Sterowanie rozmyte

Sterowanie rozmyte
Logika rozmyta
•
Przy rozwiązywaniu praktycznych problemów niealgorytmicznych
mamy często do czynienia z wiedzą nieprecyzyjną i niepewną. Do
rozpatrywania takich problemów dobrze nadają się zbiory rozmyte i
logika (rozumowanie) rozmyte (ang. Fuzzy logic).
•
W odróżnieniu od logiki dwuwartościowej, wg której dany
element może do określonego zbioru tylko należeć lub nie
należeć, w koncepcji zbiorów rozmytych elementy nie są w pełni
podporządkowane określonym zbiorom. Zbiory rozmyte
umożliwiają wprowadzenie do programowania komputerowego
tzw. wiedzy zdrowego rozsądku, która występuje głównie w
postaci twierdzeń będących na ogół, ale nie zawsze
prawdziwymi.
1
Logika rozmyta
• W przypadków zbiorów “normalnych”, tzw. ostrych,
dany element x albo należy (funkcja charakterystyczna
µA(x)=1) lub nie należy (µA(x)=0) do danego zbioru. W
teorii zbiorów rozmytych element może należeć
częściowo do określonego zbioru,
a funkcja charakterystyczna jest uogólniona do
funkcji przynależności, która przyporządkowuje
każdemu elementowi x wartość z przedziału [0, 1]
zamiast dwuelementowego zbioru {0, 1}.
•
.
Twórcą logiki rozmytej jest profesor Zadeh, artykuł „Fuzzy sets” opublikowany w 1965 r
Logika rozmyta
zbiór osobników
wysokich
zbiór osobników
średnich
zbiór osobników
niskich
10% niski
30%
średni
60%
wysoki
2
Logika rozmyta
zbiór osobników
wysokich
µw(x)=0,6
zbiór osobników
średnich
µs(x)=0,3
zbiór osobników
niskich
µn(x)=0,1
Sterowanie rozmyte
• Rozmyty system sterowania jest systemem
ekspertowym czasu rzeczywistego, implementującym
działania człowieka będącego operatorem lub
ekspertyzy inżynierów procesu, przy czym proces nie
może być łatwo wyrażony w postaci równań
różniczkowych, ale raczej jako reguły sytuacja działanie . Np.
• Jeżeli prędkość silnika DC trochę za mała I szybko
rosnąca to napięcie zasilania silnika jest zbyt duże.
• Wartości rozmyte, jak trochę za mała, szybko
rosnąca, zbyt duże oraz operatory rozmyte jak jeżeli,
I są kompilowane w elementarne obiekty numeryczne
i algorytmy: tablice funkcyjne, komparatory, itp.
3
Sterowanie rozmyte
Stan procesu ostry
(zbiór nierozmyty)
Wyjście sterowania ostre
(zbiór nierozmyty)
x
u
Normalizacja
Denormalizacja
xw
Fuzyfikator
µ(x)
Maszyna
wnioskująca
µ(u)
uw
Część opcjonalna
Część obligatoryjna
Defuzyfikator
Baza reguł
Sterowanie rozmyte
Przykłady zastosowań:
– Autopilot statków ze wspomaganiem za pomocą sytemu
rozmytego.
– Sterowanie pieców obrotowych w cementowni,
– Konstrukcja pralki automatycznej, odkurzacza i elektronicznego
systemu stabilizacji obrazu w kamerze wideo – firma
Matsushita.
– System klimatyzacji – firma Mitsubishi.
– Zastosowanie przemysłowe regulatorów opartych o logikę
rozmytą w sterowaniu koleją podziemną w Sendai (Japonia),
– W przemyśle samochodowym w czym przoduje Japonia.
Dotyczy to m.in. automatycznej przekładni biegów, układów
antypoślizgowych, sterowania zapłonu i innych układów
samochodu.
4
Podstawy logiki rozmytej
Klasyczna teoria zbiorów
Klasyczny zbiór jest kolekcją obiektów jakiegoś rodzaju.
x ∈ A oznacza że x jest elementem zbioru A
x ∉ A oznacza że x nie jest elementem zbioru A
Klasyczny zbiór może być skończony, policzalny lub niepoliczalny:
Z = {Gliwice, Zabrze, Bytom, Tychy} - zbiór skończony opisany przez
elementy zbioru,
X = {x∈C|x>0} - zbiór liczb całkowitych dodatnich – zbiór policzalny
opisany właściwościami zbioru,
H = {x∈[1, 2]} - zbiór liczb z przedziału 1, 2 - zbiór niepoliczalny
A = B oznacza, że zbiory A i B zawierają te same elementy,
A ⊂ B oznacza, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B, tzn. że wszystkie
elementy zbioru A są także elementami zbioru B.
Podstawy logiki rozmytej
Klasyczna teoria zbiorów
Działania na zbiorach
Dopełnienie (negacja) A:
(lub oznaczenie A)
Iloczyn A i B
Suma A i B
Różnica A i B
Różnica symetryczna A i B
A’
=
{x|x∉A}
A ∩ B = {x|x∈A i x∈B},
A ∪ B = {x|x∈A lub x∈B},
A - B = {x|x∈A i x∉B},
A + B = A - B ∪ B – A,
Sposoby definiowania zbiorów
przez wyliczenie elementów zbioru,
przez zastosowanie predykantu {x|P(x)},
za pomocą funkcji charakterystycznej µA.
5
Podstawy logiki rozmytej
Klasyczna teoria zbiorów
Funkcja charakterystyczna µA
Funkcja µA jest funkcją charakterystyczną zbioru A zdefiniowanego na
obszarze rozważań X wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x ∈X:
1 dla x ∈ A
µ A ( x) = 
0 dla x ∉ A
Dopełnienie A:
Iloczyn A i B
Suma A i B
A’ ,
µA’(x) = 1 - µA(x)
A ∩ B , µA ∩ B(x) = min(µA(x), µB(x))
A ∪ B , µA ∪ B(x) = max(µA(x), µB(x))
Podstawy logiki rozmytej
Teoria zbiorów rozmytych (Fuzzy Sets)
Funkcja przynależności µF
Funkcja przynależności µF przyporządkowuje każdemu elementowi
u∈U wartość z przedziału jednostkowego [0, 1].
µ F : U → [0, 1]
Zbiór, który jest zdefiniowany na podstawie tak określonej funkcji
przynależności nazywany jest zbiorem rozmytym.
Każdy element u zbioru U ma stopień przynależności µF(u)∈[0, 1]:
Zbiór rozmyty F jest całkowicie określony przez zbiór n-tek:
F = {(u , µ F (u )) | u ∈ U }
6
Podstawy logiki rozmytej
Teoria zbiorów rozmytych (Fuzzy Sets)
Funkcja przynależności µF
F = {(u , µ F (u )) | u ∈ U }
Np. opis klasy miast takich jak Warszawa, Łódź, Szczecin, Katowice,
Gliwice, Mikołów mających tę właściwość że są duże.
{(Warszawa,1),
(Łódź,1),
(Szczecin,0.45),
(Katowice,
0.3),
(Gliwice,0.05)}
a Mikołów zdecydowanie do dużych nie należy, czyli jest poza
zbiorem, lub ze stopniem przynależności 0.
Inny sposób zapisu - przykład dużych miast
{1/Warszawa, 1/Łódź, 0,45/Szczecin, 0.3/Katowice, 0.05/Gliwice }
 µ (u ) µ (u )
µ (u ) 
F =  F 1 , F 2 , ⋅⋅⋅ , F n 
u2
un 
 u1
Podstawy logiki rozmytej
Teoria zbiorów rozmytych (Fuzzy Sets)
Funkcja przynależności µF
Funkcję przynależności zbioru rozmytego DUŻE MIASTA można
przedstawić np. w następującej postaci:
dla u > 0,6
1

µ F (u ) = 2,5 ⋅ (u − 0,2 ) dla 0,2 ≤ u ≤ 0,6
0
dla u < 0,2

µF
gdzie u jest liczbą mieszkańców
w milionach
1,0
Jest to przykład funkcji rosnącej
(funkcji typu Γ) charakterystycznej
dla reprezentacji pojęć
lingwistycznych typu duży,
wysoki, gruby, gorący, szybki, itp.
0,5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
u
7
Podstawy logiki rozmytej
Funkcja przynależności µF
µF
1,0
Przykłady
funkcja G:
funkcji
0

 u − a 
µ F (u ) = 

 b − a 
1
rosnących
–
dla u < a
0,5
dla a ≤ u ≤ b
0
dla u > b
b
u
µF
Funkcja S Zadeha:
0

2
 u−a
2 c − a 
 

µ F (u ) = 
2

u−c

1 − 2
c−a

1
a
1,0
dla u ≤ a
dla a < u ≤ b
0,5
dla b < u ≤ c
0
dla u > c
a
b
c
u
Podstawy logiki rozmytej
Funkcja przynależności µF
Przykłady funkcji
funkcja L:
1

 a − u 
µ F (u ) = 

 b − a 
0
malejących
µF
–
dla u < a
1,0
0,5
dla a ≤ u ≤ b
dla u > b
Reprezentacja pojęć lingwistycznych
typu mały, wolny, zimny, słaby, niski
itp.
dla u ≤ a
1

2

u−a
dla a < u ≤ b
1 − 2 c − a 
µ F (u ) = 
  u − c 2
dla b < u ≤ c
2 c − a 

 
dla u > c
0
0
a
b
u
µF
1,0
0,5
0
a
b
c
u
8
Podstawy logiki rozmytej
Funkcja przynależności µF
Przykłady
funkcja:
funkcji
0

1,0
 u − a 
 b − a 
µ F (u ) = 
0,5
 c − u 
 c − b 

0
a
b
–
0,5
dla u < a
µF
0
trójkątnych
µF
1,0
dla a ≤ u < b
0
dla b ≤ u < c
c
b
u
µF
1,0
dla u ≥ c
c
a
d
u
0,5
Reprezentacja pojęć
lingwistycznych typu średni,
komfortowy, nieco wolny, lekko
dodatni, bliski zera, niewielki itp.
0
a
b
c
u
Podstawy logiki rozmytej
µF –
Funkcja przynależności
(rozmywanie)
fuzyfikacja
Przykład:
Rozmyty układ regulacji klimatyzacji i reprezentacja zmiennych
lingwistycznych zimno, chłodno, komfortowo, ciepło, gorąco przez
funkcje przynależności. Przypisanie wartościom „ostrym” zmiennych
lingwistycznych oraz funkcji i współczynników przynależności –
fuzyfikacja (rozmywanie)
µF
1,0
zimno
chłodno
komfortowo
gorąco
ciepło
0,5
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
ϑ
9
System wnioskowania rozmytego Mamdaniego
Stan procesu ostry
(zbiór nierozmyty)
Wyjście sterowania ostre
(zbiór nierozmyty)
x
u
Normalizacja
Denormalizacja
xw
Fuzyfikator
µ(x)
Maszyna
wnioskująca
µ(u)
uw
Część opcjonalna
Część obligatoryjna
Defuzyfikator
Baza reguł
System wnioskowania rozmytego Mamdaniego
Układ fuzyfikatora
Stan procesu ostry
(rozmywania)
Wyjście sterowania ostre
(zbiór nierozmyty)
(zbiór nierozmyty)
przekształca
x
u
nierozmyty zbiór
Normalizacja
Denormalizacja
danych wejściowych x
Część opcjonalna
w zbiór rozmyty
x
Część obligatoryjna
u
Maszyna
zdefiniowany za
µ(x)
µ(u)
wnioskująca
Fuzyfikator
Defuzyfikator
pomocą funkcji
Baza reguł
przynależności
m(x)
µF
gorąco
chłodno
komfortowo ciepło
zimno wnioskująca
Maszyna
na podstawie
Układ defuzyfikatora
1,0
µch
(
ϑ
)
1
reguł
zapisanych w bazie reguł
(wyostrzania) wyznacza
przekształca rozmyty zbiór wejściowy wartość punktową u zmiennej
0,5
zdefiniowany
za pomocą funkcji
wyjściowej na podstawie
µk(ϑ1)
przynależności m(x) w rozmyty zbiór zbioru rozmytego
wyjściowy zdefiniowany przez funkcję zdefiniowanego przez funkcję
17
22
24
16
18
19 ϑ 20
21
23
25 ϑ
1
przynależności m(u)
przynależności m(u)
w
w
10
System wnioskowania rozmytego Mamdaniego
Reguła 1
to to u jest B
1
Jeżeli x jest A1
Reguła 2
to to u jest B
2
Jeżeli x jest A2
x
µ(u)
Agregator
u
Defuzyfikator
Zbiór
rozmyty
Zbiór
ostry
Reguła M
to to u jest B
Jeżeli x jest AM
M
JEŻELI x1 jest A1k I x2 jest A2k I ⋅⋅⋅ I xN jest ANk, TO u jest Bk
gdzie: k – numer reguły (k∈<1, M>)
Reguły rozmyte wnioskowania
Implikacja rozmyta
JEŻELI x jest A, TO u jest B
A , B – wartości lingwistyczne zdefiniowane w sposób rozmyty przez
odpowiednie funkcje przynależności zmiennych x i u
x
jest
A
–
(poprzednik) reguły
y
jest
B
(następnik) reguły
–
przesłanka
konkluzja
µF
1,0
zimno
chłodno
komfortowo
gorąco
ciepło
0,5
Reguła 1
Jeżeli x jest A1 to to u jest B1
Reguła 2
Jeżeli x jest A2 to to u jest B2
x
16
17
Agregator
18
19
µ(u)
Zbiór
rozmyty
20
21
22
Defuzyfikator
23
24
25
ϑ
u
Zbiór
ostry
Reguła M
to to u jest B
Jeżeli x jest AM
M
11
Reguły rozmyte wnioskowania
Implikacja rozmyta – agregacja poprzednika reguły
Reguła 1
Jeżeli x jest A1 to to u jest B1
Reguła 2
to to u jest B
Jeżeli
x
jest
A
2
2
JEŻELI x11 jest A11
(u) B11
11 I x22 jest A21
21 I ⋅⋅⋅ I xN
N jest AN1
N1, TO uµjest
u
x
Agregator
Defuzyfikator
Zbiór
Zbiór
Wypadkowa wartość funkcji przynależności µA(x) (agregacja
rozmyty
ostry
poprzednika - poziom zapłony reguły):
Reguła M
• Interpretacja w postaci
iloczynu logicznego (min):
Jeżeli x jest AM to to u jest BM
 0,8 0,5 
µ A1 (x) = min {µ A1 ( xi )}
µ A1 (x) = min  ,
 = 0,5
i =1, ... , N
 x1 x2 
•
Interpretacja w postaci iloczynu algebraicznego (prod):
N
2
µ A1 (x) = ∏ µ A1 ( xi )
µ A1 (x) = ∏ µ A1 ( xi ) = 0,8 ⋅ 0,5 = 0,4
i =1
i =1
Reguły rozmyte wnioskowania
Implikacja rozmyta – agregacja na poziomie
implikacji
JEŻELI
xx1 jest
jestAA111
I x2 ujest
, TO
jestA21
B1I ⋅⋅⋅ I xN jest AN1, TO u jest B1
Procedura agregacji na poziomie implikacji – przypisanie implikacji A
→ B wartości funkcji przynależności µA → B(x, u) :
Reguła 1
Jeżeli x jest A1 to to u jest B1
x
2
Interpretacja wReguła
postaci
to
to u jest B2
Jeżelilogicznego
x jest A2
iloczynu
(min) -implikacja
1
Mamdaniego: wynik –
zbiór (funkcja) Reguła
µB(u)M
obcięty
(ściśnięty)
do to u jest B
to
Jeżeli x jest A
M
poziomu µA(x) -Mclipped
fuzzy set:
µ A→ B (x, u ) = min{µ A (x), µ B (u )}
Agregator
µ(u)
1 Zbiór
Defuzyfikator
1
rozmyty
x1a
x1
u
Zbiór
ostry
x2a x2
12
Reguły rozmyte wnioskowania
Implikacja rozmyta – agregacja na poziomie implikacji
JEŻELI x jest A1, TO u jest B1
Procedura agregacji na poziomie implikacji – przypisanie implikacji A
→ B wartości funkcji przynależności µA → B(x, u) :
•
Interpretacja w postaci
iloczynu algebraicznego
(prod): wynik – zbiór
rozmyty skalowany –
współrzędne zbioru
(funkcji) µB(u) pomnożone
przez wartość µA(x) :
1
1
x1a
µ A→ B (x, u ) = µ A (x) ⋅ µ B (u )
x1
1
x2a x2
System wnioskowania rozmytego Mamdaniego
Rozumowanie rozmyte – procedura umożliwiająca określenie
konkluzji wynikającej ze zbioru reguł : jeżeli
JEŻELI x1 jest A1k I x2 jest -Ato
2k I ⋅⋅⋅ I xN jest ANk, TO u jest Bk
x1, x2, ⋅⋅⋅ xN, – N wymiarowy wektor wejściowy – argument przesłanki
A1, A2, ⋅⋅⋅ AN, B – zmienne lingwistyczne zdefiniowane w sposób rozmyty
przez wartości odpowiedniego współczynnika przynależności µA(xi), µB(u)
k – numer reguły (k∈<1, M>)
Reguła 1
to to u jest B
1
Jeżeli x jest A1
Reguła 2
Jeżeli x jest A2 to to u jest B2
x
Agregator
µ(u)
Zbiór
rozmyty
Defuzyfikator
u
Zbiór
ostry
Reguła M
to to u jest B
Jeżeli x jest A
M
M
13
System wnioskowania rozmytego Mamdaniego
Baza reguł
Reguła 1
to to u jest B
1
Jeżeli x jest A1
Reguła 2
Jeżeli x jest A2 to to u jest B2
x
Agregator
µ(u)
Zbiór
rozmyty
Defuzyfikator
u
Zbiór
ostry
Reguła M
to to u jest B
Jeżeli x jest AM
M
Założenie:
• x1 = e (np. uchyb regulacji)
• x2 = de (np. pochodna uchybu regulacji)
System wnioskowania rozmytego Mamdaniego
Reprezentacja zbioru reguł – baza
reguł
NB
NS ZO PS
NB
PB
NS ZO PS
NB
PB
e
NS ZO PS
PB
u
de
de
1. JEŻELI e jest NB I de jest NB , TO u
jest
NB
2. JEŻELI
e jest NS I de jest NB , TO u
jestJEŻELI
NB
3.
e jest ZO I de jest NB , TO u
jest
NS
4. JEŻELI
e jest .........
e
NB
NS
ZO
PS
PB
NB
NB
NB
NS
NS
ZO
NS
NB
NS
NS
ZO
PS
ZO
NS
NS
ZO
PS
PS
PS
NS
ZO
PS
PS
PB
PB
ZO
PS
PS
PB
PB
14
Reguły rozmyte wnioskowania
Właściwości zbioru reguł (bazy reguł)
Zupełność zbioru
reguł
NB
NS ZO PS
NB
PB
Zbiór reguł JEŻELI – TO
jest zupełny, jeśli dowolna
kombinacja wartości
wejściowych daje w
wyniku właściwą wartość
wyjściową.
NS ZO PS
PB
e
de
de
NB
NS
ZO
PS
PB
NS
ZO
NS
ZO
PS
NB
NS
e
ZO
NS
ZO
PS
PS
PS
NS
ZO
PS
PS
PB
PB
ZO
PS
PS
PB
PB
Reguły rozmyte wnioskowania
Właściwości zbioru reguł (bazy reguł)
Zgodność zbioru
reguł
NB
NS ZO PS
NB
PB
Zbiór reguł JEŻELI – TO
jest niezgodny, jeżeli są
dwie reguły z takim
samym poprzednikiem,
ale z różnymi
następnikami, których
iloczyn jest pusty.
e
NS ZO PS
PB
u
1. JEŻELI e jest NB I de jest NB , TO u jest NB
2. JEŻELI e jest NB I de jest NB , TO u jest PB
3. JEŻELI e jest PB I de jest PB , TO u jest PB
4. JEŻELI e jest PB I de jest PB , TO u jest PS
15
Reguły rozmyte wnioskowania
Właściwości zbioru reguł (bazy reguł)
Ciągłość zbioru reguł
Zbiór reguł JEŻELI – TO
jest ciągły, jeśli nie ma
sąsiednich reguł ze
zbiorami rozmytymi
wyjściowymi, których
iloczyn jest pusty.
NB
NS ZO PS
NB
PB
NS ZO PS
PB
u
e
de
e
NB
NS
ZO
PS
PB
NB
NB
NB
NS
NS
ZO
NS
PB
NS
NS
ZO
PS
ZO
NS
NS
ZO
PS
PS
PS
NS
ZO
PS
PS
PB
PB
ZO
PS
PS
NB
PB
System wnioskowania rozmytego Mamdaniego
Agregacja zbioru reguł (bazy reguł)
Reguła 1
to to u jest B
1
Jeżeli x jest A1
Reguła 2
to to u jest B
2
Jeżeli x jest A2
x
Agregator
µ(u)
Zbiór
rozmyty
Defuzyfikator
u
Zbiór
ostry
Reguła M
to to u jest B
Jeżeli x jest AM
M
16
Agregacja zbioru reguł (bazy reguł)
1
1
1
e
1
de
1
e1
e
1
de1
de
1
Agregacja wyników implikacji wielu
reguł w postaci sumy logicznej (max):
µ (u ) = max{µ x (u )}
Agregacja zbioru reguł (bazy reguł)
1
1
1
e
1
de
1
e1
e
Agregacja wyników implikacji wielu
reguł w postaci sumy ograniczonej
(sum):


µ (u ) = min 1, ∑ µ x (u )
 x

1
de1
de
1
17
Agregacja zbioru reguł (bazy reguł)
1
1
1
e
1
de
1
1
e
e1
de1
de
1
Agregacja wyników implikacji wielu
reguł w postaci sumy algebraicznej
(probor):
µ (u ) = µ1 (u ) + µ 2 (u ) − µ1 (u ) ⋅ µ 2 (u )
System wnioskowania rozmytego Mamdaniego
Defuzyfikacja (wyostrzanie)
Reguła 1
to to u jest B
1
Jeżeli x jest A1
Reguła 2
to to u jest B
2
Jeżeli x jest A2
x
Agregator
µ(u)
Zbiór
rozmyty
Defuzyfikator
u
Zbiór
ostry
Reguła M
to to u jest B
Jeżeli x jest A
M
M
1
1
µ (u ) = max{µ x (u )}
1




µ (u ) = min 1, ∑ µ x (u ) µ (u ) = µ1 (u ) + µ 2 (u ) − µ1 (u ) ⋅ µ 2 (u )

x

18
Defuzyfikacja (wyostrzanie)
Metoda środka
obszaru (środka
ciężkości) (centroid)
Metoda środka sum
N
∫ u ⋅ ∑ µ k (u )du
∫ u ⋅ µ(u)du
uc = u
up =
k =1
N
u
∫ ∑ µ k (u )du
∫ µ(u )du
u k =1
u
∑ ui ⋅ µ(ui )
uc =
i
N
∑ ui ⋅ ∑ µ k (ui )
up =
∑ µ(ui )
i
µ(u)
wzięte raz
k =1
N
∑∑ µ k (ui )
i k =1
µ(u)
1
i
1
wzięte dwa
razy
µ2(u)
uc
µ1(u)
u
up
u
Defuzyfikacja (wyostrzanie)
Metoda średniej
z centrów (metoda
Metoda równego
podziału (bisector)
wysokości)
N
∑
umk ⋅ µ (umk )
uc = k =1
N
ub
u max
u min
ub
∫ µ(u)du = ∫ µ(u)du
∑ µ(umk )
k =1
1
1
19
Defuzyfikacja (wyostrzanie)
Metody najmniejszej us
(som) oraz największej ul
(lom) wartości u z
Metoda średniej z
maksimów (Mean of
Maximum Method mom)
maksimum
um =
us - najmniejsza wartość u, dla której
{µ(u)=max}
ul + u s
2
ul - największa wartość u, dla której
{µ(u)=max}
1
1
Defuzyfikacja (wyostrzanie)
Porównanie metod
defuzyfikacji
1
20
Schemat rozmytego systemu
Rozmywanie
Wnioskowanie
Wyostrzanie
baza reguł
µmróz µzimno µciepło
Jeżeli temp=mróz
to zawór=otwarty
µmróz =0.7 0.7
0.7
Jeżeli temp=zimno
to zawór=półotwarty
0.2
T
Wejście: mierzona
temperatura
µzimno =0.2
Jeżeli temp=ciepło
to zawór=zamknięty
µhot =0.0
µotw µpół µzamk
0.2
u
Wyjście:
położenie zaworu
System rozmyty jako sterownik nieliniowy
Rozmywanie
Wnioskowanie
Wyostrzanie
baza reguł
21
Przykład systemu rozmytego 2-wymiarowego
Baza reguł
Zawór
Pora
doby
mróz
Temperatura
zimno
dzień
otwarty
półotwarty
zamknięty
półotwarty
zamknięty
zamknięty
noc
ciepło
JEŻELI Temperatura=mróz i Pora doby=dzień TO Zawór=otwarty
JEŻELI Temperatura=zimno i Pora doby=noc TO Zawór=zamknięty
1. Rozmywanie
Fuzyfikacja, rozmywanie: od pomiarów do funkcji przynależności:
Określenie stopnie przynależności zmiennych lingwistycznych
dla każdego ze zbiorów rozmytych:
Temperatura: T=4 C
1
0.7
0
Godzina: h=21
µzimno(T)=0.7
4C
1
T
0.3
0
µdzień(h)=0.3
21
h
JEŻELI Temperatura=zimno I Pora doby=dzień ...
22
2. Agregacja poprzednika reguły
Oblicz stopień spełnienia reguły dla wszystkich przesłanek łącząc
ze sobą termy za pomocą rozmytego AND, np. operatora MIN.
1
0.7
0
µzimno(T)=0.7
4C
µdzień(h)=0.3
1
T
0.3
0
21
h
JEŻELI Temperatura=zimno I Pora doby=dzień ...
µA(X) = µA1(X1) ∧ µA2(X2) ∧ µAN(XN) dla reguły RA
µcałe(X) = min{µzimno(T), µdzień(h)} = min{0.7,0.3} = 0.3
3. Wnioskowanie – agregacja implikacji
1
µpółotw(p)
µkonkl(p)
... µprzesł=0.3
0
u
TO Zawór =półotwarty
1
... µprzesł =0.3
0
µpółotw(p)
Wnioskowanie MIN
µkonkl=min{µprzesł, µpółotw}
µkonkl(h)
u
Wnioskowanie •
µkonkl. = µprzesł • µpółotw
23
4. Agregacja zbioru reguł
Dokonaj agregacji wszystkich przesłanek reguł używając
operatora MAX by obliczyć sumę.
TO Zawór =otwarty
TO Zawór =półotwarty
TO Zawór =zamknięty
1
0
u
5. Wyostrzanie
Oblicz ostrą wartość lub decyzję używając np. metody
środka ciężkości “Center of Gravity” (COG)
1
µkonkl(p)
0
0,64
u=
Σi µi • ui
Σi µi
COG
u
µi = stopień przynależności do zbioru i
24
Rozmyte układy regulacji
Regulatory rozmyte
•
•
•
Regulator rozmyty typu PID (PI,
Mamdaniego
Ślizgowy regulator rozmyty
Regulator rozmyty typu Sugeno-Takagi
PD)
~
x& = f (x) + B ⋅ u + z
y = C⋅x + D⋅u
z(t)
u = h(y z , y)
yz(t)
X ( s ) = Go ( s )(U s ( s ) + Z ( s ) )
u(t)
h(yz,y)
.
f(x,x,u,z)
x(t)
g(x,u)
y(t)
Z(s)
Xz(s)
E ( s) = X z (s) − X ( s)
E(s)
Gr(s)
-
U ( s ) = Gr ( s ) E ( s )
U(s)
X(s)
Go(s)
Regulator konwencjonalny PID a regulator
rozmyty PID
Regulator konwencjonalny
Xz(s)
Xz(s)
E(s)
-
Z(s)
E(s) U(s)
Gr(s)
G (s)
r
-
U(s)
Go(s)
X(s)
X(s)
Gr ( s ) =
E(s)

k
U (s )
1 
 = k p + sk d + i
= k p 1 + sTd +
E ( s)
sTi 
s

U(s)
1
s
t
u (t ) = k p e(t ) + k d e&(t ) + ki ∫ e(t )dt = k p e(t ) + k d e&(t ) + ki δ(t )
0
Regulator rozmyty Mamdaniego
s
xz e
x
Normalizacja
1
s
Fuzyfikacja
µ(e )
Baza reguł
Odpalanie
reguły
µ(u)
Defuzyfikacja
Denormalizacja
u
JEŻELI e jest Ae(i) I e jest Ae(i) I δ jest Aδ(i) TO u jest Bu(i)
25
Regulator typu PD
Regulator
klasyczny
u = k p e + k d e&
PD
NB
NS ZO PS
PB
U(s)
E(s)
e
u N = eN + e&N
NB
NS ZO PS
PB
de
Regulator PD rozmyty
NB
JEŻELI e jest Ae(i) I de jest Ade(i) TO u jest Bu(i)
NS ZO PS
PB
u
xz
e
Baza reguł
Fuzyfikacja
de Normalizacja
s
µ(e)
µ(de) Odpalanie
µ(u)
Defuzyfikacja
u
Denormalizacja
reguły
x
Regulator typu PD
Regulator PD klasyczny
Regulator PD rozmyty
JEŻELI e jest Ae(i) I de jest Ade(i) TO u jest Bu(i)
u = k p e + k d e&
u N = eN + e&N
U(s)
E(s)
NB
NB
µ(u)
NS
ZOreguł
Baza
ZO
PSPSPB PB
µ(e)NS
Jeżeli k p e + k d e& < 0
to u < 0
Jeżeli k p e + k d e& > 0
to u > 0
reguły
e
NB
0
u=
PB
u<0
s
x
PS
e
e
NS ZO PS
PB
NB
NS
ZO
PS
PB
ZO
PS
PS
PB
PB
NS
ZO
uPS
PS
PB
NS
NS
ZO
PS
e
u>0
xz
u
e
Równanie linii
przełączającej
s = k d e& + k p e = 0
s N = e&N + eN = 0
µ(de) Odpalanie
de Normalizacja
Fuzyfikacja
µ(e)
µ(de)
de
Baza reguł
Odpalanie
reguły
ZO
µ(u)
Defuzyfikacja
NS
NB
NS Denormalizacja
NS
ZO
NB
NB
NB
NS
NS
PS
u
PS
ZO
26
Regulator typu PI
Regulator PI klasyczny
Gr ( s ) =

U ( s)
1 
k
 = k p + i
= k p 1 +
E ( s)
sT
s
i

u (t ) = k p e(t ) + kiδ (t )
u (t ) = k p e(t ) + ki ∫ e(t )dt = k p e(t ) + kiδ (t )
u& N = e&N + eN
0
u N = eN + δ N
E(s)
U(s)
E(s)
t
u (t ) = ∫ u& (t )dt
u& (t ) = k p e&(t ) + ki e(t )
t
0
1
s
sU(s)
1
s
U(s)
1
s
Równanie linii przełączającej
s = k p e + k iδ = 0
sN
= e& N + δ N = 0
Równanie linii przełączającej
s = k p e& + k i e = 0
s N = e& N + δ N = 0
δ
e
0
0
u=
u=
u>0
u>0
e
e
u<0
u<0
Regulator typu PI
Regulator PI klasyczny, typ II
u& N = e&N + eN
t
u (t ) = ∫ u& (t )dt
0
1
s
E(s)
e
Równanie linii przełączającej
1
s
u>0
s = k p e& + k i e = 0
s N = e& N + δ N = 0
sU(s)
0
u=
u& (t ) = k p e&(t ) + ki e(t )
e
u<0
U(s)
Regulator PI rozmyty
JEŻELI e jest Ae(i) I de jest Ade(i) TO du jest Bdu(i)
xz
e
s
x
de Normalizacja
Fuzyfikacja
µ(e)
Baza reguł
µ(de)
Odpalanie
reguły
µ(du)
Defuzyfikacja
Denormalizacja
du 1
s
u
27
Regulator PI rozmyty
xz
e
s
Fuzyfikacja
de Normalizacja
µ(e)
Baza reguł
µ(de)
Odpalanie
reguły
x
µ(du)
Defuzyfikacja
Denormalizacja
du 1
s
u
Regulator PI rozmyty
Regulator PI klasyczny, typ II
u& N = e&N + eN
u (t ) = ∫ u& (t )dt
e
Równanie linii
przełączającej
E(s)
sU(s)
1
s
jest Bdu(i)
e
µ(e)
s
x
Baza reguł
Normalizacja
Odpalanie
deµ(de)
reguły
e
u<0
U(s)
e
Regulator
PI
rozmyty
JEŻELI e jest Ae(i) I de jest Ade(i) TO du
xz
u>0
s = k p e& + ki e = 0
s N = e&N + δ N = 0
0
1
s
0
u=
Regulator typu
PI
t
u& (t ) = k p e&(t ) + ki e(t )
µ(du)
Fuzyfikacja
NB
NS
ZO
PS
PB
PB
ZO
PS
PS
PB
PB
PS
NS
ZO
PS
PS
PB
µ(e)
Baza reguł
µ(du) ZO
de
µ(de)
Odpalanie
reguły
NS
Defuzyfikacja
du 1 PSu
NS
ZO
PS
Denormalizacja
NS
NB
NS
NS
ZO
PS
NB
NB
NB
NS
NS
ZO
s
28
System wnioskowania rozmytego Mamdaniego
JEŻELI x1 jest A1k I x2 jest A2k I ⋅⋅⋅ I xN jest ANk, TO u jest Bk
x1, x2, ⋅⋅⋅ xN, – N wymiarowy wektor wejściowy – argument przesłanki
A1, ⋅⋅⋅AN, B – zmienne lingwistyczne reprezentowane przez odp. funkcje przynależności
k – numer reguły (k∈<1, M>)
Reguła 1
to to u jest B
1
Jeżeli x jest A1
Reguła 2
to to u jest B
2
Jeżeli x jest A2
x
Agregator
µ(u)
Zbiór
rozmyty
Defuzyfikator
u
Zbiór
ostry
Reguła M
to to u jest B
Jeżeli x jest AM
M
System wnioskowania rozmytego Sugeno-Takagi
JEŻELI x1 jest A1k I x2 jest A2k I ⋅⋅⋅ I xN jest ANk, TO uk = fk(x1, x2, ... , xN)
x1, x2, ⋅⋅⋅ xN, – N wymiarowy wektor wejściowy – argument przesłanki
A1, A2, ⋅⋅⋅AN – zmienne lingwistyczne reprezentowane przez odp. funkcje przynależności
fk(x1, x2, ... , xN) – nierozmyta (ostra) funkcje następnika reguły
k – numer reguły (k∈<1, M>)
Reguła 1
to to u = f (x)
1 1
Jeżeli x jest A1
Reguła 2
to to u = f (x)
2 2
Jeżeli x jest A2
x
Agregator
u
Zbiór
ostry
Reguła M
to to u = f (x)
M M
Jeżeli x jest AM
29
System wnioskowania rozmytego Sugeno-Takagi
JEŻELI x1 jest A1k I x2 jest A2k I ⋅⋅⋅ I xN jest ANk, TO uk = fk(x1, x2, ... , xN)
x1, x2, ⋅⋅⋅ xN, – N wymiarowy wektor wejściowy – argument przesłanki
A1, A2, ⋅⋅⋅AN – zmienne lingwistyczne reprezentowane przez odp. funkcje przynależności
fk(x1, x2, ... , xN) – nierozmyta (ostra) funkcje następnika reguły
k – numer reguły (k∈<1, M>)
Stan procesu ostry
(zbiór nierozmyty)
Wyjście sterowania ostre
(zbiór nierozmyty)
x
u
Normalizacja
Denormalizacja
Część opcjonalna
xw
Fuzyfikator
µ(x)
Maszyna
wnioskująca
uw
Część obligatoryjna
Baza reguł
System wnioskowania rozmytego Sugeno-Takagi
JEŻELI x1 jest A1k I x2 jest A2k I ⋅⋅⋅ I xN jest ANk, TO uk = fk(x1, x2, ... , xN)
Reguła 1
to to u = f (x)
1 1
Jeżeli x jest A1
Reguła 2
to to u = f (x)
2 2
Jeżeli x jest A2
x
Agregator
u
Zbiór
ostry
Reguła M
Jeżeli x jest AM to to uM = fM(x)
M
(
uk = f k x1* , x2* , ... , x*N
)
(
µ uk = min µ k ( x1* ), µ k ( x2* ), ..., µ k ( x*N )
)
∑ µu uk
u = k =M1
k
∑ µu
k =1
k
30
Regulator rozmyty PID typu Sugeno-Takagi
Reguły dla regulatora rozmytego PID typu Mamdaniego
JEŻELI e jest Ae(i) I e jest Ae(i) I δ jest Aδ(i) TO u jest Bu(i)
Regulator rozmyty PID Mamdaniego
s
xz e
µ(e )
Fuzyfikacja
Normalizacja
µ(u)
Odpalanie
reguły
1
s
x
Baza reguł
Defuzyfikacja
u
Denormalizacja
Reguły dla regulatora rozmytego PID typu Sugeno-Takagi
JEŻELI e jest Ae(i) I e jest Ae(i) I δ jest Aδ(i) TO u(i) = fi(e, e, d)
Regulator rozmyty PID Sugeno
s
xz
e
Fuzyfikacja
Normalizacja
µ(e )
Baza reguł
1
s
x
uw
Odpalanie
reguły
u
Denormalizacja
Regulator rozmyty PD typu Sugeno-Takagi
Regulator
klasyczny
u = k p e + k d e&
PD
NB
NS ZO PS
PB
U(s)
E(s)
e
u N = eN + e&N
NB
NS ZO PS
PB
de
Regulator PD rozmyty
JEŻELI e jest
xz
Ae(i)
I de jest
uD = e + de
Ade(i)
TO
u(i)
e
Baza reguł
s
x
de Normalizacja
Fuzyfikacja
uM = 0,5 ⋅ e + 0,5 ⋅ de
= fi(e, de)
µ(e)
µ(de) Odpalanie
uZ = 0,1 ⋅ e + 0,1 ⋅ de
uw
Denormalizacja
u
reguły
31
Regulator rozmyty PD typu Sugeno-Takagi
e
Równanie linii
przełączającej
0
u=
Regulator
PD klasyczny
u>0
u = k p e + kd e&
s = k d e& + k p e = 0
u N = eN + e&N
s N = e&N + eN = 0
e
u<0
Regulator PD rozmyty
e
JEŻELI e jest Ae(i) I de jest Ade(i)
TO
u(i)
NB
NS
ZO
PS
PB
PB
uZ
uM
uM
uD
uD
PS
uM
uZ
uM
uM
uD
ZO
uM
uM
uZ
uM
uM
NS
uD
uM
uM
uZ
uM
NB
uD
uD
uM
uM
uZ
= fi(e, de)
uD = e + de
de
uM = 0,5 ⋅ e + 0,5 ⋅ de
uZ = 0,1 ⋅ e + 0,1 ⋅ de
Regulator rozmyty PI typu Sugeno-Takagi
Regulator PI klasyczny
Gr ( s ) =
NB

U ( s)
1 
k
 = k p + i
= k p 1 +
E ( s)
sT
s
i

NS ZO PS
PB
t
u (t ) = k p e(t ) + ki ∫ e(t )dt = k p e(t ) + kiδ (t )
u N = eN + δ N
e
0
NB
NS ZO PS
PB
U(s)
E(s)
1
s
de
uD = e + ce
Regulator PI rozmyty
uM = 0,5 ⋅ e + 0,5 ⋅ ce
JEŻELI e jest Ae(i) I ce jest Ace(i) TO u(i) = fi(e, ce)
xz
e
1 ce
s
x
Normalizacja
Fuzyfikacja
µ(e)
µ(ce)
Baza reguł
Odpalanie
reguły
uZ = 0,2 ⋅ e + 0,2 ⋅ ce
uw
Denormalizacja
u
32
Regulator rozmyty PI typu Sugeno-Takagi
δ
Regulator PI klasyczny
0
u=
Równanie linii przełączającej
u (t ) = k p e(t ) + ki δ(t )
s = k p e + k iδ = 0
u N = eN + δ N
s N = eN + δ N = 0
u>0
e
u<0
Regulator PI rozmyty
JEŻELI e jest Ae(i) I ce jest Ace(i) TO u(i) = fi(e, ce)
e
uD = e + ce
uM = 0,7 ⋅ e + 0,7 ⋅ ce
uZ = 0,4 ⋅ e + 0,4 ⋅ ce
ce
NB
NS
ZO
PS
PB
PB
uZ
uM
uM
uD
uD
PS
uM
uZ
uM
uM
uD
ZO
uM
uM
uZ
uM
uM
NS
uD
uM
uM
uZ
uM
NB
uD
uD
uM
uM
uZ
33