b. całkowanie numeryczne w przestrzeni dwuwymiarowej

Dodatek
B
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DWUWYMIAROWEJ
1
B.
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DWUWYMIAROWEJ
Rozwiązania całki I = ∫∫A f(x,y) dxdy można dokonać łatwiej, jeżeli wpierw dokonamy transformacji
tego wyrażenia do układu współrzędnych naturalnych ξ i η. Ponadto granice każdej z całek powinny być
równe -1 lub +1. Pole dA = dxdy musi być zamienione zmiennymi dξ i dη.
Rysunek B.1 przedstawia nieskończenie małe pole dA w układzie współrzędnych naturalnych ξ i η.
Wektor r określa położenie punktu A w układzie współrzędnych kartezjanskich x i y :
r = x + y = xi + yj ,
(B.1)
Rys. B.1. Elementarne pole dA w układzie współrzędnych naturalnych
Przyrost tego wektora ze względu na zmienne naturalne wynosi :
δr δx
δy
=
⋅i +
⋅ j,
δξ δξ
δξ
δr δx
δy
=
⋅i +
⋅ j.
δη δη
δη
(B.2)
Jeżeli pomnożymy wyrażenia (D.Z1 ) i (D.Z2 ) odpowiednio przez dξ i dη, to uformujemy boki czworokąta (rys.B.1) o infinitezymalnym polu dA. Jego wielkość wyznaczamy na podstawie potrójnego produktu
wektorowego :
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
Dodatek
B
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DWUWYMIAROWEJ
 δr

δr
dA =  ⋅ dξ ⋅ ⋅ dη  ⋅ k ,
δη
 δξ

2
(B.3)
co po podstawieniach (B.2) prowadzi do
 δx δy δy δx 
dA =  ⋅
−
⋅  ⋅ dξdη ,
 δξ δη δξ δη 
(B.4)
δx
δξ
dA =
δx
δη
(B.5)
lub w postaci wyznacznika do
δy
δξ
⋅ dξdη = J ⋅ dξdη ,
δy
δη
gdzie J jest macierzą jakobianu. Tak więc nowa postać wyjściowego wyrażenia całkowego jest następująca :
1 1
I=
∫ ∫ f ( ξ ,η ) ⋅ J ⋅dξdη .
(B.6)
−1 − 1
Konsekwentne stosowanie kwadratur Gaussa prowadzi do znalezienia całki w postaci:
n
n
I = ∑∑ α jα k f ( ξ j η
, k ) ⋅ J ( ξ j ,η k )
(B.7)
k =1 j =1
gdzie a., a są współczynnikami wag dla punktów o współrzędnych (ξ, η ). Położenie punktów Gaussa dla
n=1,2,3 i 4 pokazano na rysunku B.2.
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
Dodatek
B
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DWUWYMIAROWEJ
3
Rys. B.2. Punkty Gaussa dla elementu czworokątnego
Rys. B.3. Punkty Gaussa dla elementu trójkątnego
Punkty próbne i wagi dla trójkąta
Dla trójkąta o polu powierzchni A przy zastosowaniu współrzędnych naturalnych ξ1 ξ2 ξ3 całkowanie numeryczne odbywa się według formuły
n
I = A∑ α j ⋅ f ( ξ 1ξ 2ξ 3 ) j
(B.8)
j =1
Rysunek B. 3 przedstawia schematycznie położenie punktów całkowania dla n = 1,3,4 i 6, zaś w tablicy B.1
dodatkowo zestawiono współczynniki wag αj, odpowiadające tym punktom.
δ 1 = 0.816847 ,
β 1 = 0.091576 ,
27
γ1 = − ,
48
γ 3 = 0.10995174 ,
δ 2 = 0.108103,
β 2 = 0.44595 ,
25
γ2 =
,
48
γ 4 = 0.2238159.
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
Dodatek
B
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DWUWYMIAROWEJ
4
Tablica B.1 Położenie punktów Gaussa i wartości wag dla różnych rzędów całkowania
n
1
3
Rząd
Liniowy
kwadratowy
sześcienny
4 stopnia
Punkty
a
a
b
c
a
b
c
d
a
b
c
d
e
f
ξ1 ,ξ2 ,ξ3
1/3, 1/3, 1/3
1/2, 1/2, 0
0, 1/2, 1/2
1/2, 0, 1/2
1/3, 1/3, 1/3
0.6, 0,2, 0.2
0.2, 0.6, 0.2
0.2, 0.2, 0.6
δ1, β1, β1
β1, δ1, β1
β1, β1,δ1
δ2,β2, β2
β2, δ2, β2
β2, β2, δ2
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
αj
1
1/3
1/3
1/3
γ1
γ2
γ3
γ4
γ3
γ3
γ3
γ4
γ4
γ4
Alma Mater