Plan zajęć

dr Maciej Grzesiak
Plan wykładu algebry dla teleinformatyki (30 h)
1. Ciała liczbowe, rola ciała Q. Ogólne pojęcie ciała, ciała skończone i arytmetyka mod p.
Konstrukcja Hamiltona.
2. Postać trygonometryczna liczby zespolonej, wzór Moivre’a. Pierwiastki i rozwiązywanie
równań. Zasadnicze twierdzenie algebry.
3. Postać wykładnicza liczby zespolonej. Wzory Eulera. Macierze i działania na nich. Wielomiany macierzowe. Definicja wyznacznika, rozwinięcie Laplace’a.
4. Własności wyznacznika. Układy równań liniowych, twierdzenie Cramera. Wektory. Iloczyn
skalarny w geometrii.
5. Iloczyn skalarny i wektorowy. Prosta i płaszczyzna w przestrzeni.
6. Aksjomatyczna definicja przestrzeni liniowej. Podprzestrzenie. Liniowa niezależność wektorów, wymiar i baza przestrzeni. Współrzędne wektora w bazie.
7. Ogólne układy równań. Metoda eliminacji. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
Układy jednorodne.
8. Definicja przekształcenia liniowego. Macierz przekształcenia. Złożenie i przekształcenie
odwrotne. Macierz złożenia, macierz odwrotna. SPRAWDZIAN.
9. Równania macierzowe. Podprzestrzeń niezmiennicza przekształcenia liniowego. Wektor
własny i wartość własna przekształcenia i macierzy. Twierdzenie o istnieniu. Diagonalizacja
macierzy.
10. Aksjomatyczne określenie iloczynu skalarnego. Norma wektora. Ortogonalność wektorów.
Baza ortogonalna. Współrzędne wektora w bazie ortogonalnej. Macierz ortogonalna.
11. Definicja grupy. Podgrupy. Zbiory generujące, podgrupy cykliczne. Homomorfizm grup.
Grupa Sn .
12. Warstwy. Twierdzenie Lagrange’a. Dzielnik normalny i grupa ilorazowa.
13. Pierścienie. Dzielniki zera, dziedzina całkowitości, ciało. Ideały, homomorfizmy. Pierścienie ilorazowe. Pierścień wielomianów.
14. Algorytm Euklidesa. Kongruencje i twierdzenie chińskie o resztach. SPRAWDZIAN.
Plan ćwiczeń z algebry (15 h)
1. Liczby zespolone I.
2. Liczby zespolone II.
3. Macierze i wyznaczniki. Sprawdzian: liczby zespolone.
4. Przestrzenie liniowe.
5. Układy równań. Sprawdzian: macierze, wyznaczniki i przestrzenie liniowe.
6. Przekształcenia liniowe.
7. Wartości i wektory własne. Sprawdzian: przekształcenia i równania macierzowe.