Zagadnienia na egzamin

Zagadnienia do egzaminu z kwantowego opisu rozpraszania,
5.IX.2016, D-11, s.104, godz. 14.00.
Do wylosowania jest jeden temat.
1. Jawna postać swobodnej funkcji Greena dla rozpraszania elastycznego.
a) Wychodząc z bezczasowego równania Schroedingera dla układu dwóch nieoddziałujących ciał w ich
środku masy, napisz równanie operatorowe (i różniczkowe) jakie spełnia swobodny operator (funkcja) Greena
Gˆ 0(  ) . Jakie jest znaczenie znaków „  ”?
b) Napisz równanie Lippmanna-Schwingera (L-S) w p ostaci całkowej dla funkcji falowych  k(  ) ( r ) i
operatorowej dla stanów  k(  ) .
1 e  ik |r r '|
c) Wyprowadź jawną postać funkcji Greena Gˆ 0(  ) ( r , r ')  
.
4 | r  r ' |
2. Całkowa postać amplitudy rozpraszania elastycznego.
a) Udowodnij, że funkcja falowa spełniająca równanie całkowe L-S
k(  ) ( r )  (2 ) 3 2 eik r   d 3r ' G0(  ) ( r , r ')U ( r ')k(  ) ( r ') , gdzie U (r )  (2
2
)V ( r ) , spełnia bezczasowe
równanie Schroedingera dla układu dwóch ciał (w ich środku masy) z potencjałem V ( r ) .
b) Korzystając z jawnej postaci swobodnej funkcji Greena G0(  ) ( r , r ')  
1 e  ik |r r '|
, wyprowadź
4 | r  r ' |
asymptotyczną ( r  ) postać funkcji  k(  ) ( r ) oraz całkową postać amplitudy rozpraszania elastycznego
f (  ) ( rˆ) .
3. Dwie postaci amplitudy rozpraszania elastycznego.
a) Zapisz rozwiązanie operatorowego równania Schroedingera dla stanu  k(  )
poprzez pełny operator
Greena Gˆ (  ) ( E ) i stan płaski  k .
i
b) Wyprowadź następującą postać amplituda rozpraszania elastycznego f (k f , ki )  2 2  k Uˆ  k(  ) ,
f
gdzie k f  ki oraz Uˆ  (2
k
2
i
)Vˆ i wykaż, że zachodzi także równość f (k f , ki )  2 2 k(  ) Uˆ  k . Kety
f
i
oznaczają stany płaskie.
i, f
ˆ (  ) i Tˆ oraz przedstaw amplitudę rozpraszania poprzez element macierzowy
c) Napisz definicję operatorów 
operatora przejścia Tˆ .
1
4. Wzór Rutherforda.
a) Zapisz amplitudę rozpraszania elastycznego f (k f , ki )  2 2 k(  ) Uˆ  k
f
w przybliżeniu Borna.
i
b) Wyprowadź postać amplitudy rozpraszania w przybliżeniu Borna dla rozpraszania elektronu na atomie
wieloelektronowym przy dużej energii zderzenia. Potencjał oddziaływania to potencjał Yukawy
V (r )  Cr 1e r , gdzie C  Zkel e2 . Wskazówka: Pomocnym jest wzór f B ( q)  

1
dr r sin( qr )U ( r ) .
q 0
c) Następnie, przechodząc do granicy   0 , wyprowadź wzór Rutherforda na różniczkowy przekrój czynny
2


Zkel e2
 ( )  
 .
2
 4 E sin ( 2) 
B
5. Stosowalność przybliżenia Borna.
Zapisz całkowe równanie L-S, jako sumę fali płaskiej  k ( r ) i fali rozproszonej  s(  ) ( r ) . Następnie przyjmij,
że potencjał o zasięgu a daje się od góry oszacować, r | U ( r ) |  U0 , oraz że jest na tyle słaby, że
|  s(  ) ( r ) |  | k ( r ) | . Wykaż, że wtedy nierówność ta wymusza
a) | V0 | 
2
( a 2 ) dla ka  0 ,
b) | V0 |  v a dla ka   .
6. Rozwinięcie parcjalne.

Korzystając z rozwinięcia parcjalnego fali płaskiej k ( r )  l /0 i l (2l  1) jl (kr ) Pl (kˆ  rˆ) oraz asymptotycznej
postaci rozwiązania równania L-S, k(  ) ( r )  (2 )3 2 [eik r  eikr f ( rˆ) r ] , dla rozpraszania elastycznego na
potencjale sferycznie symetrycznym, wyprowadź rozwinięcie parcjalne
a) amplitudy rozpraszania f ( rˆ) ,
b) przekroju czynnego.
Wskazówki: Przyjmij, że rozwinięcie parcjalne funkcji  k(  ) ( r )
ma dla każdego r postać
k(  ) ( r )  l /0 Cl (k ) l ( r )r 1Pl (kˆ  rˆ) , natomiast dla kr   mamy l (r)  Al (k )sin[kr  l  2   l (k )] oraz

jl (kr )  sin(kr  l  2)] (kr ) .
7. Długość rozpraszania elastycznego.
Wiadomo, że funkcja radialna l (kr ) wchodząca w skład rozwinięcia parcjalnego
k(  ) ( r )  (2 ) 3 2 (1 kr)l /0 i l (2l  1)ei ( k ) l (kr) Pl (kˆ  rˆ) ma asymptotykę (dla kr   ):

l
l (r)  Al (k )sin[kr  l  2   l (k )] .
a) Znając w danym punkcie r0 wartość funkcji  l ( r0 ) oraz jej pochodnej d l ( r0 ) dr , oblicz długość
rozpraszania    limk 0 tg[ 0 (k )] k .
b) Wykaż, że przy k  0 całkowity przekrój czynny na rozpraszanie elastyczne wynosi  tot  4 2 .
2
8. Rozpraszanie z absorbcją i operatory Møllera.
a) Rozpraszanie z absorbcją może być opisane matematycznie przy pomocy potencjału optycznego, tzn.
potencjału zespolonego z ujemną częścią urojoną ImV(r) = -W(r). Wykaż, że całkowity przekrój czynny na
absorbcję ma postać  abs  (2 )3 (k E ) k(  ) W k(  ) .
b) Podaj definicję operatorów Møllera oraz udowodnij, że spełniają one odpowiednie równanie L-S.
1 
(2l  1)eil ( k ) sin[ l (k )]Pl ( cos  ) , wyprowadź

k l /0
postać rozwinięcia parcjalnego całkowitego przekroju czynnego na rozpraszanie elastyczne.
4 l *
Wskazówka: Pl (aˆ  bˆ) 
 Ylm (aˆ )Ylm (bˆ) .
2l  1 m/  l
9. a) Korzystając z postaci amplitudy rozpraszania f ( ) 
b) Wykaż, że w przypadku występowania rezonansu kształtu dla fali parcjalnej lr przy energii zderzenia Er ,
całkowity przekrój czynny przybiera postać wzoru Breita-Wignera
1
( lr 2)2
4
d

 ( E )  2 (2lr  1)
,
gdzie



2
ctg

(
E
)
lr
lr
 dE
 .
k
( E  E )2  (  2)2
r
lr
10. Podaj definicję operatorów Møllera i udowodnij następujące twierdzenia:
ˆ (  )  d 3k  (  )  ,
a) 

k
i ,k
†
gdzie i ,k  i ,k
, natomiast i ,k oznacza ket fali płaskiej,
ˆ (  )†
ˆ ()  1 ,
b) 
ˆ (  )
ˆ (  )†  1     , gdzie  n oznacza stan związany,
c) 
n
n
n
ˆ (  )†  1  
ˆ (  )†VG
ˆ ˆ ( ) (E) ,
d) 
0
ˆ (  )  [1  Gˆ (  ) ( E )Vˆ ]1 .
e) 
0
11. a) Podaj definicję i udowodnij unitarność operatora Ŝ . Wskazówka: Dowód przeprowadź w bazie
stanów płaskich, skorzystaj z odpowiednich twierdzeń z punktu 10.
b) Na wykładzie wykazałem, że różniczkowy przekrój czynny na przejście kwantowe między stanami
płaskimi  k   k
i
w wyniku zderzenia (nie koniecznie elastycznego) ma postać
f
d  (2 )4

2
ki
2
 ( Ef  Ei ) Tk ,k d 3kf , gdzie Tkf ,ki  kf Vˆ k(i ) .
f
i
Wykaż, że w przypadku rozpraszania elastycznego ( k f  ki ) cząstek bez struktury (punktowych) wzór ten,
2
po wykonaniu jednego całkowania, redukuje się do znanego wzoru d  f (kf , ki ) d f .
3
12. Rozkład parcjalny macierzy rozpraszania.
Wiedząc, że związek pomiędzy macierzami operatorów rozpraszania Ŝ i przejścia Tˆ jest następujący
Sk ',k   3 (k ' k )  2 i  ( Ek '  Ek ) Tk ',k
wyprowadź rozwinięcie parcjalne macierzy Sk ',k . Wyprowadź stąd związek pomiędzy Sl (k ) i Tl (k ) (ich
definicje znajdziesz w notatkach z wykładu). Wskazówki: Wyprowadź najpierw rozwinięcie parcjalne
macierzy Tk ',k  k ' Vˆ k(  ) korzystając z rozwinięcia parcjalnego dla fali płaskiej,
k ( r )  l /0 i l (2l  1) jl (kr ) Pl (kˆ  rˆ) , oraz dla pełnego rozwiązania r. L-S,

k(  ) ( r )  (2 ) 3 2 (1 kr)l /0 i l (2l  1)ei ( k ) l (kr) Pl (kˆ  rˆ) . Następnie, skorzystaj z tożsamości

 3 ( k ' k ) 
2
l
 ( Ek '  Ek ) l /0 (2l  1) Pl (kˆ ' kˆ) .

4 k 
13. Rozpraszanie na dwóch potencjałach.
Dla rozpraszania na dwóch potencjałach V  V1  V2 , gdzie V oznacza pełny potencjał, wyprowadź postać
macierzy operatora przejścia Tfi  Tk ,k  f(  ) Vˆ1 i  f(  ) Vˆ2 i(  ) , gdzie  i jest początkowym stanem
f
płaskim; 
()
i
i
jest rozwiązaniem r. L-S z pełnym potencjałem Vˆ ; f(  )
jest rozwiązaniem r. L-S
z potencjałem Vˆ1 . Zapisz macierz Tfi w przybliżeniu DWBA, gdy potencjał Vˆ2 jest znacznie słabszy od
potencjału Vˆ1 . Podaj przykład zastosowania tej metody.
4