Opolski Oddział Polskiego Towarzystwa Fizycznego XLVII

Opolski Oddział Polskiego Towarzystwa Fizycznego
XLVII Międzyszkolny Turniej Fizyczny, 2013/2014
Zadanie rachunkowe – półfinał.
l
x
a)
b)
Obwód elektryczny składa się kondensatora, baterii, klucza i opornika, rys. a). Okładki
kondensatora płaskiego mają kształt kwadratów o boku l. Przestrzeń między okładkami
wypełniona jest dielektrykiem o względnej przenikalności r . Czas ładowania kondensatora
wynosił t. Po naładowaniu kondensatora klucz został otwarty, rys. b). Następnie „wafel”
dielektryka został przesunięty, równolegle do krawędzi okładek, na odległość x. Odpowiedz
na następujące pytania:
a) Jaką pracę wykonała bateria, aby naładować kondensator?
b) Ile wynosi stosunek pojemności kondensatora na rys. b) C(x) do pojemności kondensora
próżniowego C0 o tych samych wymiarach geometrycznych, jako funkcja przesunięcia x?.
Naszkicować funkcję C(x)/C0 = f(x).
c) Ile wynoszą zmiany ładunku elektrycznego Q i napięcia między okładkami kondensatora
U wynikające z przesunięcia dielektryka, jako funkcje x?
d) Ile wynosi średnia wartość siły, niezbędna do usunięcia dielektryka z kondensatora (tarcie
pominąć)?
e) Czy odpowiedź na pytanie c) zmieni się, jeśli przesunięcie dielektryka byłoby wykonywane
przy zamkniętym kluczu? Odpowiedź TAK lub NIE a następnie krótko uzasadnij.
Dane: C0 =100 pF, R = 1 k, E = 5 V, l = 10 cm, r = 100, t = 10 s.
Zarys odpowiedzi
Dane:
C0 =100 pF = 10-10 F
R = 1 k = 103 
E=5V
l = 10 cm = 0,1 m
r = 100
t = 10 s = 10-5 s
a) W wyniku naładowania kondensatora napięcie na okładkach kondensatora jest równe SEM
baterii, tj.
U  E  5V .
Ładunek jaki przepłynął na okładki kondensatora wynosi
Q   r C 0U  10 2  10 10  5  5  10 8 C .
Średnia wartość natężenia prądu ładującego kondensator
Q 5  10 8
I śr  
 5  10 3 A  5 mA .
5
t
10
(Dodatkowe wyjaśnienie: takie natężenie prądu powinno zapewniać stałoprądowe źródło
prądu, aby naładować kondensator w czasie t ładunkiem Q.)
Praca baterii zawiera dwa składniki:
Wbaterii  WC  WR ,
gdzie: WC energia związana z przeniesieniem ładunków elektrycznych na okładki
kondensatora oraz WR energia związana z wydzieleniem ciepła na oporniku. Zatem
1
WC   r C0U 2  0,5  10 2  10 10  5 2  1,25  10 7 J ,
2

WR  RIśr2 t  103  5  10 3
Odp. Wbaterii = 3,75·10-7 J.

2
 105  2,5  107 J .
b) Kondensator z przesuniętym dielektrykiem jest równoważny, pod względem elektrycznym,
dwóm kondensatorom połączonym równolegle, jak na poniższym rysunku.
Zatem
x
l-x
C1
C2
l  x l ,
xl
  0 r
d
d
x
lx
C x   C0   r C0
.
l
l
C x   C1  C 2   0
Odp.
C x 
x
  r  1   r , wykres: odcinek o końcach w punktach (0, r) i (l, 1).
C0
l
c) Odp. Przy otwartym kluczu ładunek swobodny na okładkach kondensatora nie zmienia się.
 r 1 x
r l
Q
.
Q  0 , U x  
U  U
 r 1 x
C x 
1
r l
d) Pracę wykonaną przez siłę działającą na dielektryk, w czasie usuwania tego dielektryka z
kondensatora, można „odnaleźć” w zwiększonej energii kondensatora, tj.
1 Q2 1 Q2
W

 WC  r  1  1,25  10 7  99  1,25  10 5 J
2 C0 2  r C0
Odp. Fśr 
W 1,25  10 5

 1,25  10  4 N .
l
0,1
e) Odp. TAK, ponieważ klucz jest zamknięty, to część ładunku swobodnego z okładek
kondensatora „wróci” do baterii. Natomiast napięcie na okładkach kondensatora jest stałe.