Zestaw 7 Równanie Diraca 1. Oblicz antykomutatory nast˛epuj

Zestaw 7
Równanie Diraca
1. Oblicz antykomutatory nast˛epujacych
˛
macierzy 4 × 4




0 σk
1 0
, β = 
 , k = 1, 2, 3
αk = 
σk 0
0 −1
gdzie σk sa˛ macierzami Pauliego, a 1 oznacza macierz jednostkowa˛ 2 × 2.
2. Definiujemy Hamiltonian Diraca jako H = cαk pk + βmc2 , gdzie pk = −ih̄ ∂x∂k jest operatorem
p˛edu. Pokaż, że jeśli ψ(t,~x) spełnia równanie Diraca
ih̄∂t ψ = Hψ ,
to ψ(t,~x) spełnia także równanie Kleina-Gordona
µ
¶
1 ∂2
m2 c2
2
−∇ + 2
ψ=0.
c2 ∂t 2
h̄
3. Znajdź rozwiazanie
˛
równania Diraca w postaci fali płaskiej
 
ϕ
~p~x
Et
ψ(t,~x) =   e−i h̄ +i h̄ .
χ
Znajdź zwiazek
˛
energii E z p˛edem ~p. Znajdź zwiazek
˛
jaki dla ustalonego ~p spełniaja˛ dwuwymiarowe wektory ϕ oraz χ.