x xf + = . 2. Wykonujemy doświadczenia B
Transkrypt
x xf + = . 2. Wykonujemy doświadczenia B
ZESTAW 5. 1. Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej o gęstości f ( x) = 1 . π (1 + x 2 ) 2. Wykonujemy doświadczenia Bernoullego, aż do uzyskania pierwszego sukcesu. Niech X oznacza liczbę wykonanych doświadczeń, Y – czas oczekiwania na pierwszy sukces. Wyznaczyć rozkłady zmiennych losowych X i Y. 3. Wykazać, że rozkład geometryczny ma własność braku pamięci tzn. jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie geometrycznym, to P( X > t + s | X > t ) = P( X > s) , s > 0 4. Sprawdzić, że jeśli zdarzenia losowe A i B spełniają warunek P ( A | B) = P( A | B ′) , to są niezależne. 5. Znaleźć σ -ciało generowane przez zmienną losową X, gdy: a) Rzucamy symetryczną kostką. X przyjmuje wartość 1, gdy wypadła parzysta liczba oczek, 2 – jeśli nieparzysta. b) Losujemy punkt z koła K ( A,1) . X (ω ) = odległość ω od A. 6. *** Handlowiec kupuje jakiś podzielny towar po stałej cenie c za jednostkę i sprzedaje po stałej cenie s za jednostkę, gdzie s>c. Załóżmy, że popyt Y jest zmienną losową typu ciągłego z dystrybuantą F oraz gęstością f ciągłą i dodatnią na przedziale (0, ∞) . Zysk handlowca jest różnicąmiędzy wpływem ze sprzedaży, a wydatkiem na zakup towaru (nie sprzedany towar jest wyrzucany). Ile towaru powinien zamówić handlowiec, aby jego przeciętny zysk był największy? 7. W pewnej partii urządzeń jest 5\% urządzeń, które nie działają. Pozostałe urządzenia są sprawne i czas działania każdego z nich jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 0,1 . Niech T oznacza czas pracy losowo wybranego urządzenia z partii. Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej T i narysować jej wykres. 8. Zmienna losowa X przyjmuje wartości -2, 2, 3 odpowiednio z prawdopodobieństwami 1 , 4 1 1 , . Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y = X 2 . Obliczyć wartość oczekiwaną oraz odchy2 4 lenie standardowe zmiennej Y. 9. Pewien wyrób montuje się z elementów A i B. Przeciętnie wśród elementów A uszkodzony jest 1 na 10, a między elementami B uszkodzony jest 1 na 15. Porównaj oczekiwane koszty i związane z nimi ryzyko następujących możliwych planów działania: a) Każdy element jest sprawdzany i elementy uszkodzone są wyrzucane. Koszt sprawdzenia elementu A wynosi 2 zł, a elementu B 5 zł. b) Żadnego elementu się nie sprawdza, natomiast elementy niesprawne wykrywa się w chwili, gdy testuje się cały wyrób. Naprawa wadliwego wyrobu kosztuje wtedy 35 zł, ale za to w tej sytuacji nie występuje żaden dodatkowy koszt przy testowaniu gotowych wyrobów. 10. Gęstość prawdopodobieństwa amplitudy A bocznego kołysania się statku określona jest wzorem (rozkład Rayleigha ) f (a) = a σ 2 e − a2 2σ 2 , (a ≥ 0) , gdzie σ 2 jest wariancją kąta prze- chylenia okrętu. Czy tak samo często zdarzają się amplitudy mniejsze i większe od średniej? 11. Pomiar odległości obiektu obarczony jest błędem systematycznym i losowym. Błąd systematyczny wynosi 50 m w stronę zaniżenia odległości. Błędy losowe mają rozkład normalny o odchyleniu standardowym σ =100 m. Znaleźć prawdopodobieństwo pomiaru odległości z błędem nie przekraczającym co do wartości bezwzględnej 150 m oraz prawdopodobieństwo, że zmierzona odległość nie przekroczy prawdziwej odległości. 12. Błąd systematyczny utrzymania przez samolot wysokości wynosi +20 m, a błąd losowy ma odchylenie standardowe 75 m. Samolot ma przelecieć korytarzem o wysokości 100 m. Jakie jest prawdopodobieństwo, że samolot poleci poniżej korytarza, korytarzem i powyżej korytarza, jeżeli załodze podano wysokość odpowiadającą środkowi korytarza? (PONIŻSZE ZADANIA DOTYCZĄ MATERIAŁU NA DRUGIE KOLOKWIUM) 13. Rozkład łączny zmiennych losowych dany jest tabelką. Wyznaczyć ich rozkłady brzegowe. Y X 2 4 6 1 2 3 4 1 8 1 8 1 4 0 0 1 4 0 0 1 8 1 8 0 pk • p•i 14. Rzucamy dwa razy monetą. Niech O1 oznacza liczbę orłów w pierwszym rzucie (0 lub 1), a O2 liczbę orłów uzyskanych w drugim rzucie (0 lub 1). Określamy zmienne losowe X i Y następująco: a) X =| O1 − O2 | , b) X =| O1 + 2O2 | Podać łączny rozkład pary zmiennych ( X , Y ) . Obliczyć współczynnik kowariancji. Czy zmienne X i Y są niezależne? 15. Dana jest funkcja x+ y >0 . x+ y ≤0 1 dla F ( x) = 0 dla Sprawdzić czy jest ona dystrybuantą. 16. Wektor losowy ( X , Y ) ma gęstość f ( x, y ) = 6 xy 2 1( 0,1) ( x)1( 0,1) ( y ) Wyznaczyć gęstości brzegowe. 17. Dla jakich wartości c funkcja f jest gęstością pewnej zmiennej losowej dwuwymiarowej? cxe − x f ( x, y ) = 0 2 x ≥ 0, y ≥ 0 dla x, y dla innych −y cxye − x b) f ( x, y ) = 0 2 − y2 x ≥ 0, y ≥ 0 dla x, y dla innych