ZASTOSOWANIE MACIERZY PRZEJŚCIA W MODELOWANIU

MODELOWANIE INśYNIERSKIE
37, s. 41-48, Gliwice 2009
ISSN 1896-771X
ZASTOSOWANIE MACIERZY PRZEJŚCIA
W MODELOWANIU UKŁADÓW ZŁOśONYCH
ANDRZEJ BUCHACZ
ANDRZEJ WRÓBEL
Instytut Automatyzacji Procesów Technologicznych i Zintegrowanych Systemów Wytwarzania, Politechnika
Śląska
e-mail: [email protected], [email protected]
Streszczenie. Podnoszenie sprawności i niezawodności maszyn i urządzeń jest
głównym celem pracy inŜynierów i naukowców podczas procesu projektowania.
W wielu gałęziach przemysłu istotnym problemem jest równieŜ miniaturyzacja
istniejących układów [4]. W ostatnich latach coraz częściej rozwój ten dotyczy
nowych technologii bazujących na zjawisku piezoelektrycznym.
W artykule przedstawiono metodę wyznaczania macierzy zawierającej elementy
charakterystyczne jednej płytki piezoelektrycznej stanowiące podstawę do dalszej
analizy układów złoŜonych. Niniejszy artykuł jest autorskim pomysłem obliczania
układów złoŜonych z wielu elementów [1]. Podstawą obliczeń jest metoda
macierzy przejścia wykorzystana do wyznaczenia charakterystycznych parametrów
układów bimorficznych.
1. MODEL PŁYTKI PIEZOELEKTRYCZNEJ
Tematem rozwaŜań jest płytka piezoelektryczna o parametrach rozłoŜonych w sposób
ciągły, której lewy i prawy koniec jest swobodny. Przyjęto, Ŝe oznaczenia, 1 s1(i )' , 1 s2(i ) stanowią
odpowiedzi układu na wymuszenia
( i )'
2 1
s , 2 s2(i ) . RozwaŜa się drgania wzdłuŜne płytki
piezoelektrycznej, opisywane w literaturze równieŜ jako drgania grubościowe [2,3]. ZaleŜności
pomiędzy wielkościami 1 s1(i )' , 1 s2( i ) i 2 s1(i )' , 2 s2(i ) przedstawiono następująco:
1
S ( i )' = Y (i ) 2 S (i )' ,
(1)
gdzie:
(i)
= {1 s1(i )' ,1 s2( i ) },
1S
2
S (i ) = {2 s1(i )' , 2 s2(i ) },
Y jest macierzą charakterystyk układu.
ZaleŜność (1) została wyprowadzona w poprzedniej publikacji autorów [1], zapisana
w postaci macierzowej:
42
A.BUCHACZ, A.WRÓBEL
 1 s1(i )'  Y11(i ) Y12(i )   2 s2(i )' 
.
 (i )'  =  (i )
( i )' 
(i )  
s
Y
Y
s
 1 2   21
22   2 2 
(2)
W celu określenia zaleŜności występujących w płytce piezoelektrycznej niezbędne jest
odwrócenie macierzy (2) do postaci:
2
S (i )' = Z ' 1S (i )' ,
(4)
przy czym szczegółowy zapis operacji odwrócenia macierzy łącznie z określeniem składowych
zapisano:
Z
( i )'
ij
 Z (i )'
=  11(i )'
 Z 21
−1
Z12( i )'  Y11(i )' Y12( i )' 
.
=  (i )'
( i )' 
( i )' 
Z 22
 Y21 Y22 
(5)
Uwzględniając przekształcenia (5), zapisano:
 2 s1(i )' = Z11(i )'
 (i )'
 2 s1 = Z 21(i )'
( i )'
1 1
s
+ Z12( i )'
1
s2(i )'
( i )'
1 1
( i )'
+ Z 22
1
s2(i )'
s
.
(6)
W celu zachowania zgodności oznaczeń z poprzednimi opracowaniami dotyczącymi układów
mechanicznych [1] wprowadzono uproszczenia literowe:
Z11(i )' = Z a(i ) ,
 (i )'
(i )
Z12 = Z c ,
 (i )'
(i )
Z 21 = Z d ,
Z (i )' = Z (i ) ,
b
 22
(7)
oraz przyjęto, Ŝe analiza układu zastępczego będzie wykonywana na symbolach, w których
zastąpiono indeksy cyfrowe symboliką literową.
 1 s1(i )'  Ya(i ) Yc(i )   2 s2(i )' 
 (i )'  =  (i )

.
Yb(i )   2 s2(i )' 
 1 s2  Yd
Wykorzystując wzór (5), wyprowadzono zaleŜności pomiędzy Z a Y w formie:
(8)
ZASTOSOWANIE MACIERZY PRZEJŚCIA W MODELOWANIU UKŁADÓW ZŁOśONYCH
 (i )
Z a

 (i )
Z b

Z ( i )
 c

Z ( i )
 d
(i )
(i )
(i )
Yb(i )
,
Y (i )
Ya(i )
= (i ) ,
Y
Y (i )
= d(i ) ,
Y
Y (i )
= c(i ) ,
Y
43
=
(9)
(i )
gdzie: Y (i ) = Ya Yb − Yc Yd .
Przedstawione charakterystyki układu płytki piezoelektrycznej są podstawą określenia równań
łańcuchowych.
2. MODEL PŁYTKI PIEZOELEKTRYCZNEJ
W niniejszym rozdziale przedstawiono równania łańcuchowe, które wykorzystywane są
w dalszej analizie układów złoŜonych metodą macierzy przejścia. Przekształcając macierz (8)
do postaci łańcuchowej, otrzymano macierz w formie:
 2 s1( i )'   A11(i )
 (i )'  =  (i )
 1 s1   A21
A12(i )   2 s 2(i )' 

.
A22(i )   1 s 2( i )' 
(10)
W celu wyznaczenia składowych macierzy (10) obliczono 2 s1( i ) , a następnie zapisano jako:
1 s1(i )' = Ya(i ) 2 s1(i )' + Yc( i )

 ( i )' 1 s2(i )' − Yb(i ) s2( i )'
 2 s1 =
Yd(i )

2
s2(i )'
.
(11)
Wprowadzając obliczoną wartość 2 s1( i )' otrzymano:
( i )'
(i )
( i )'
 (i )'
( i )  1 s2 − Yb 2 s2 
 + Yc(i ) 2 s2( i )'

s
Y
=
1 1
a 
(i )
Yd



.

( i )'
( i ) ( i )'
 s ( i )' = 1 s2 − Yb s2
2 1
Yd(i )

(12)
Po wymnoŜeniu składników w nawiasach i zgrupowaniu wyrazów podobnych oraz
sprowadzając do formy (10), układ równań zapisano:
44
A.BUCHACZ, A.WRÓBEL
 ( i )' 1 ( i )' Yb(i ) (i )'
 2 s1 = (i ) 1 s2 − (i ) 2 s2
Yd
Yd

,

(i )
(i ) (i )
(i ) (i )


−
Y
Y
Y
Y
Y
(
)'
(
)'
(
i
)'
i
i
 s = a s + c d
a
b
 2 s2
(i )
1 1 Yd(i ) 1 2 
Y
d


(13)
lub w formie macierzowej jak (10), gdzie, wyznaczone współczynniki równania łańcuchowego
przedstawiono następująco:
 (i )
Yb(i )
 A11 = − Y (i ) ,
d

 (i )
1
 A12 = (i ) ,
Yd


(i ) ( i )
(i ) ( i )
 A(i ) = Yc Yd − Ya Yb ,
 21
Yd(i )

(i )
 A(i ) = Ya .
 22 Y (i )
d

Ostatecznie otrzymano równanie łańcuchowe płytki piezoelektrycznej w postaci:
 2 s1(i )' = A11(i ) 2 s2 (i )' + A12 ( i ) 1 s2 (i )'
,
 ( i )'
1 s1 = A21( i ) 2 s2 ( i )' + A22 ( i ) 1 s2 (i )'
(14)
(15)
Wyznaczony układ równań (18) jest podstawą analizy złoŜonych układów mechatronicznych.
2. RÓWNANIE ŁAŃCUCHOWE UKŁADU ZŁOśONEGO
Na rys. 1 przedstawiono model układu bimorficznego złoŜonego z dwóch płytek
piezoelektrycznych. Indeksem górnym (i ) oraz (i + 1) oznaczono kolejność układów.
Rys. 1 Schemat połączonych dwóch elementów piezoelektrycznych i zaleŜności między nimi
Równanie macierzowe pierwszego układu oznaczonego indeksem (i ) zapisano jako:
 1 s1(i )'  Ya( i ) Yc( i )   2 s2(i )' 
,
 (i )'  =  ( i )
( i )' 
(i)  
Y
Y
s
s
1 2   d
b  2 2 
(16)
ZASTOSOWANIE MACIERZY PRZEJŚCIA W MODELOWANIU UKŁADÓW ZŁOśONYCH
45
natomiast drugiego oznaczonego indeksem (i + 1) jako:
 1 s1(i+1)'  Ya(i +1) Yc( i+1)   2 s1(i +1)' 

.
 (i+1)'  =  (i +1)
Yb( i+1)   2 s2(i +1)' 
 1 s2  Yd
(17)
W wyniku zastosowania przekształceń (11-15) otrzymano układ równań łańcuchowych
podukładu (i ) w postaci :
 2 s1(i )' = A11(i ) 2 s2 (i )' + A12 ( i ) 1s2 (i )' ,
 ( i )'
(i)
( i )'
(i )
( i )'
1 s1 = A21 2 s2 + A22 1s2 ,
(18)
 2 s1(i +1)' = A11( i +1) 2 s2(i +1)' + A12 (i +1) 1s2(i +1)' ,
 ( i +1)'
( i +1)
( i +1)'
( i +1)
( i +1)'
1 s1
= A21
+ A22
.
2 s2
1s2
(19)
oraz podukładu (i + 1) :
W celu wyznaczenia macierzy przejścia, oznaczonej jako B , zastosowano takie
połączenie, w którym wejścia podukładu drugiego (i + 1) są przyłączone do wyjść podukładu
pierwszego, oznaczonego jako (i ) . ZałoŜenie to przedstawiono w formie matematycznego
zapisu w postaci:
s = 2 s1(i +1)' , 1 s2(i )' =1 s1(i +1)' .
( i )'
2 2
(20)
Stosując załoŜenia (20) do wzoru (10) oraz podukładu (i + 1) :
 2 s1(i +1)'   A11(i +1)
 (i +1)'  =  (i +1)
 1 s1   A21
A12(i +1)   2 s2( i +1)' 
,

A22(i +1)   1 s2(i +1)' 
(21)
otrzymano wzór określający zaleŜności parametrów łańcuchowych układu złoŜonego:
 2 s1(i )'   A11(i )
B =  ( i )'  =  (i )
 1 s1   A21
A12(i )   A11(i +1)

A22(i )   A21(i +1)
A12( i +1)   2 s2(i +1)' 
,
( i +1)' 
( i +1)  
A22
s
 1 2 
(22)
Po wyprowadzeniu równania (22) stwierdzono, Ŝe macierz łańcuchowa o strukturze
kaskadowej jest iloczynem macierzy łańcuchowych poszczególnych ogniw układu złoŜonego.
Wyznaczoną macierz przejścia B zaprezentowano jako:
( i +1)
 s (i )'   A(i +1) A(i ) + A12(i ) A21
B =  2 1(i )'  =  11(i ) (i +111)
( i ) ( i +1)
 1 s1   A21 A11 + A22 A21
A11( i ) A12(i +1) + A12(i ) A22(i +1)   2 s2( i +1)' 
.
( i ) ( i +1)  
A21(i ) A12(i ) + A22
A22   1 s2(i +1)' 
(23)
46
A.BUCHACZ, A.WRÓBEL
Podstawiając wyznaczone współczynniki (14), otrzymano końcową postać macierzy przejścia
jako:
B(k )
B =  11( k )
 B21
B12( k ) 

B22( k ) 
(24)
gdzie:
 (k )
B11

 (k )
B12


B ( k )
 21

 (k )
B22

=
Yb( i )Yb( i +1) − Ya(i +1)Yb(i +1) + Yc(i +1)Yd( i +1)
,
Yd(i )Yd(i +1)
Yb(i ) + Ya( i +1)
= − (i ) (i +1) ,
Yd Yd
(−Ya( i )Yb(i ) + Yc(i )Yd(i ) )Yb(i +1) Ya( i ) (−Ya(i +1)Yb(i +1) + Yc(i +1)Yd(i +1) )
=
+
,
Yd(i )Yd(i +1)
Yd(i )Yd(i +1)
=
(25)
− Ya(i )Yb(i ) + Yc( i )Yd( i ) + Ya(i )Ya(i +1)
.
Yd(i )Yd(i )
W celu uzyskania charakterystyk układu złoŜonego dokonano przekształcenia
obliczonych współczynników równania łańcuchowego (25) do podstawowej postaci:
 1 s1(i )'  Ya(i ) Yc(i )   2 s1(i )' 
 (i )'  =  (i )

,
Yb(i )   2 s2(i )' 
 1 s2  Yd
(26)
Przyjęto, Ŝe podstawą przekształceń są równania macierzowe:
 s ( k )'   B ( k )
B =  2 1( k )'  =  11( k )
 1 s1   B21
B12( k )   2 s2( k )' 
,
( k )' 
(k ) 
B22
  1 s2 
(27)
zapisane w postaci układu równań:
 2 s1( k )' = B11( k ) 2 s2 ( k )' + B12 ( k ) 1s2 ( k )' ,
 ( k )'
1 s1 = B21( k ) 2 s2 ( k )' + B22 ( k ) 1s2 ( k )' ,
(28)
z którego wyznaczono 1 s2( k )' :
1 s2
( k )'
( i )'
=1
s1
(k )
− B21 2 s2
(k )
B22
( k )'
.
(29)
ZASTOSOWANIE MACIERZY PRZEJŚCIA W MODELOWANIU UKŁADÓW ZŁOśONYCH
47
Podstawiając obliczone wyraŜenie (29) do (28) oraz grupując wyraŜenia:
(k )
(k )
 ( k )' B12 ( k ) ( i )'
B12 B21 
( k )' 
(k )
,

s
s
s
B
=
+
−
2 1
2 2
(k )
(k ) 1 1

 11
B22
B

22



( i )'
(k )
( k )'
 ( k )' 1 s1 − B21 2 s2
,
(k )
 1 s2 =
B22

(30)
oraz przenosząc wyznaczone 1 s1( k ) na lewą stronę równania, otrzymano:
(k )
(k )
(k)
 ( k )'  ( k )'
B12 B21  B22
( k )' 
(k )


1 s1 =  2 s1 − 2 s2  B11 −
(k )
 B ( k ) ,
B22

 12



( i )'
(k)
( k )'
 ( k )' 1 s1 − B21 2 s2
.
(k)
 1 s2 =
B22

(31)
Obliczoną wartość 1 s1( k )' wstawiono do drugiego równania i zgrupowano wyrazy podobne:
(k )
(k)
 ( k )'  ( k )'
 B22 ( k )
B B
( k )' 
(k )
 ( k ) ,
1 s1 =  2 s1 − 2 s2  B11 − 12 ( k 21
)
 B
B


22
 12


(k )
 ( k )'
1
( k )'
( k )' B11
s
s
s
=
−
,
2 2
(k )
(k) 2 1
1 2
B12
B12

(32)
otrzymując szukaną macierz charakterystyk w formie (26), gdzie:
(k )
(k )
Ya( k ) =
B22
B B
, Yc( k ) = − 11 ( k22)
(k)
B12
B12
Yd( k ) =
1
B12
, Yb( k ) =
(k)
(k )
(k )
− B21 ,
(33)
(k )
B11
.
(k )
B12
(34)
Przedstawione wzory (33) i (34) są składowymi macierzy charakterystyk układu
złoŜonego z uwzględnieniem wyznaczonych parametrów łańcuchowych układu połączonego.
48
A.BUCHACZ, A.WRÓBEL
Praca była prowadzona jak część programu badawczego N 501 324 535 finansowanego
przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa WyŜszego, 2008-2009
LITERATURA
1. Buchacz A.: , Wróbel A.: Homogenization of mechatronical systems in modeling
piezoelectric layer, Friction, Warszawa 2008, w ramach oprojektu N 502 071 31/3719.
2. Shin H., H. Ahn, Han D.Y.: Modeling and analysis of multilayer piezoelectric transformer.
“Materials chemistry and physics” 2005, 92, p. 616-620
3. Li G.Q., Chen Chuan-Yao, Hu Yuan-Tai.: Equivalent electric circuits of thin plates with
two-dimensional piezoelectric actuators. “Journal of Sound and Vibration” 2005, 286, p.
145-165.
4. Kacprzyk R., Motyl E., Gajewski J.B., Pasternak A.: Piezoelectric properties of nonuniform
electrets. “Journal of Electrostatics” 1995, 35, p. 161-166.
APPLICATION OF TRANSFORM MATRIX IN COMPLEX SYSTEM
MODELING
Summary. Main purpose of engineers and scientists work during projecting
process is efficiency and reliability of machines and devices improvements. In many
industrial branches crucial problem is also miniaturization of existing systems. In
recent years more frequently this development concerns new technologies based on
piezoelectric effect. In present paper determination of matrixes will be present.
Those matrixes will contain characteristical elements of piezoelectric plate, which
are basis of further analysis of complex systems.
This article is authority idea of determination of systems composed of many
elements. The foundation of evaluation is matrix of transforming method used for
characteristic parameters of biomorphic systems.