współrzędnych i przestrzeni M1×n (R) wektorów
wierszowych bazami są układy ekj i ew
j określone w równościach (7.3) i (7.4).
b) Można łatwo przekonać się, że w przestrzeni V rozważanej w Przykładzie 8.1.2 bazę stanowi zarówno układ
macierzy E1 , E2 , E3 jak też układ E1 , S1 , S2 .
Wniosek 6 Zachodzą równości
dim Rn = n;
dim Mm×n (R) = mn.
ALiGA — Wykład 25 XI 2010.
56
Definicja 8.4 (Przestrzeń kolumnowa i przestrzeń wierszowa macierzy)
Dla macierzy A ∈ Mm×n (R) oznaczymy przez A1 , . . . , An jej kolumny, a przez a1 , . . . , am jej wiersze:
a11


 a21 

A1 = 
 ..  ,
 . 


...,
am1
h
i
a1 = a11 a12 . . . a1n ,
a1n


 a2n 

An = 
 ..  ∈ Mm×1 (R);
 . 


(8.4)
amn
h
i
am = am1 am2 . . . amn ∈ M1×n (R) .
...,
(8.5)
Przestrzeń rozpiętą przez wektory A1 , . . . , An będziemy nazywać przestrzenią kolumnową macierzy A,
a przestrzeń rozpiętą przez wektory a1 , . . . , am — jej przestrzenią wierszową. Symbolicznie będziemy
je zapisywać jako
K(A) = lin{A1 , . . . , An } ⊂ Mm×1 (R),
W (A) = lin{a1 , . . . , am } ⊂ M1×n (R) .
(8.6)
Twierdzenie 18 Dla dowolnej macierzy A ∈ Mm×n (R) zachodzą równości
dim K(A) = dim W (A) = r(A).
(8.7)
Słownie: Dla dowolnej macierzy wymiary jej przestrzeni kolumnowej i przestrzeni wierszowej są równe
między sobą i równają się jej rzędowi.
8.2.1
Zastosowanie: jeszcze o niesprzeczności układu równań liniowych
Układ (4.12)
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
.....................................
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm .
można także zapisać w postaci równości wektorowej
a12
a1n
b1
a11





 

 a22 
 a2n 
 b2 
 a21 





 
x1 
 ..  + x2  ..  + . . . + xn  ..  =  ..  .
 . 
 . 
 . 
 . 

am1



am2

amn



(8.8)
bm
Rozwiązanie układu polega zatem na wyznaczeniu takich współczynników kombinacji liniowej wektorów
kolumn, aby otrzymać wektor prawych stron układu b. Stąd otrzymujemy natychmiast następujący
wniosek:
Wniosek 7 Układ równań liniowych z macierzą rozszerzoną [ A | b ] jest niesprzeczny wtedy i tylko
wtedy, gdy wektor prawych stron układu b należy do przestrzeni kolumnowej macierzy A.
8.3
8.3.1
Liniowo zależne i liniowo niezależne układy wektorów
Liniowa zależność układu wektorów
Przedyskutujemy teraz zagadnienie, przy jakich warunkach niejednorodny układ równań liniowych jest
oznaczony. Ponieważ z równości (8.8) wynika, że ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy przedstawienie wektora prawych stron w postaci kombinacji liniowej kolumn macierzy układu jest jednoznaczne,
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 21 stycznia 2011 roku)
57
zajmiemy się ogólnymi warunkami, przy których współczynniki kombinacji liniowej układu wektorów
są jednoznacznie wyznaczone.
Zauważamy, że jeśli dwie kombinacje liniowe danego układu wektorów v1 , . . . , vk są równe,
λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk = µ1 v1 + µ2 v2 + . . . + µk vk
to
(λ1 − µ1 )v1 + (λ2 − µ2 )v2 + . . . + (λk − µ1 )vk = 0.
A zatem jeśli dwie kombinacje liniowe o różnych współczynnikach wektorów tego układu są równe,
to pewna ich kombinacja liniowa, w której nie wszystkie współczynniki są zerami, jest równa zeru.
I tak zagadnienie jednoznaczności przedstawienia wektora jako kombinacji liniowej wektorów danego
układu przekłada się na zagadnienie możliwości zapisania wektora zerowego jako kombinacji liniowej z
niezerowymi współczynnikami. To prowadzi nas do następującej definicji.
Definicja 8.5 (Liniowo zależne i liniowo niezależne układy wektorów)
Układ
v1 , . . . , vk wektorów przestrzeni liniowej V nazywamy układem liniowo zależnym, jeśli istnieją takie
liczby λ1 , . . . , λk , nie wszystkie równe zeru, że
λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk = 0.
(8.9)
Jeśli układ nie jest liniowo zależny, to nazywamy go liniowo niezależnym.
Ze względu na zasadnicze znaczenie pojęcia liniowej niezależności podamy jego równoważną charakteryzację.
Stwierdzenie 7 Układ v1 , . . . , vk wektorów przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny wtedy i tylko
wtedy, gdy dla każdego układu liczb λ1 , . . . , λk zachodzi
λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk = 0
⇐⇒
λ1 = λ2 = . . . = λk = 0.
(8.10)
Zauważmy, że w powyższej równoważności wynikanie ⇐= jest oczywiste na mocy definicji działań, więc
istotną informację zawiera jedynie wynikanie odwrotne.
Podamy teraz kilka prostych obserwacji dotyczących liniowej zależności. Przede wszystkim, jeśli w
układzie v1 , . . . , vk występuje wektor zerowy, to układ ten jest liniowo zależny. Rzeczywiście, jeśli na
przykład v1 = 0, to kombinacja liniowa
1 · v1 + 0 · v2 + . . . + 0 · vk = 0,
z różnym od zera współczynnikiem przy v1 jest wektorem zerowym. Po drugie, jeśli jakaś kombinacja
liniowa wektorów układu v1 , . . . , vk jest równa zeru,
λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk = 0,
a przy tym jeden ze współczynników jest różny od zera — przyjmijmy dla prostoty, że λ1 6= 0 —- to
możemy wyrazić odpowiadający temu współczynnikowi wektor jako kombinację liniową pozostałych
v1 = −
1
λ2 v2 + . . . + λk vk .
λ1
Ponieważ nietrudno sprawdzić, że prawdziwe jest także stwierdzenie odwrotne, to możemy stwierdzić w
ogólności, że układ wektorów v1 , . . . , vk jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z wektorów
tego układu jest kombinacją liniową pozostałych.
ALiGA — Wykład 25 XI 2010.
58
Przykład 8.3.1 Niech


−2
v1 =  2  ,
0


1
v2 = −1 ,
0


1
v3 = −1 .
1
Wektory v1 , v2 , v3 tworzą układ liniowo zależny, ponieważ v1 + 2v2 + 0 · v3 = 0. Warto jednak zauważyć, że o ile wektor
v1 , a także v2 , da się wyrazić jako kombinacja liniowa pozostałych wektorów, na przykład v1 = −2v2 + 0 · v3 , to wektora
v3 nie można wyrazić w postaci kombinacji liniowej pozostałych dwóch wektorów.
Ta obserwacja przestrzega przed zbyt swobodną interpretacją pojęcia liniowej zależności układu wektorów w stylu
„dowolny wektor liniowo zależnego układu wektorów daje się wyrazić jako kombinacja liniowa pozostałych wektorów”.
Lemat 3 Jeśli wektor v jest kombinacją liniową wektorów układu v1 , . . . , vk , to
lin{v, v1 , . . . , vk } = lin{v1 , . . . , vk }.
Lemat 4 Układ v1 , . . . , vk wektorów przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy,
gdy współczynniki każdej liniowej kombinacji wektorów tego układu są jednoznacznie wyznaczone.
Lemat 5 Jeśli układ v1 , . . . , vk wektorów przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny i wektor v nie
jest kombinacją liniową wektorów układu v1 , . . . , vk , to układ v, v1 , . . . , vk jest liniowo niezależny.
Z tego lematu można wyprowadzić następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie 8 (O rozszerzaniu bazy podprzestrzeni) Jeśli W ⊂ V jest właściwą (W 6= V ) podprzestrzenią wektorową przestrzeni V i układ {w1 , . . . , wk } jest bazą przestrzeni W , to można znaleźć
taki układ wektorów liniowo niezależnych {v1 , . . . , vm } w przestrzeni V , że {w1 , . . . , wk , v1 , . . . , vm }
jest bazą przestrzeni V .
W szczególności, dla dowolnej podprzestrzeni wektorowej W przestrzeni V zachodzi dim W ¬ dim V ,
przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy W = V .
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 21 stycznia 2011 roku)
8.4
59
Lista zadań nr 8
Tematyka: Badanie podprzestrzeni, wyznaczanie baz i wymiaru.
1. Które z wymienionych zbiorów są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni kartezjańskiej Rn ?
n
a) W = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn |
n
b) W = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn |
n
X
xi = 0
i=1
n
X
o
o
xi = 1
i=1
c) W = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 = xn } ;
n
o
d) W = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x22 = 0 ;
n
o
e) W = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x21 + x22 = 0 .
2. Czy są przestrzeniami liniowymi następujące zbiory:
a) Zbiór wszystkich macierzy diagonalnych stopnia n;
b) Zbiór wszystkich macierzy diagonalnych stopnia niewiększego niż n;
c) W
e) W
f) W


 1

= 0


0


 a
= 
d


g


 0

= a





a c


1 b  | a, b, c ∈ R ;


0 1
d) W =



 0

0


0



b c
e f
 | a, b, . . . , k ∈ R, c + e + g = 0 ;


h k



a c


0 b  | a, b, c ∈ R ;


0 0



a b

0 c
 | a, b, c ∈ R ;


b c 0
g) Zbiór wszystkich symetrycznych macierzy kwadratowych stopnia n.
W przypadku odpowiedzi twierdzącej podać jakąś bazę tej przestrzeni i jej wymiar.

 

1
1
 


3. Niech u =  0, v = 1. a) Podać ogólną postać wektora należącego do tej przestrzeni.
−1
0
b) Wykazać, że przestrzeń lin{u, v} rozpięta przez te wektory jest identyczna z przestrzenią
W = { x ∈ R3 | x1 − x2 + x3 = 0 }.
4. Sprawdzić, czy wektory
0
−1



,
 1
0

rozpinają przestrzeń R4 ?

1
−1


,

 0
0


0
−1



,
 0
1


−1
 0




 1
0


5. Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni rozwiązań podanych układów równań jednorodnych,
a)
(
x1 + x2 − 2x3 − 3x4 = 0,
3x1 − 2x2 − x3 − 4x4 = 0;



x1 + x2 − x3 = 0,
b)
2x1 + 3x2 − 2x3 = 0,


x1 + 2x2 − x3 = 0.
ALiGA — Wykład 25 XI 2010.
60
6. Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni liniowej W rozpiętej przez podany układ wektorów:
a)
{[2, 1, 1], [0, 3, 1], [1, −1, 0]} ;
b)
{[2, −1, 1], [−2, 1, 0], [0, 1, 2], [ 1, 0, 1]} ;
c)
{[−2, 2, −1, 3], [1, 0, 2, −1], [1, 2, 3, 0], [−1, 5, 3, 4]} .
7. Sprawdzić, czy
a) układ {[1, 2, 3] , [0, 3, 2]} jest bazą podprzestrzeni liniowej lin {[2, 4, 6] , [−2, 2, 2]} ;
b) układ








 
2
1 

  
1 , 0

−3
3 
jest bazą podprzestrzeni liniowej
    

1
 1
    
lin 0 , 0 , 

0
1

0 

0
 .

−1 
8. Podać przynajmniej dwa różne układy wektorów rozpinające podaną przestrzeń liniową
n
a) W = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x2 = 2x1 , x4 = 0
n
o
b) W = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0
o
9. Wyznaczyć bazy i wymiar przestrzeni liniowych z Zadania 1.
10. Czy zbiór macierzy kwadratowych stopnia 3 spełniających warunek A+At = 0 jest podprzestrzenią
liniową przestrzeni M3 (R)? W przypadku odpowiedzi twierdzącej podaj jakąś bazę i oblicz wymiar
tej przestrzeni.
11. Wykazać Lemat 3 z poprzedzającego wykładu.
12. Wykazać, że układ wektorów v1 , . . . , vk przestrzeni liniowej V spełniający następujące warunki:
i) Każdy wektor z V jest kombinacją liniową wektorów v1 , . . . , vk ;
ii) Istnieje taki wektor v0 ∈ V , który można przedstawić w postaci kombinacji liniowej
v0 =
k
X
λj vj
j=1
z jednoznacznie wyznaczonymi współczynnikami λ1 , . . . , λk ,
jest bazą przestrzeni liniowej V .
13. Wykazać Lemat 5 z podrozdziału 8.3.1.
Wykład 9 (2 XII 2010)
Opis rozwiązań układu równań liniowych
w języku algebry wektorowej
Treść wykładu.
Konstrukcje przestrzeni liniowych — część wspólna i suma przestrzeni li-
niowych;
Związek zbiorów rozwiązań układów równań liniowych z tą samą macierzą współczynników —
„zasada” sumowania szczególnego rozwiązania układu niejednorodnego i ogólnego rozwiązania
układu jednorodnego;
Konstrukcja bazy przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego;
Parametryzacja zbioru rozwiązań układu niejednorodnego za pomocą bazy przestrzeni rozwiązań
układu jednorodnego.
9.1
Konstrukcje przestrzeni liniowych — część wspólna i suma przestrzeni liniowych;
Stwierdzenie 9 Jeśli V1 , V2 ⊂ Mm×n (R) są przestrzeniami liniowymi, to:
a) V1 ∩ V2 ⊂ Mm×n (R) jest przestrzenią liniową, przy czym dim V1 ∩ V2 ¬ min(dim V1 , dim V2 );
b) istnieje najmniejsza przestrzeń liniowa, oznaczana V1 + V2 i nazywana sumą V1 i V2 , która zawiera
obie przestrzenie V1 i V2 , przy czym dim(V1 + V2 ) ¬ dim V1 + dim V2 .
Podkreślmy, że w odróżnieniu od przypadku części wspólnej, suma (teoriomnogościowa) V1 ∪ V2 przestrzeni liniowych V1 i V2 na ogół nie jest przestrzenią liniową.
9.2
Analiza zbioru rozwiązań układu równań liniowych
Rozważamy układ równań liniowych z macierzą A ∈ Mm×n (R) i wektorem prawych stron b ∈ Rm . Jak
wiemy, układ taki można zapisać w postaci macierzowej równości
Ax = b.
(9.1)
Jednorodny układ równań liniowych z tą samą macierzą A ∈ Mm×n (R), zapisywany jako
Ax = 0,
będziemy nazywać jednorodnym układem stowarzyszonym z układem (9.1).
Przypomnijmy, że zbiór rozwiązań układu Ax = b oznaczany jest symbolem R(A, b).
61
(9.2)
ALiGA — Wykład 2 XII 2010
62
Z własności działań macierzowych bez trudu wynika, że jeśli dla wektorów x, y ∈ Rn zachodzi
Ax = b = Ay, to różnica x − y jest rozwiązaniem równania jednorodnego, A(x − y) = 0. Ta prosta
obserwacja prowadzi do następującego twierdzenia.
Twierdzenie 19 Dla dowolnej macierzy A ∈ Mm×n (R) i dowolnego wektora b ∈ Rm mamy co następuje:
a) Stowarzyszony z układem (9.2) układ jednorodny równań liniowych o macierzy A jest niesprzeczny i
zbiór R(A, 0) rozwiązań tego układu jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Rn wymiaru n − r(A);
b) Jeśli układ Ax = b jest niesprzeczny i x0 ∈ R(A, b) jest dowolnie wybranym rozwiązaniem tego
układu, to
R(A, b) = x0 + R(A, 0) = { x ∈ Rn | x = x0 + w, w ∈ R(A, 0) }.
(9.3)
Posłużyliśmy się tu wygodnym zapisem dla oznaczenia zbioru złożonego z sum ustalonego wektora x0
z wektorami należącymi do wybranego zbioru F (w tym przypadku jako F wzięty jest zbiór R(A, 0)).
W takim przypadku piszemy x0 + F = { x0 + f | f ∈ F }.
9.3
Interpretacja goemetryczna — rozmaitości afiniczne w
przestrzeni
Z poprzedzającej dyskusji wynika, że zbiór rozwiązań (niesprzecznego) niejednorodnego układu równań
liniowych ma postać
R(A, b) = x0 + R(A, 0) = { x ∈ Rn | x = x0 + w, w ∈ R(A, 0) },
gdzie x0 jest wybranym elementem zbioru R(A, b), a zbiór rozwiązań układu jednorodnego R(A, 0) jest
podprzestrzenią liniową przestrzeni Rn . Pokażemy teraz, w jaki sposób wykorzystać to przedstawienie
dla otrzymnia szczegółowego opisu (parametryzacji) elementów zbioru R(A, b).
Definicja 9.1 (Rozmaitość afiniczna) Jeśli V ⊂ Rn jest podprzestrzenia wektorową i x0 ∈
/ V , to
zbiór
A = x0 + V = { x ∈ Rn | x = x0 + v, v ∈ V }
(9.4)
będziemy nazywać rozmaitością afiniczną w przestrzeni Rn , a przestrzeń V — przestrzenią kierunkową
rozmaitości A. Wymiarem rozmaitości A nazywamy wymiar jej przestrzeni kierunkowej V .
Mówiąc obrazowo, rozmaitość afiniczna A jest „przesunietą o wektor x0 ” przestrzenią V .
Trzymając się tradycyjnej terminologii geometrycznej będziemy nazywali rozmaitość afiniczną A =
x0 + V ⊂ Rn :
k-wymiarową płaszczyzną, jeśli dim V = k, k ­ 1.
W szczególności:
(linią) prostą będziemy nazywali rozmaitość afiniczną, której przestrzeń kierunkowa V ma dim V = 1,
(dwuwymiarową) płaszczyzną, jeśli dim V = 2,
hiperpłaszczyzną, jeśli dim V = n − 1.
Definicja 9.2 (Afiniczne współrzędne w rozmaitości afinicznej A = x0 + V ) Jeśli punkt x0 i baza v1 , . . . , vk w przestrzeni V są ustalone, to dowolny punkt x ∈ A jest jednoznacznie wyznaczony przez
liczby u1 , . . . , uk za pomoca wzoru
x = x0 +
k
X
uj vj ,
(9.5)
j=1
Liczby te będziemy nazywać afinicznymi współrzędnymi punktu rozmaitości A, a układ x0 , v1 , . . . , vk
— afinicznym układem odniesienia dla rozmaitości A.
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 21 stycznia 2011 roku)
9.4
63
Konstrukcja bazy przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego
Rozważmy układ równań liniowych (4.12) o macierzy rozszerzonej [ A | b ] i niech rząd macierzy układu
będzie równy r, r(A) = r. Wiemy zatem, że macierz A jest równoważna macierzy zredukowanej o postaci
a1k . . . a1l . . . a1p . . . a1q . . . a1s . . . a1n
 0 ... a
a2q . . . a2s . . . a2n 


2l . . . a2p . . .


 0 . . . 0 . . . a3p . . .
a3q . . . a3s . . . a3n 


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




A =  0 . . . 0 . . . 0 . . . ar−1q . . . ar−1s . . . ar−1n 


 0 ... 0 ... 0 ...
0
. . . ars . . . arn 


 0 ... 0 ... 0 ...
0
...
0
...
0 




. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ... 0 ... 0 ...
0
...
0
...
0


(9.6)
gdzie wyrazami wiodącymi są a1k , a2l , . . . , ars . Dla uproszczenia opisu tej konstrukcji przyjmiemy, że
r = s, to znaczy, że wyrazy wiodące występują w kolejnych kolumnach, poczynając od pierwszej i
kończąc na r-tej. Przy tym założeniu macierz zredukowana ma postać


a11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . a1n


 0 a22 . . . . . . . . . . . . . . a2n 


 0
0 a33 . . . . . . . . . a3n 


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 


A=
.
 0

0
0
a
.
.
.
a
rr
rn


 0

0
0
0
.
.
.
0




. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
0
0
0
0 ... 0
(9.7)
Przypomnijmy, że wyrazy wiodące są różne od zera,
a11 6= 0,
a22 6= 0,
a33 6= 0,
...,
arr 6= 0.
Wówczas wyjściowy układ (4.12) jest równoważny układowi o postaci
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1r xr + . . . + a1n xn = 0
a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2r xr + . . . + a2n xn = 0
........................................
arr xr + . . . + arn xn = 0
(9.8)
złożonemu z r równań. W tej sytuacji jest naturalne przyjąć, że niewiadomymi wolnymi w układzie
(9.8) są niewiadome xr+1 , xr+2 , . . . , xn — oznaczmy k = n − r liczbę niewiadomych wolnych. Możemy
zatem nadać dowolne wartości tym k niewiadomym wolnym, a następnie wyznaczyć jednoznacznie z
tego układu niewiadome x1 , x2 , . . . , xr metodą podstawiania wstecznego.
Podstawmy teraz kolejno jedynkę za jedną z niewiadomych wolnych i zero za wszystkie pozostałe i wyznaczmy odpowiadające takiemu wyborowi wartości niewiadomych głównych. Zaczynając od
podstawienia
xr+1 = 1,
xr+2 = xr+3 = . . . = xn = 0,
(9.9)
do ostatniego z równań w (9.8) otrzymujemy
arr xr + ar,r+1 = 0.
(9.10)
ALiGA — Wykład 2 XII 2010
64
Ze względu na arr 6= 0 otrzymujemy z tego równania
xr = −
ar,r+1
.
arr
(9.11)
Kontynuując metodę podstawiania wstecz wstawiamy tę wartość xr i ustalone przez (9.9) wartości
niewiadomych wolnych xr+1 , xr+2 , . . . , xn do przedostatniego równania (9.8) otrzymując stąd
ar−1,r−1 xr−1 + ar−1, r xr + ar−1, r+1 = 0;
(9.12)
co pozwala wyznaczyć
xr−1 =
−1
ar−1,r−1
ar−1, r xr + ar−1, r+1 .
(9.13)
W ten sposób przechodzimy krok po kroku przez kolejne równania układu (9.8) aż do równania pierwszego, skąd wyznaczamy niewiadomą x1 z zależności
a11 x1 = −a1 2 x2 − a1 3 x3 − . . . − a1,r+1 .
(9.14)
Otrzymane w ten sposób rozwiązanie w1 układu (9.8) jest jednoznacznie wyznaczone przez nadanie
niewiadomym wolnym wartości określonych wzorami (9.9). Zmieniając teraz podstawienie z (9.9) na
xr+1 = 0,
xr+2 = 1,
xr+3 = . . . = xn = 0,
(9.15)
i wyznaczając pozostałe niewiadome podobnie jak powyżej metodą podstawienia wstecznego otrzymamy jako rozwiązanie wektor w2 , którego pierwsze r współrzędnych oznaczymy przez x′1 , x′2 , . . . , x′r .
Możemy kontynuować to postępowanie, za każdym razem nadając kolejnej z niewiadomych wolnych
xr+1 , xr+2 , . . . , xn wartość 1, a pozostałe przyrównując do zera. Po n − r krokach otrzymamy układ
wektorów rozwiązań w1 , w2 , . . . , wk o postaci

w1 =
 
x 
 r
 ,
1
 
0
 
 . 
 . 
 . 



x1
 
x2 
 
 .. 
 . 
w2 =
0
x′
 1′ 
x2 
 
 .. 
 . 
 
x′ 
 r
 ,
0
 
1
 
 
0
 

...,
..
.
wk =

x′′
 1′′ 
x2 
 
 .. 
 . 
 
x′′ 
 r
 .
0
 
 .. 
 . 
 
 
0
(9.16)
1
Biorąc pod uwagę ostatnie k współrzędnych tych wektorów łatwo przekonać się, że są one liniowo
niezależne. Ponadto rozwiązanie układu (9.8), w którym zmienne wolne mają dowolnie wybrane wartości
u1 , . . . , uk ,
xr+1 = u1 ,
xr+2 = u2 ,
. . . xr+k = uk ,
(9.17)
można przedstawić jako kombinację liniową
w=
k
X
u j wj .
(9.18)
j=1
W ten sposób dotarliśmy do następującego opisu przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego, którego
postacią zredukowaną jest układ (9.8).
Twierdzenie 20 Jeśli A ∈ Mm×n (R) jest macierzą rzędu r, to wektory w1 , . . . , wk , gdzie k = dim R(A, 0) =
n − r, skonstruowane powyżej i przedstawione wzorem (9.16), tworzą bazę przestrzeni R(A, 0) rozwiązań
jednorodnego układu równań o macierzy A.
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 21 stycznia 2011 roku)
9.4.1
65
Parametryczne przedstawienie rozwiązań niejednorodnego układu
równań liniowych
W połączeniu z Twierdzeniem 19 możemy teraz sformułować następujący ważny wynik.
Twierdzenie 21 Jeśli A ∈ Mm×n (R) jest macierzą rzędu r, b ∈ K(A) ⊂ Rm wektorem z przestrzeni
rozpiętej przez kolumny macierzy A, to zbiór R(A, b) ⊂ Rn rozwiązań układu niejednorodnego Ax = b
można opisać w następujący sposób:
Niech x0 ∈ R(A, b) będzie dowolnie ustalonym elementem tego zbioru i niech wj , j = 1, . . . , k = n − r
będzie bazą przestrzeni R(A, 0) rozwiązań stowarzyszonego układu jednorodnego opisaną wzorami (9.16).
Wówczas każdy element zbioru R(A, b) można wyrazić w postaci
x = x0 +
k
X
u j wj ,
(9.19)
j=1
gdzie liczby u1 , . . . , uk ∈ R są jednoznacznie wyznaczone.
Definicja 9.3 (Afiniczne współrzędne w zbiorze R(A, b)) Jeśli punkt x0 i wektory w1 , . . . , wk są
ustalone, to dowolny punkt x ∈ R(A, b) jest jednoznacznie wyznaczony przez liczby u1 , . . . , uk za
pomoca wzoru (9.19). Liczby te będziemy nazywać afinicznymi współrzędnymi punktu R(A, b), a układ
x0 , w1 , . . . , wk — afinicznym układem odniesienia w R(A, b).
Uwaga. W przypadku układu równań, dla którego współczynniki wiodące nie układają się według
wzorca zgodnego z macierzą ze wzoru (9.7), konstrukcja bazy przestrzeni rozwiązań niewiele odbiega
od podanej powyżej. Jeśli współczynniki wiodące występują w kolumnach 1, p1 , p2 , . . . , pr−1 , gdzie
1 < p1 < p2 < . . . < pr−1 ¬ n, to jako niewiadome wolne obieramy pozostałe k = n − r niewiadomych
i wyznaczamy rozwiązanie podstawiając jako ich wartości zera i jedną jedynkę. Przesuwając położenie
jedynki na kolejne miejsca odpowiadające niewiadomym wolnym otrzymujemy k wektorów bazowych
przestrzeni rozwiązań, przy czym w kolejnych wektorach na jednym (zawsze innym) miejscu występuje jedynka, a na pozostałych miejscach zera. Nie jest trudno przekonać się, że tak otrzymany układ
wektorów jest liniowo niezależny i że każde rozwiązanie można otrzymać jako kombinację liniową tego
układu. Szczegóły tej konstrukcji najłatwiej przyswoić sobie na konkretnych przykładach.