mały statek

ISSN 1733-8670
ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83)
AKADEMII MORSKIEJ
W SZCZECINIE
IV MIĘDZYNARODOWA KONFERENCJA NAUKOWO-TECHNICZNA
E X P L O-S H I P 2 0 0 6
Włodzimierz Filipowicz
Wybór trasy statku w warunkach rozmytych
Słowa kluczowe: wielokryterialne decyzje, wartości rozmyte, zmienne lingwistyczne,
inżynieria ruchu
Przejście przez ograniczony rejon żeglugowy wiąże się z wyborem trasy lub też
z decyzją o opóźnieniu czasu przejścia. Jest to decyzyjny wielokryterialny problem.
Wśród ważnych subiektywnych parametrów są warunki, jakie statek spotyka w rejonach
skrzyżowań lub połączeń tras. Prognoza dla konkretnego rejonu wymaga posługiwania
się przybliżonymi ocenami oraz korzystania z wartości rozmytych. Arytmetyka wartości
rozmytych to zbiór operacji na przedziałach. Oprócz typowych działań jak dodawanie
czy mnożenie, dostępne są metody porównywania takich wielkości. Pozwala to na wykorzystanie rozszerzonych wersji popularnych środowisk budowy hierarchii.
Ship’s Routing in a Fuzzy Environment
Key words: multicriteria decisions, fuzzy values, linguistic variables, traffic engineering
Passing a restricted area the ship’s master has to select one of the alternative
routes or decide on a delayed passage. Among important imprecise and subjective values are congestions encountered within the regions including route crossings or junctions. To foresee traffic within a confined area the decision maker has to cope with imprecision and to use fuzzy numbers. Fuzziness is expressed by intervals. Interval arithmetic embraces typical operations such as addition or multiplication, but also enables
the selection of possibility level as well as the comparison of such values. Consequently,
extended popular hierarchy builders can be used for the selection of the best option.
73
Włodzimierz Filipowicz
Wprowadzenie
W inżynierii ruchu można wskazać trzy podstawowe problemy, których
rozwiązanie wymaga zaangażowania zaawansowanych technik numerycznych.
Są to: wybór trasy dla konkretnego rejsu, wskazanie najlepszej marszruty dla
pojedynczego statku przechodzącego przez ograniczony rejon, czy wreszcie
przyporządkowanie tras poszczególnym jednostkom przepływającym w określonym przedziale czasu przez pewien obszar.
Wybór trasy przejścia statku realizowany przez kapitana jest podobny do
problemu operatora stacji VTS, który jest proszony o wskazanie najlepszej marszruty przejścia przez dany, najczęściej ograniczony rejon. Zakres posiadanej
wiedzy na temat napotkanych warunków żeglugi jest jednak w obydwu przypadkach bardzo różny. Operator VTS dysponuje danymi, które z różnych przyczyn nie są przynajmniej na razie bezpośrednio dostępne kapitanowi. Obowiązujące systemy składania meldunków dotyczących zamiarów poszczególnych jednostek są źródłem wiedzy, której wykorzystanie praktyczne jest znikome. Jest to
niestety wiedza, gdzie przypuszczenia i nieścisłości dominują nad konkretami.
Dotyczy to zwłaszcza momentów czasu, ale także, choć w coraz mniejszym
stopniu, pozycji. Do pewnego stopnia poprawa takiego stanu rzeczy możliwa
będzie dzięki odpowiedniemu wykorzystaniu systemu automatycznej identyfikacji AIS.
W każdym ograniczonym rejonie żeglugowym występują skrzyżowania czy
połączenia tras, gdzie z jednej strony istnieje duża szansa napotkania innych
statków i wystąpienia ryzyka nadmiernego zbliżenia, z drugiej zaś wykonanie
manewru antykolizyjnego jest przeważnie utrudnione. Potocznie rozumiana
trudność przejścia przez akwen wiąże się bezpośrednio z liczbą statków spotkanych w newralgicznych punktach i z ewentualnymi koniecznościami wykonania
manewrów uniknięcia kolizji. Zasada im mniej tym lepiej jest tu oczywista,
w związku z tym podejmujący decyzję o trasie i czasie przejścia powinien posiadać dostęp do wszelkich danych, które pozwolą mu na sporządzenie odpowiednich prognoz dotyczących ruchu w najważniejszych obszarach. Najlepiej
poinformowany jest operator VTS, do którego powinny spływać wszystkie raporty dotyczące ruchu, jak też danych poszczególnych jednostek, w tym też ich
ładunku. Dane takie są nieprecyzyjne stąd wszelkie decyzje związane z ruchem
jednostek, w tym także wskazówki czy zalecenia adresowane do przepływających statków, muszą być oparte na nieprecyzyjnych danych. Krótkie przedstawienie wielkości rozmytych oraz prezentacja przykładu korzystającego z takich
wielkości są celem tego opracowania. Przykład przedstawia wielokryterialny
wybór najlepszej trasy przejścia.
74
Wybór trasy statku w warunkach rozmytych
1. Wartości rozmyte
Większość złożonych problemów trudno jest analizować precyzyjnie. Wiedza w skomplikowanych przypadkach daje się opisać w sposób zawierający
elementy niepewności. Zdanie typu „jeśli zapowiadany duży statek z ładunkiem
niebezpiecznym przypłynie zgodnie z zapowiedzią, to na skrzyżowaniu tras
w rejonie boi X spotka on zbyt dużo innych jednostek, spowoduje to zwiększenie ryzyka kolizji powyżej akceptowanego poziomu”, zawiera wiele nieprecyzyjnych i wymagających dodatkowego wyjaśnienia wyrażeń. Należy chociażby
wyjaśnić, co to jest akceptowalny poziom ryzyka, czy nawet co tak naprawdę
oznacza „duży statek” albo „zbyt dużo innych jednostek”.
Wielkości rozmyte pozwalają opisywać niepewność lingwistyczną. W praktyce spotyka się różnego typu niepewności, należą do nich: niepewność stochastyczna, pomiarowa, informacyjna oraz lingwistyczna. Każda z nich wymaga
stosowania innego aparatu formalnego. Zastosowanie mają: statystyka, rachunek
prawdopodobieństwa, eksploracja danych oraz, w przypadku niepewności lingwistycznej, logika rozmyta. Dotyczy to systemów rozmytych, które obejmują:
matematykę zbiorów, rozmytą reprezentację i przetwarzanie wiedzy, uczenie
funkcji przynależności i reguł logicznych na podstawie dostępnych danych
a także metody sterowania rozmytego.
Zbiory rozmyte opisują funkcje charakterystyczne zwane też funkcjami
przynależności. Mają one postać trójkąta lub trapezu o wysokości równej jeden.
W szczególnym przypadku tak zwanego singletonu, funkcja przybiera postać
jednostkowego odcinka. W funkcji w postaci trójkąta i trapezu zastosowanie
mają takie pojęcia jak: baza, jądro i -cięcie.
Każdą wartość rozmytą, w tym także jej α-cięcie można przedstawić w postaci zakresu wartości A określonego formułą (1), przy czym A1 , Au wyznaczają odpowiednio dolną i górną granicę przedziału:

A  A1 , Au

(1)
Operacje arytmetyczne dla dwóch rozmytych argumentów Aα oraz Bα wyrażają się poprzez działania na ich wartościach granicznych, dla przykładu wynik
dodawania jest przedziałem o granicach określonych formułą (2). Odejmowanie,
mnożenie i dzielenie (pod warunkiem spełnienia stosownych ograniczeń) przebiega podobnie:

A  B  A1  B1 , Au  Bu

(2)
75
Włodzimierz Filipowicz
1.1. Porównywanie wartości rozmytych
Istnieje wiele metod porównania dwóch wielkości przedziałowych. Żadna
z nich nie jest na tyle uniwersalna, że mogłaby nadawać się do wszystkich przypadków. Często do celów porównawczych przeprowadza się konwersję wartości
przedziałowej do pojedynczej liczby rzeczywistej. Działanie takie nazywa się
popularnie defuzyfikacją. Polega ono, na przykład, na całkowaniu funkcji przynależności. Oblicza się średnią wartość powierzchni ograniczonych lewą i prawą stroną tej funkcji (rys. 1). Opisane podejście, zaproponowane zostało przez
Kaufmana w 1991 roku, jest dość uniwersalne i stosowane w popularnych środowiskach budowy hierarchii. Przykładem takiego systemu jest rozszerzony
TOPSIS (Chu 2003, Szłapczyńska 2005). Koncepcja TOPSIS oparta jest na
kalkulacjach odległości od rozwiązania idealnego, stąd jej nazwa Technique for
Order Preferences by Similarity to Ideal Solution. System zawierający moduł
operowania na wartościach przedziałowych opracowano w Katedrze Podstaw
Informatyki Akademii Morskiej w Gdyni. Defuzyfikacja, dzięki której wielkości
rozmyte zamienia się na pojedyncze liczby rzeczywiste, przeprowadzana jest
w ostatniej fazie obliczeń.
1.2. Rozmyte współczynniki bezpieczeństwa
Często w praktyce występuje konieczność klasyfikacji statków morskich.
Klasyfikacja dokonywana jest przeważnie z uwzględnieniem tonażu statku oraz
rodzaju przewożonego ładunku.
W literaturze można spotkać różne propozycje w tym zakresie. Warto
wspomnieć o koncepcji autora (Filipowicz 2003, 2004) związanej z wprowadzeniem tak zwanych współczynników bezpieczeństwa (angielskie Safety Factor (SF)). Współczynniki takie to arbitralnie określane wartości z przedziału [1,
10]. Ich wartość rośnie wraz z wielkością jednostki oraz ze zwiększaniem stopnia zagrożenia wynikającego z przewożonego ładunku.
Współczynniki zmieniają się w ten sposób, że im wyższa ich wartość tym
poważniejsze, szeroko rozumiane konsekwencje ewentualnego wypadku. Mała
wartość współczynnika odpowiada niewielkim jednostkom pod balastem lub
z obojętnym dla środowiska ładunkiem. Największe wartości zarezerwowano
dla dużych jednostek z bardzo niebezpiecznym ładunkiem (na przykład VLCC –
Very Large Crude Carrier).
Ponieważ pojęcia mały, duży, tak jak i niebezpieczny, czy bardzo niebezpieczny zawierają niepewność lingwistyczną, to naturalne jest zastosowanie
wartości rozmytych. Tabela 1 zawiera propozycję nowej klasyfikacji statków
morskich, przedstawione współczynniki odpowiadają trójkątnym wartościom
rozmytym. Jej podstawą jest wyróżnienie trzech grup wielkości jednostek: mała,
średnia oraz duża a także czterech grup ładunków: obojętny, umiarkowanie nie76
Wybór trasy statku w warunkach rozmytych
bezpieczny, niebezpieczny i bardzo niebezpieczny. W ostatecznej postaci klasyfikacji uwzględniono przewagę wielkości tonażu nad rodzajem ładunku.
Na przykład duży statek z ładunkiem obojętnym ma współczynnik wyższy
od małego statku załadowanego umiarkowanie niebezpiecznym towarem.
Tabela 1
Proponowane rozmyte wartości współczynników bezpieczeństwa
Suggested fuzzy safety factors
Lp.
Rodzaj statku
Rozmyty SF
1.
Mała jednostka bez ładunku niebezpiecznego (S)
2.
Średnia jednostka bez ładunku niebezpiecznego (M)
3.
Mała jednostka z umiarkowanie niebezpiecznym ładunkiem (S&MD)
(1/11, 2/11, 3/11)
4.
Duży statek bez ładunku niebezpiecznego (L)
(2/11, 3/11, 4/11)
5.
Średnia jednostka z umiarkowanie niebezpiecznym ładunkiem (M&MD)
(3/11, 4/11, 5/11)
6.
Mały statek z ładunkiem niebezpiecznym (S&D)
(4/11, 5/11, 6/11)
7.
Duży statek z umiarkowanie niebezpiecznym ładunkiem (L&MD)
(5/11, 6/11, 7/11)
8.
Średni statek z ładunkiem niebezpiecznym (M&D)
(6/11, 7/11, 8/11)
9.
Mały statek z ładunkiem bardzo niebezpiecznym (S&VD)
(7/11, 8/11, 9/11)
10. Duży statek z ładunkiem niebezpiecznym (L&D)
11. Średni statek z ładunkiem bardzo niebezpiecznym (M&VD)
12. Duży statek z ładunkiem bardzo niebezpiecznym (L&VD)
(0, 0, 1/11)
(0, 1/11, 2/11)
(8/11, 9/11, 10/11)
(9/11, 10/11, 1)
(10/11, 1, 1)
1.3. Rozmyta ocena sytuacji w rejonie skrzyżowania tras
Obecność statku w obszarze skrzyżowania tras jest wartością rozmytą ograniczoną najwcześniejszym momentem wejścia i najpóźniejszym możliwym
momentem wyjścia. Formalnie obecność można opisać za pomocą trapezowej
funkcji przynależności (rys. 1). Stopień obecności (przynależności) określa,
w pewnym sensie, prawdopodobieństwo, że dana jednostka jest rzeczywiście
w danym obszarze. Funkcja przynależności nie jest jednak rozkładem prawdopodobieństwa. W ogólności nie musi spełniać wymagania, aby całka takiej
funkcji była równa 1.
Ocena sytuacji nawigacyjnej w rejonie skrzyżowania tras może polegać na
wyznaczeniu największej liczby statków jednocześnie obecnych w takim obszarze. Wiele teoretycznych modeli bezpośrednio uzależnia ryzyko kolizji od liczby
jednostek znajdujących się w bezpośrednim sąsiedztwie. Zamiast liczby statków, stosuje się też największą zaobserwowaną sumę współczynników bezpie77
Włodzimierz Filipowicz
czeństwa (Filipowicz 2003). W rozważanych warunkach obliczenie takiej sumy
wiąże się z wykorzystaniem rozmytych współczynników bezpieczeństwa oraz
trapezowej funkcji obecności w danym obszarze. Kalkulacje należy przeprowadzić skanując odpowiedni horyzont czasowy.
statek
S1
fS1(tm)=0.3
A lS 1
S2
A u S 1
fS1(t)

A u S 1
fS2L(t)
fS2R(t)
fS2(t)
AlL
AlE
AuL
AuE
fS3(t)
S3
S4
fS4(t)
czas
tm
Rys. 1. Obecności statków na pewnym obszarze opisane trapezowymi funkcjami przynależności:
A1 Si , Au Si – granice przedziału czasu obecności statku Si na danym obszarze dla poziomu przynależności ; fSiR(t), fSiR(t) – lewe i prawe ograniczenie funkcji przynależności dla statku Si; fSi (t) –
funkcja przynależności dla statku Si; AlE, AlL – najwcześniejszy i najpóźniejszy moment wejścia
do danego rejonu; AuE, AuL – najwcześniejszy, najpóźniejszy moment opuszczenia obszaru
Fig. 1. Vessels presence within an area are trapezoid fuzzy values
Tabela 2
Obliczenie sumy współczynników bezpieczeństwa
Calculation of a sum of safety factors
Statek
Rodzaj statku
Współczynnik SF
Funkcja (fSi(tm))
Iloczyn SF·fSi(tm)
S1
S&D
(4/11, 5/11, 6/11)
0.3
(rys. 1)
(1,2/11, 1,5/11, 1,8/11)
S2
L&D
(8/11, 9/11, 10/11)
1
(8/11, 9/11, 10/11)
S3
S&MD
(1/11, 2/11, 3/11)
0
(0/11, 0/11, 0/11)
S4
M
(0, 1/11, 2/11)
1
(0, 1/11, 2/11)
Razem
(9/11, 11,5/11, 13,8/11)
Na rysunku 1 pokazano przykładową sytuację dla pewnego rejonu. Największą sumę współczynników wyznaczono w momencie tm. Wtedy to S1 czyli
mały statek z ładunkiem niebezpiecznym będzie wychodził z rejonu. Duża jednostka S2 z ładunkiem niebezpiecznym będzie go w tym momencie opuszczała.
Wejście małego frachtowca S3 z umiarkowanie niebezpiecznym ładunkiem jest
oczekiwane w krótkim horyzoncie czasowym. W środku obszaru znajduje się
78
Wybór trasy statku w warunkach rozmytych
średnia jednostka pod balastem oznaczona jako S4. Wartości funkcji przynależności oraz przykładową kalkulację rozmytej sumy współczynników pokazano
w tabeli 2.
2. Przykład
Jako przykład rozważony zostanie przypadek wielokryterialnego problemu
decyzyjnego związanego ze wskazaniem najlepszej trasy przejścia dla pewnego
statku. Podejmujący decyzję, przypuszczalnie będzie to operator VTS, jest proszony o zaproponowanie najlepszej trasy, biorąc pod uwagę swoją wiedzę odnośnie planowanych przejść innych jednostek a także swoje doświadczenie, jak też
lokalne warunki i preferencje.
R6
6
5
R7
4
R1
3
R2
R5
R3
R4
1
2
Rys. 2. Przykładowy system tras
Fig. 2. System of routes
Przykładowy układ tras w rejonie pokazano na rysunku 2. Idący kursem
zbliżonym do północnego statek proszący o poradę, znajduje się na zaznaczonej
pozycji na dole ilustracji. Może on skorzystać z jednej z pięciu tras oznakowanych odpowiednio: R1, R2, …, R5. W systemie znajdują się rejony skrzyżowań
i złączeń torów wodnych ponumerowane od 1 do 6. Z powodu naturalnych
ograniczeń wykonanie manewru antykolizyjnego w rejonach od 3 do 6 jest raczej utrudnione. Obszary te są w związku z tym traktowane jako miejsca podwyższonego ryzyka. Z tego powodu sumy współczynników bezpieczeństwa
wszystkich napotkanych tam statków powinny być w zestawie kryteriów rozważanych podczas podejmowania decyzji o wyborze wariantu przejścia. Biorąc
pod uwagę planowany ruch największa suma współczynników SF została skalkulowana dla każdego obszaru zgodnie z metodą przedstawioną na rysunku 1.
Przyjęto też dodatkowe założenia:
79
Włodzimierz Filipowicz
– statki, będące w fazie opuszczania rejonu nie zostały uwzględnione podczas kalkulacji;
– kalkulacje ograniczono do fazy wejścia (narastające zbocze funkcji
przynależności) oraz okresu przebywania w rejonie (jądro funkcji przynależności) rozważanego statku.
Prognozowane dane zebrano w tabeli 3. W poszczególnych kolumnach,
oznaczonych jako Rejon 3, ..., Rejon 6, pokazano inne jednostki, jakie dany statek spotka podczas swego przejścia przez poszczególne obszary. Podano też
poziomy możliwości wystąpienia każdego przypadku. Na przykład zapis S&D
f = 0,3 oznacza, że do rejonu będzie wchodził mały statek z ładunkiem niebezpiecznym, jego poziom obecności oceniono na 0,3. Wartość zerowa w tabeli
oznacza, że albo dany rejon nie jest na trasie lub prognoza nie przewiduje napotkania innych jednostek.
Oprócz charakterystyki poszczególnych rejonów w tabeli podano subiektywną ocenę jakości trasy dla danego statku (QR) oraz całkowity czas przejścia
(TPT) jako dodatkowe kryteria.
Trasy oceniano stosując skalę: rekomendowana, bardzo dobra, dobra, wystarczająca i dostateczna. Dla rozważanego przypadku oceny poszczególnych
tras były następujące: R1 – wystarczająca (F), R2 – rekomendowana (R), R3 –
dobra (G), R4 – bardzo dobra (VG) i ostatnia R5 oceniona została jako wystarczająca (F).
Rozważany statek mógł bezpośrednio skierować się na odpowiednią trasę
lub też opóźnić swoje przejście o 30 minut. W ten sposób liczba opcji zwiększona została do 10. Charakterystyki wariantów bez opóźnienia umieszczono
w tabeli 4 w wierszach R1, R2, ..., R5, opóźnionych zaś w wierszach opisanych
za pomocą DR1, DR2, …, DR5.
W ostatniej zacieniowanej kolumnie tabeli 3 pokazano ranking poszczególnych opcji. Subiektywne oceny poszczególnych kryterów oparte były na skali:
bardzo ważne, ważne, dość ważne i mniej ważne. Dla poszczególnych atrybutów przyjęto: Rejon 3 – bardzo ważny, Rejon 4 – ważny, Rejon 5 – ważny, Rejon
6 – bardzo ważny, jakość trasy (QR) – ważna a całkowity czas przejścia (TPT)
potraktowano jako mało istotny parametr.
Z danych zawartych w ostatniej kolumnie wynika, że statek zainteresowany
wyborem najlepszej drogi powinien opóźnić swoje przejście o 30 minut i skorzystać z dobrej dla niego trasy R3.
Podsumowanie
W artykule przedstawiono jeden z problemów, przed jakim może stanąć
operator VTS. Przygotowanie zalecenia, co do przejścia statku przez ograniczony rejon, jest wielokryterialnym problemem decyzyjnym. Zakres kryteriów
80
Wybór trasy statku w warunkach rozmytych
obejmuje ocenę trasy, czas przejścia, jak też sytuacje napotkane w obszarach
skrzyżowań i złączeń tras, gdzie wykonanie manewru antykolizyjnego związane
jest z pewnym dodatkowym ryzykiem.
Tabela 3
0
S&D/f = 0,8
M&D/f = 0,5
0
F
235
0,540/4
R2
S&D/f = 0,3
S&VD/f = 0,9
L&MD/f = 1
S&D/f = 0,8
M&D/f = 0,9
0
S&D/f = 0,8
M&D/f = 0,9
S&D/f = 0,8
R
250
0,461/7
R3
S&D/f = 0,8
S&VD/f = 1
L&MD/f = 1
0
S&D/f = 0,8
S&VD/f = 1
0
G
250
0,560/3
R4
S&D/f = 0,8
S&VD/f = 1
L&MD/f = 1
S&D/f = 1
M&D/f = 0,7
0
S&D/f = 1
M&D/f = 0,7
S&D/f = 1
VG
270
0,393/9
R5
0
S&D/f = 1
M&D/f = 0,8
0
S&D/f = 1
M&D/f = 0,8
S&D/f = 1
F
265
0,484/6
DR1
S&VD/f = 0,3
M&VD/f = 1
0
S&D/f = 0,8
M&D/f = 0,5
0
F
265
0,562/2
DR2
S&VD/f = 0,3
M&VD/f = 1
S&VD/f = 0,3
M&D/f = 1
0
S&VD/f = 0,3
L&D/f = 1
R
280
0,511/5
DR3
L&D/f = 0,7
M&MD/f =
0,9
0
S&D/f = 0,8
S&VD/f = 1
L&D/f = 0,7
0
G
280
0,586/1
DR4
L&D/f = 0,7
M&MD/f = 0,9
S&VD/f = 0,3
L&D/f = 1
L&D/f = 0,7
0
S&VD/f = 0,3
L&D/f = 1
L&D/f = 0,7
VG
300
0,337/10
DR5
0
S&VD/f = 0,3
L&D/f = 1
L&D/f = 0,95
0
S&VD/f = 0,5
L&D/f = 0,95
L&D/f = 0,85
F
295
0,403/8
Ranking
QR
S&D/f = 0,3
S&VD/f = 0,9
L&MD/f = 1
TPT
Rejon 6
Rejon 5
Rejon 4
R1
Opcja
Rejon 3
Charakterystyka dziesięciu możliwych scenariuszy napotkanych podczas przejścia
przykładowego statku przez rejon ograniczony
Characteristics of ten possible scenarios encountered by a vessel sailing in a restricted area
81
Włodzimierz Filipowicz
Ponieważ część kryteriów jest subiektywna, a tym samym mało precyzyjna,
podejmujący decyzję musi sięgnąć do odpowiedniego aparatu formalnego. Brak
precyzji wynika z niepewności lingwistycznej i może być opisana poprzez wartości przedziałowe. Liczby rozmyte pozwalają opisywać niepewność językową.
Dzięki dostępnej arytmetyce, możliwe jest zbudowanie hierarchii wśród wartości przybliżonych z wykorzystaniem szeroko stosowanych środowisk. System
TOPSIS jest przykładem takiego środowiska, dodatkowo wzbogacony o moduł
operowania na liczbach rozmytych jest uniwersalnym narzędziem.
Wielkości rozmyte mogą być również wykorzystane do celów klasyfikacji
jednostek morskich, jak też i do oceny kongestii w obszarach o podwyższonym
ryzyku wypadku.
Literatura
1.
2.
3.
4.
5.
Chu T.C., Lin Y.C. (2003), A Fuzzy TOPSIS Method for Robot Selection,
The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, Springer.
Filipowicz Wł. (2003), Minimizing Risk Probability For Vessels Traffic
Control – Proceedings of the 3rd International Conference TST’ 03
Transport Systems Telematics, Katowice, pp. 111-120.
Filipowicz Wł. (2004), Vessels Traffic Control Problems, Journal of Navigation vol. 57/1, London, pp. 15-24.
Kaufmann A., Gupta M. (1991), Introduction to fuzzy arithmetic: theory
and application, Van Nostrand Reinhold, New York.
Szłapczyńska J. (2005), Fuzzy TOPSIS jako metoda rozwiązywania wielokryterialnych problemów decyzyjnych w zastosowaniach nawigacyjnych,
Prace Wydziału Nawigacyjnego Akademii Morskiej w Gdyni, nr 17/ pp.
180-192.
Wpłynęło do redakcji w lutym 2006 r.
Recenzent
dr hab. inż. Zbigniew Pietrzykowski, prof. AM w Szczecinie
Adres Autora
dr hab. inż. Włodzimierz Filipowicz, prof. AM w Gdyni
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Podstaw Informatyki i Sieci Komputerowych
81-225 Gdynia, ul. Morska 81/83
[email protected]
82