Uwaga o strategiach odnowy

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTW A MATEMATYCZNEGO
Seria III: MATEMATYKA STOSOWANA XV (1979)
BOLESŁAW KOPOCIŃSKI
i
HALINA PRzYBYSZ (Wrocław)
Uwaga o strategiach odnowy
(Praca
przyjęta
uprzedzającej
do druku 18.ll.1977)
1. Wprowadzenie. Przerwa spowodowana usuwaniem awarii jest czasem kosztowniejsza od wymiany sprawnego elementu. W praktyce, dla zmniejszenia liczby
awarii, zazwyczaj rozważa się dwie strategie odnowy uprzedzającej awarie pracujących elementów: cykliczną albo opartą na wieku elementu. Znane są klasy funkcji
niezawodności, w których te strategie są skuteczne albo w których skuteczne nie
są (zob. [1]-[3]). Przedmiotem tej noty jest porównanie wymienionych strategii.
2. Podstawowe pojęcia. Przy odnowie cyklicznej odnowa następuje tylekroć,
zdarzy się awaria i, dodatkowo, w określonych z góry chwilach T, 2T, 3T, ...
Przy odnowie opartej na wieku element jest odnawiany, gdy zdarzy się awaria lub
element osiągnie wiek T. Są różne intuicje i kryteria pozwalające wybrać strategię
odnowy uprzedzającej. Porównując te strategie możemy zauważyć, że przy odnowie
cyklicznej możliwa jest odnowa bardzo młodych elementów, przy odnowie opartej
na wieku chwile odnowy uprzedzającej są planowane dla każdego elementu osobno.
Niech P oznacza funkcję niezawodności odnawianego elementu. W dalszym
ciągu będziemy zakładali, że P należy od pewnej klasy funkcji niezawodności.
Przypomnimy definicje tych klas.
Mówimy, że PE IFR (tzn. lncreasing Failure Rate (1)) wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdego x E [O, oo) funkcja P(x +u)/ P(u) jest nierosnącą funkcją u E [O, oo), tzn.
ilekroć
(I)
P(a)P(x-a)-P(b)P(x-b)
Mówimy,
(2)
że
P
E
dla
~O
O~ a~
b, b
~
x
~
a+b.
NBU (tzn. New Better than Used) wtedy i tylko wtedy, gdy
P(a)P(b)-P(a+b)
~
O
dla
a~
O, b
~O.
Klasom tym odpowiadają nowe klasy zdefiniowane przez odwrócenie nierówności.
W ten sposób z klasy IFR powstaje klasa DFR (tzn. Decreasing Failure Rate),
a z klasy NBU powstaje klasa NWU (tzn. New Worse than Used). Odwracając
nierówności, często uzyskuje się równoległe rezultaty dla wymienionych par klas;
te rezultaty podajemy w nawiasach [ ].
(1) ~dziemy używali ogólnie przyjętej anglosaskiej symboliki dla oznaczania
klas, w nawiasach podajemy rozwiniętą treść symbolu.
[75)
rozważanych
76
B. Kop o ci
ń
ski, H. Pr z y by s z
pod uwagę stumień awarii odnawianego elementu. Gdy awaria zbiegz planowaną odnową, umawiamy się nie zaliczać awarii, lecz tylko planowaną
odnowę. Niech YnA(T) oznacza czas między awarią n-1 a awarią n, gdy planuje się
odnowę elementu w wieku T oraz niech Yn 8 (
T) oznacza czas między awarią
n- 1 a awarią n, gdy planuje się odnowę elementu cyklicznie w chwilach o, o+ T,
o+ 2T, ... (tutaj n jest liczbą naturalną, n e N).
W dalszym ciągu zajmiemy się stochastycznymi nierównościami między zmiennymi losowymi YnA(T) i Yn 8 ( o, T). Przypomnijmy, że dla zmiennych losowych
X i Y zachodzi nierówność X~ Y wtedy i tylko wtedy, gdy Pr(X > t) ~ Pr(Y > t)
dla każdego t.
Wymienione strategie odnowy uprzedzającej nie eliminują awarii elementu
w chwili jego instalowania. Wobec tego bez straty ogólności możemy przyjąć
P(O) = 1. Pomijamy również przypadki takich o i T, że rozkład F = 1- P jest
skupiony w punktach o, o+ T, o+ 2T, ... , gdyż wówczas nie ma awarii przy cyklicznej
odnowie uprzedzającej.
Weźmy
nie
się
o,
3. Porównanie strategii w klasie IFR [DFR]. Przy mocnym warunku narzuconym
na odstępy między awariami odnawianego elementu zachodzi następujące
TWIERDZENIE 1. Dla każdego T > 0, O ~ o < T, n E N, zachodzi YnA(T) ~
YnB( l'.5, T) [YnA(T) ~ YnB( l'.5, T)] wtedy i tylko wtedy, gdy PE IFR [PE DFR].
Do wód. Konieczność: Niech PE IFR; dla każdego t istniejej = O, 1, ... ,takie,
żejT~ t < (j+l)T; dalej wystarczy rozpatrywać t > t'.5. Dla c5+(j-l)T~ t <o+
+jT mamy
~
Pr(YlB(t'.5, T) > t) = P(c5)Pi- 1 (T)P(t- o-(j- l)T) =
=
pl- 1 (T)[P(l'.5)P(t- o-(j-1) T)] ~
~
pi- 1 (T) [P(T)P(t-jT)]
~ Pi(T)P(t-jT)
Dla
o+jT~
~
= Pr(YIA(T) > t).
t < o+(j+l)T mamy
Pr(YIB(l'.5, T) > t) = P(ó)Pi(T)P(t- ó-jT) ~ Pi(T)P(t-jT) =
=
Pr(YIA(T) > t).
dla n > I. Niech i będzie najmniejszą liczbą
, 8 = Y18 ( l'.5, T) + ... + Yn-1,B( t'.5, T). Oznaczmy
przez YfB = Yn 8 (o, T)ISn-i,B czas do pierwszej awarii, gdy planowane odnowy
uprzedzające są robione w chwilach (Jn = o+ iT- Sn- l ,B, c5n + T, on+ 2T, ... Wówczas
On < T, Pr(YnB( t'.5, T) > tJSn- 1 , 8 ) = Pr(Yt8 > t), i dowód nierówności przebiega
tak, jak w przypadku n = 1.
Dostateczność: Dla T ~ t < 2T, O~ o < T, O~ t-o < T mamy
Udowodnimy teraz
nierówność
całkowitą, dla której o+ iT ~ Sn- i
P(c5)P(t-ó) = Pr(Y18(o, T) > t) ~ Pr(Yu(T) > t) = P(T)P(t-T),
co jest
równoważne warunk~wi
(1).
Strategie odnowy
77
uprzedzającej
4. Klasa CBA [CWA]. Założymy teraz, że ~ = O i przyjmiemy krótsze oznaczenie Yn 8 (T) = Yn 8 (0, T). Wykażemy, że przy tym założeniu twierdzenie 1 nie
zachodzi. Zanim sformułujemy odpowiednie twierdzenie wprowadzimy nową klasę
funkcji niezawodności.
Mówimy, że Pe CBA (tzn. Cyc/ie replacement Better than based on Age) wtedy
i tylko wtedy, gdy dla każdego T > O, O < a < T, n e N, spełnione są warunki:
~ [P(u)P(a-u)-P(a)] dDn(u) ~O,
(3)
(O,a)
(4)
P(T) ~ {P(u)P(a-u)-P(a)]dD„(u)+
(O,a)
+ ~
[P(u) P(a+ T-u)-P(T)P(a)]dDn(u) ~ O,
(a, T)
gdzie, dla O < u < T,
=
1
l-P(T) d„P(T-u),
(5)
dD 1 (u)
(6)
dDn(u) = l-!(T)d"P(T-u)
~
~
P(x)dDn-i(x)+
duP(x-u)dDn-i(X}.
(~T)
(~T)
Przez odwrócenie nierówności w (3) i (4) definiujemy klasę CWA (tzn. Cyc/ie
replacement Worse than based on Age).
Łatwo zauważyć, że IFR c: CBA [DFR c: CWA], gdyż warunek (3) jest speł­
niony oraz pierwszy człon sumy w nierówności (4) jest nieujemny w klasie NBU =>
=> IFR, natomiast drugi człon sumy w nierówności (4) jest nieujemny w klasie IFR.
Podamy dwa przykłady. Pierwszy dowodzi, że CBA:/:. IFR, natomiast drugi
dowodzi, że klasa CBA nie jest zamknięta ze względu na iloczyn funkcji. Zauważmy,
że własność tę mają klasy IFR, NBU, DFR i NWU.
LEMAT
1. Dla
każdego
i e N mamy
,L a,kduF*k(T-u),
i
(7)
dD,(u) = -
k=l
gdzie F = l-P oraz
a 11 = l/F(T),
ail =
:z= F(~) a,_i. P*F*i(T),
a,k =
a,_
i-1
natomiast
* jest
1
i= 1
k = 2, 3, ... ,i, i= 2, 3,
1 ,k_ 1 ,
symbolem splotu
(potęgi
P*F(x) =
splotowej):
~ P(x-u)dF(u).
(0,x)
„.,
78
B. K o p o c i
ń
s k i, H. Pr z y by s z
Do wód i n du kc y j ny. Dla i = 1 mamy (5). Z (6) i
mamy
~
dD;(u) = F(lT) duP(T-u)
założenia
indukcji
i-l
L>i-l,jd:~f*i(T-x)] +
P(x)[ -
i=l
(O,T)
L
i-1
+ ~
duP(x-u)[ -
a;_ 1,jdxF*i(T-x)] =
i= 1
(u, T)
i-1
= duP(T-u)
~
~ P(T~x)dF*i(x)+
FtT) a;_ 1 .i
;= 1
(O, T)
'
r
L
i-l
+
a;-1,j
i=l
Całka
~
duP(T-u-v)dF*i(v).
(O,T-u)
w ostatnim wyrażeniu równa się -duF*<i+l>(T-u), a więc dD;(u) jest po-
staci (7).
1. Niech P(x) = ac<x>, O < a. < 1, gdzie c(x) oznacza część całko­
witą liczby x. Mamy P ~ IFR oraz P E CBA.
Rzeczywiście, warunek (3) jest spełniony, ponieważ PE NBU. Dla dowodu
warunku (4) wobec lematu 1 wystarczy wykazać, że
PRZYKŁAD
1=
~· [P(u)P(a+T-u)-P(T)P(a)]d uF*k(T-u) =O.
(a,T)
Ponieważ
F*k (T- u) ma skoki co najwyżej
w punktach T- 1, T- 2, „ „
L [P(T-j)P(a+j)-P(T)P(a)]dF*k(j)
T- c(T), więc
c(T-a)
I=
=
i= 1
c(T-a)
= ~ [cxc~T>-iac(a)+j _
;=1
(Xc(T)(Xc(a)]dF*k(j)
= O.
'
2. Niech P 1 (x) = ac<x>,o <a< l,P 2 (x) = e-x. Mamy P 1 eCBA,
P 2 E CBA oraz P = P 1 P 2 ~CBA.
Rzeczywiście, dla a= 1/4, T = 7/4 mamy P(u)P(a-u)-P(a) = O dla O <
PRZYKŁAD
<u~
a, oraz
P(u)P(a+T-u)-P(T)P(a) =
Wyrażenie
cx(cx- l)e-
znajdujące
2
~
(l,5j4)
się
{~(a-J)e_ 2
dla
dla
1/4 <u~ 1albo5/4 ~ u < 7 /4~
1 < u < 5/4.
po lewej stronie warunku (4) jest
więc
równe
dD;(u) < O.
2. Dla każdego T > 0, n EN, mamy YnA(T) ~ Yn 8 (T) [YnA(T) ~
~ Yns(T)] wtedy i tylko wtedy, gdy p E CBA [P E ewA].
TWIERDZENIE
Strategie odnowy
79
uprzedzającej
D o w ó d. Ponieważ Yu (T) = Y18 (O, T), więc wystarczy rozważyć przypadek
n > 1. Niech i będzie najmniejszą liczbą całkowitą, dla której iT ~ Sn 8 (T) =
= YIB(T) + ... + Yn 8 (T) oraz {Jn = iT- Sn 8 (T). Wówczas rozkłady prawdopodobieństwa Pr( {Jn ~ y) = Dn(y), n EN, dane są w (5) i (6). Funkcje prawdopodobieństwa przeżycia Gn+t (y) = Pr(Yn+i,B(T) > y), n e N, mają postać
~ P(u)P(y-u)dDn(u) + ~ P(y)dDn(u),
~
O~ y < T,
(y, T)
(O, Y)
P(u)Pi(T)P(y-jT-u)dDn(u)+
(O,y-}Tj
+
~
P(u)Pi- 1 (T)P(y-U- l)T-u)dDn(u),
(y-jT, T)
jT ~ y < (j + 1)T.
Zauważmy, że
G(y)
=
Pr(YnA(T) > y)
P(y),
= { Pi(T)P(y-JT),
O~
jT~
y < T,
y < U+l)T.
Łatwo sprawdzić, że warunek Gn(Y) ~ G(y) dla O~ y < T jest równoważny
warunkowi (3), natomiast dla jT ~ y < (j+ l)T, j = 1, 2, .„, po podstawieniu
a= y-jT jest równoważny warunkowi (4).
Prace cytowane
R. E. Bar I o w, F. Pr os cha n, Comparison of replacement polices and reneva/ theory
implications, Ann. Math. Statist. 34 (1963), str. 375-389.
[2] B. Ko p o c i ń s k i, Zarys teorii odnowy i niezawodności, PWN, Warszawa 1973.
[3] A. W. Mars ha I I, F. Pr os cha n, Classes of distributions app/icable in rep/acement
with reneval theory implications, Sixth Berkeley Syrop. 1 (1970), str. 395-415.
[1]