Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Lista rozwiązań zadań nr 17, grupa zaawansowana (6.03.2010)
O izometriach
Zakładamy elementarną wiedzę o izometriach, którą uczniowie otrzymali w szkole. Wprowadzimy oznaczenia: P – płaszczyzna, symbolem I oznaczymy izometrię,
dużymi literami punkty płaszczyzny – A, B, C, . . . Zazwyczaj obraz punktu A przez
izometrię oznaczać będziemy I(A) = A′ .
Izometrią nazywamy przekształcenie I płaszczyzny P na siebie takie, że dla dowolnych punktów A, B tej płaszczyzny odległości A i B są takie same, jak odległości
ich obrazów, tzn.
|A′ B ′ | = |I(A)I(B)| = |AB|.
Czytelnik zapozna się z podstawowymi własnościami izometrii opisanymi w zadaniach 1, 2, 3, 4 grupy podstawowej.
Punktem stałym izometrii I nazywamy każdy punkt A płaszczyzny P taki, że A′ =
I(A) = A.
1. Udowodnić, że jeżeli A, B są różnymi punktami stałymi izometrii I, to każdy
punkt prostej AB jest punktem stałym izometrii I.
Rozwiązanie. Niech O będzie dowolnym punktem prostej AB. Ponieważ A′ =
A i B ′ = B, to punkt C ′ = I(C) leży na prostej AB (obrazem prostej AB jest
prosta przechodząca przez A′ , B ′ ). Zauważmy, że |AC ′ | = |AC| i |BC ′ | = |BC|,
więc C = C ′ , co dowodzi, że punkt C jest punktem stałym izometrii I.
2. Jeżeli niewspółliniowe punkty A, B, C są punktami stałymi izometrii I, to każdy
punkt płaszczyzny P jest punktem stałym izometrii I, tzn. I jest izometrią
tożsamościową.
Rozwiązanie. Z zadania 1 wynika, że każdy punkt należący do którejkolwiek
z prostych AB, AC, BC, jest punktem stałym izometrii I.
1
C
B
A
Niech X będzie punktem, który nie leży na żadnej z tych prostych. Przez X
poprowadźmy prostą tak, by przecięła się ona z dwiema z tych prostych w
różnych punktach. Wówczas każdy punkt poprowadzonej prostej jest stały, a
więc X jest punktem stałym izometrii I.
Wniosek. Zbiorami punktów stałych izometrii I mogą być jedynie: zbiór pusty
(np. dla przesunięcia o wektor niezerowy), zbiór jednopunktowy (obrót o kąt
niezerowy), prosta (np. dla symetrii osiowej), płaszczyzna (dla tożsamości).
3. Jeżeli dla pewnej trójki niewspółliniowych punktów A, B, C i pewnych izometrii
I1 , I2 zachodzą równości
I1 (A) = I2 (A)
I1 (B) = I2 (B)
I1 (C) = I2 (C),
to I1 = I2 , tzn. I1 (X) = I2 (X) dla każdego punktu X z płaszczyzny P.
Rozwiązanie. Rozważmy przekształcenie I2−1 ◦ I1 . Zauważmy, że jest ono izometrią oraz, że punkty A, B, C są jej punktami stałymi. Na mocy zadania 2
przekształcenie I2−1 ◦ I1 jest tożsamością (oznaczmy ją 1P ), tzn.
I2−1 ◦ I1 = 1P .
Stąd
I2 = I2 ◦ 1P = I2 ◦ (I2−1 ◦ I1 ) = (I2 ◦ I2−1 ) ◦ I1 = 1P ◦ I1 = I1 ,
co należało udowodnić. W tym łańcuchu równości skorzystaliśmy z własności
składania przekształceń.
Wniosek. Każda izometria jest w pełni opisana przez swoje wartości na trójce
niewspółliniowych punktów.
Zajmiemy się opisem izometrii przy pomocy symetrii osiowych.
4. Jeśli punkty A, B, gdzie A 6= B, są punktami stałymi izometrii I, to I jest
tożsamością lub symetrią osiową.
Rozwiązanie. Niech I nie będzie tożsamością. Zatem istnieje punkt C taki,
że C ′ = I(C) 6= C. Oczywiście punkt C nie leży na prostej AB (wszystkie
2
punkty tej prostej są punktami stałymi). Niech c będzie symetralną odcinka
CC ′ . Ponieważ
|AC ′ | = |AC| i |BC ′ | = |BC|,
więc punkty A i B leżą na prostej c (każdy z nich ma tę samą odległość od C
i C ′ ).
Rozważmy izometrię Sc ◦ I, gdzie Sc oznacza symetrię osiową o osi c.
Zauważmy, że
(Sc ◦ I)(A) = Sc (I(A)) = Sc (A) = A
(Sc ◦ I)(B) = Sc (I(B)) = Sc (B) = B
(Sc ◦ I)(C) = Sc (I(C)) = Sc (C ′ ) = C,
więc trójka niewspółliniowych punktów A, B, C to punkty stałe izometrii Sc ◦ I.
Zatem izometria ta jest tożsamością, tzn. Sc ◦ I = 1P . Stąd
Sc = Sc ◦ 1P = Sc ◦ (Sc ◦ I) = (Sc ◦ Sc ) ◦ I = 1P ◦ I = I,
co kończy rozwiązanie zadania.
5. Jeżeli punkt A jest punktem stałym izometrii I, to I jest tożsamością lub symetrią osiową, lub złożeniem dwóch symetrii osiowych.
Rozwiązanie. Niech I nie będzie tożsamością. Istnieje punkt B różny od A
taki, że B ′ = I(B) 6= B. Niech b będzie symetralną odcinka BB ′ . Punkt A leży
na symetralnej b.
Rozważmy izometrię Sb ◦ I. Łatwo sprawdzamy, że punkty A i B są punktami
stałymi izometrii Sb ◦ I. Zatem (zad. 4) mamy
Sb ◦ I = 1P lub Sb ◦ I = Sc .
Stąd łatwo uzyskujemy, że I = Sb lub I = Sb ◦ Sc , co kończy rozwiązanie.
6. Twierdzenie strukturalne o izometriach. Każda izometria jest tożsamością
lub symetrią osiową, lub złożeniem dwóch bądź trzech symetrii osiowych.
Rozwiązanie. Niech I będzie izometrią, która nie jest tożsamością. Wówczas
istnieje punkt A taki, że A′ = I(A) =6= A. Niech a będzie symetralną odcinka
AA′ . Rozważmy izometrię Sa ◦ I. Na mocy zadania 5 mamy
Sa ◦ I = 1P lub Sa ◦ I = Sb , lub Sa ◦ I = Sb ◦ Sc .
Stąd wyliczając I otrzymujemy
I = Sa lub I = Sa ◦ Sb , lub I = Sa ◦ Sb ◦ Sc ,
co kończy rozwiązanie.
3
7. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Niech K, L, M, N będą odpowiednio
środkami boków AB, BC, CD, DA. Przez każdy z tych punktów prowadzimy
prostą prostopadłą do przeciwległego boku. Pokazać, że proste te przecinają
się w jednym punkcie.
Rozwiązanie. Niech ABCD będzie czworokątem wpisanym w okrąg o środku
O. Ponieważ K, L, M, N są środkami boków czworokąta ABCD, więc KLMN
jest równoległobokiem. Niech P będzie punktem przecięcia przekątnych KM
i LN. Przez SP oznaczmy symetrię środkową o środku P . Przez k, l, m, n
oznaczmy proste, o których mowa w treści zadania.
k
C
M
D
O
L
N
P
l
K
A
B
Zauważmy, że SP (K) = M i k ′ = SP (k) k k. Ponieważ k ⊥ CD, więc k ′ ⊥ CD.
Ponadto M = SP (K) ∈ k ′ . Zatem k ′ jest symetralną boku CD. Podobnie uzasadniamy, że l′ = SP (l), m′ = SP (m), n′ = SP (n) są symetralnymi odpowiednio
boków AD, AB i BC. Proste k ′ , l′ , m′ , n′ przechodzą przez punkt O – środek
okręgu opisanego na ABCD. Stąd SP (O) będzie punktem wspólnym prostych
k, l, m, n.
8. (Zadanie domowe.) Opisać izometrie będące złożeniemami dwóch lub trzech
symetrii osiowych.
Literatura.
1) Z. Krygowska, Geometria dla kl. I, PZWS, W-wa 1971.
2) A. Choquet, O nauczaniu geometrii, PZWS, W-wa.
4