Równanie Diraca. 1 W równaniu Schr¨odingera szukamy Ψ(t, r

Równanie Diraca.
1
W równaniu Schrödingera szukamy Ψ(t, ~r). Mamy interpretacje
probabilistyczną: ρ(t, ~r) = |Ψ(t, ~r)|2 to gestość prawdopodobieństwa
~ ~r) to prąd prawdopodobieństwa, to
znalezienia cząstki. Jeśli J(t,
zachodzi równanie ciągłości:
∂ρ ~ ~
+ ∇J = 0.
∂t
1
2
Równanie Diraca ma też interpretacje probabilistyczną, ale równocześnie jest Lorentzowsko współzmiennicze (każdy obserwator
widzi takie same równanie). Dla cząstek swobodnych:
d
h̄24
ih̄ Ψ(t, ~r) = −
Ψ(t, ~r),
dt
2m


h̄
d


ih̄ Ψ(t, ~r) = c αk ∇k + βmc2 Ψ(t, ~r).
dt
i
2
3
W równaniu Diraca αk , β to macierze 4 × 4. Ψ(t, ~r) to kolumna:


Ψ1(t, ~r) 

Ψ2(t, ~r) 
Ψ(t, ~r) =

Ψ3(t, ~r) 

Ψ4(t, ~r)











Mamy równanie różniczkowo-macierzowe.
Dlaczego 4 składowe? Bo mamy 4 stopnie swobody: równanie
Diraca opisuje równocześnie cząstke i antycząstke (np elektron i
pozyton albo kwark i antykwark), a każda z tych cząstek ma dwa
możliwe stany spinowe.
3
4
Warunki na macierze αk β można wyprowadzić rozpatrując działanie Hamiltonianu na funkcję falową swobodnej cząstki:
µ
2
¶
ĤΨ = cαk pˆk + βmc Ψ.
W działaniu na stan własny operatorów energii i pędu:
2
µ
Ĥ Ψ = cαk p̂k + βmc
¶
2 2
2
µ
Ψ ⇒ E Ψ = cαk pk + βmc
4
¶
2 2
Ψ.
5
W zwartej postaci RD ma postać


µ ∂


ih̄γ
 Ψ(x) = 0,
−
mc1
µ
∂x
gdzie

{γ µ, γ ν } ≡ γ µγ ν + γ ν γ µ = 2g µν 14,
g µν

1 0
0
0 

0 −1 0
0 
=

0 0 −1 0 

0 0
0 −1











Są różne reprezentacje macierzy γ µ. Fizyka jest zawsze taka
sama. Dla skupienia uwagi przyjmujemy:

γ j = 
j


0
σ 
,
j
−σ
0
γ 0 = 
5

12
0 
.
0 −12
6
W obliczeniach QFT (Kwantowej Teorii Pola) cząstki są opisywane przez rozwiązania RD o dodatniej energii i są jako takie
charakteryzowane przez pęd i spin.
Dygresja
Reprezentacje grupy symetrii QFT czyli grupy Poincaré (grupa
Lorentza i translacje) są charakteryzowane przez pęd i spin.
6
7
Jak sie opisuje 4-pęd i spin?
Mamy operator 4-pędu p̂µ = ih̄ ∂x∂ µ . Szukamy rozwiązań o określonym 4-pędzie w postaci fali płaskiej
Ψ(x) = e
− h̄i pµ xµ
Musi być spełnione pµpµ = m2c2.
7
u(p).
8
Umawiamy sie używać jednostek w których c = h̄ = 1. W praktyce oznacza to, że pod koniec każdorazowych obliczeń trzeba
ustalić wymiar obliczanek wielkości i uzupełnić końcowe wyrażenie przez dopisanie poteg stałych c oraz h̄. Jest to jednoznaczna
procedura. Przy odrobinie wprawy jest też bardzo prosta.
8
9
W QM spin opisujemy przez operatory spinu sj spełniające algebre (uwaga: pominieto stałą h̄!)
[sj , sk ] = iεjkl sl .
j
Dla spinu 12 : sj = σ2 , σ j to macierze Pauliego. Mamy wtedy 2
stany spinowe. Konwencjonalnie wybieramy do opisu oś OZ i
wtedy dwa stany możmy opisywać jako | ↑i oraz | ↓i:
1
s | ↓i = − | ↓i.
2
1
s | ↑i = | ↑i,
2
3
3
Inna, bardziej matematyczna, notacja to:



1
| ↑i =  
0

0
| ↓i =   .
1
Możemy wprowadzić 2-komponentowy spinor φs, s = 1, 2 gdzie:



1
φ1 =   ,
0

0
φ2 =   .
1
9
10
Bedziemy rozwazali rozwiązanie RD w postaci:
µ
Ψ(x) = N e−ipµx (γ µpµ + m) us.
To jest ogólna postać rozwiązania o dodatniej energii ponieważ
rząd macierzy (γ µpµ + m) wynosi 2.
Można sprawdzić, warto wykonać to ćwiczenie samodzielnie, że
(γ µpµ − m) (γ µpµ + m) = 0.

Natomiast us = 
s
φ 
.
0
W praktycznych rachunkach potrzebnych jest wiele algebraicznych
własności macierzy γ µ.
10
11
Mamy teorie wzgledności. Musimy operować wielkościami typu
skalar, 4-wektor, tensor, etc. Realizuje sie to przy pomocy specjalnej operacji
Ψ ⇒ Ψ = Ψ† γ 0 ,
gdzie Ψ† jest sprzeżeniem hermitowskim (uwaga: kolumna jest
przetransformowana w wiersz!). Z definicji widać, że


Ψ1 

Ψ2 
Ψ=
⇒ Ψ = (Ψ∗1 , Ψ∗2 , −Ψ∗3 , −Ψ∗4 ).


Ψ3 

Ψ4











Można pokazać, że Ψ(x)Ψ(x) jest skalarem, Ψ(x)γ µΨ(x) jest 4wektorem etc. Wynik końcowy jest zatem bardzo prosty, ale jego
udowodnienie wymaga sporego wysiłku.
11
12
Co to znaczy skalar w kontekście RD? Mamy dwóch obserwatorów używających do opisu zdarzenia P współrzednych xµ(P )
oraz x0µ(P ). Każdy z nich używa do opisu elektronu innego
spinora Diraca, pierwszy Ψ(x(P )), drugi Ψ0(x0(P )). Otóż zachodzi:
0
Ψ(x(P ))Ψ(x(P )) = Ψ (x0(P ))Ψ0(x0(P )).
12
13
Kolejna trudność związana z obliczeniami w ramach teorii słabych
oddziaływań jest konieczność operowania macierzą γ5. Gdybyśmy
studiowali tylko kwantową elektrodynamike, to można by o tej
wielkości zapomnieć.

γ5 = iγ 0γ 1γ 2γ 3 = 

0 12 
.
12 0
γ5 jest niezbedne do opisu łamania symetrii na odbicia przestrzenne.
Rozważamy obserwatorów, z których jeden dokonuje obserwacji
przez lustro: jeśli pierwszy opisuje zdarzenie P przez x = (t, ~r)
to drugi używa współrzednych x0 = (t, −~r). Przy porównywaniu opisów wielkości obserwowanych przez takich dwóch obserwatorów trzeba rozróżniać skalary, pseudoskalary, 4-wektory,
pseudo-4-wektory, etc. Można pokazać, że Ψ(x)γ5Ψ(x) jest pseudoskalarem, Ψ(x)γ µγ5Ψ(x) jest pseudo-4-wektorem etc.
Dla dwóch obserwatorów związanych zdefiniowanym wyżej odbiciem lustrzanym zachodzi
0
Ψ(x(P ))γ5Ψ(x(P )) = −Ψ (x0(P ))γ5Ψ0(x0(P )).
13
14
RD to nie wszystko. Do praktycznych obliczeń potrzebny jest
jezyk drugiego kwantowania. Stosuje sie go w fizyce ciała stałego,
niekiedy mówi sie o reprezentacji drugiego kwantowania. Chodzi
o możliwość opisu sytuacji kiedy zmienia sie ilość i rodzaj czastek.
Pierwszy z brzegu przykład to
e+ + e− −→ 2γ, (tutaj γ to foton!).
Musimy mieć znacznie wiekszą niz w zwyklej QM przestrzeń
stanów, czyli przestrzeń Hilberta:
H = |jeden elektroni
M
|jeden fotoni
14
M
|dwa elektronyi
M
...
15
Naturalny jezyk to operatory kreacji i anihilacji dokładnie w
analogiczny sposób jak to jest w zagadnieniu oscylatora harmonicznego:
|0i to proznia (brak czastek),
b†(~p, s)|0i to elektron o pdzie p i spinie s, etc
Wprowadzamy zatem operatory powstawania (kreacji) i znikania (anihilacji) cząstek. Każda cząstka ma swoje własne, odrebne,
operatory kreacji i anihilacji.
15
16
Myślimy wiec w nastepujący sposób: funkcja falowa dla dwóch
elektronów ma postać:
Ψ(~p1, s1; p~2, s2) = b†(~p1, s1)b†(~p2, s2)|0i.
Wiedząc o twierdzeniu spin-statystyka z podstawowego kursu QM
i pamietając, że elektron ma spin 1/2 dochodzimy do wniosku,
że:
b†(~p1, s1)b†(~p2, s2) = −b†(~p2, s2)b†(~p1, s1).
Otrzymujemy nastepującą algebre operatorów kraecji i anihilacji:
{b†(~p1, s1), b†(~p2, s2)} = 0,
{b(~p1, s1), b(~p2, s2)} = 0,
{b(~p1, s1), b†(~p2, s2)} = δs1,s2 δ 3(~p1 − p~2).
16
17
Jak powiązać operatory kreacji i anihilacji z rozważaniami dotyczącymi RD?
Pomostem jest najogólniejsza postać rozwiązania RD w postaci
superpozycji rozwiązań typu fala płaska:
Z
3
Ψ(x) = d p
X
s
Ã
−ipµ xµ
Bs(~p)u(~p; s)e
ipµ xµ
!
+ D̃s(~p)v(~p; s)e
gdzie v(~p; s) są pomijanymi dotąd rozwiazaniami o ujemnej energii. Bs(~p) i D̃s(~p) są dowolnymi funkcjami.
W II kwantowaniu czyli w kwantowej teorii pola Bs(~p) i D̃s(~p)
stają sie operatorami kreacji i anihilacji, czyli samo Ψ(x) też staje
sie operatorem:
D̃s(~p) ⇒ d†(~p; s).
Bs(~p) ⇒ b(~p; s),
17