POMIARY I ANALIZA NUMERYCZNA UKŁADU Z DIOD LED E32

Politechnika Białostocka
Wydział Elektryczny
Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii
Instrukcja do zaj
laboratoryjnych
Tytuł wiczenia
POMIARY I ANALIZA NUMERYCZNA
UKŁADU Z DIOD LED
Numer wiczenia
E32
Opracowanie:
Adam Id kowski
Łukasz Zaniewski
Jarosław Forenc
Białystok 2009
Spis tre ci
1. Wprowadzenie................................................................................3
2. Projektowanie obwodów nieliniowych ........................................6
2.1. Badanie elementu nieliniowego (bez rezystora) .......................6
2.2. Badanie układu z elementem nieliniowym i z rezystorem
ograniczaj cym pr d .................................................................7
2.3. Opracowanie wyników..............................................................8
2.4. Zastosowanie metody najmniejszych kwadratów do
aproksymacji diody ...................................................................9
3. Symulacja modelu elementu w programie PSpice ...................12
3.1. Przebieg wiczenia ..................................................................13
4. Pytania sprawdzaj ce..................................................................14
5. Literatura .....................................................................................14
6. Wymagania BHP .........................................................................15
Dodatek - charakterystyki diod badanych w wiczeniu ...............16
_____________
Materiały dydaktyczne przeznaczone dla studentów Wydziału Elektrycznego PB.
© Wydział Elektryczny, Politechnika Białostocka, 2009
Wszelkie prawa zastrze one. adna cz
tej publikacji nie mo e by kopiowana i
odtwarzana w jakiejkolwiek formie i przy u yciu jakichkolwiek rodków bez zgody
posiadacza praw autorskich.
ę
ś
ć
ć
ś
-2-
1. Wprowadzenie
Obwód elektryczny nazywamy nieliniowym, je eli zawiera co
najmniej jeden element nieliniowy.
Elementem
nieliniowym
nazywamy
element,
którego
prost .
charakterystyka pr dowo-napi ciowa nie jest lini
Nieliniowo charakterystyki elementu nieliniowego uwarunkowana
jest zale no ci jego rezystancji od warto ci i zwrotu pr du w tym
elemencie lub wyst puj cego na nim napi cia.
Charakterystyka elementu nieliniowego mo e by przedstawiona
w postaci jednej krzywej (dla elementu niesterowanego jakim mo e
by np. arówka, bareter, dioda pró niowa czy półprzewodnikowa)
lub rodziny krzywych - dla elementów sterowanych dodatkowym
czynnikiem steruj cym (np. lampy pró niowe wieloelektrodowe,
tranzystory).
Analiza obwodów nieliniowych jest trudniejsza z uwagi na
charakter równa
je opisuj cych. Charakterystyk nieliniow
aproksymuje si krzyw o znanym równaniu. Funkcja aproksymuj ca
powinna by nieskomplikowana, aby ułatwi obliczenia. Linearyzacja
polega na zast pieniu charakterystyki elementu nieliniowego w
otoczeniu punktu pracy lini prost . W przypadkach bardziej
ogólnych korzysta si z linearyzacji wieloodcinkowej. Brak jest
ogólnych metod analizy nieliniowej i tylko w nielicznych
przypadkach mo na znale
dokładne rozwi zanie. Zastosowanie
znajduj metody przybli one (iteracyjne, graficzne). Niekiedy
nieliniowy element równania wi e si z parametrem o małej warto ci
(metoda małego parametru). Wi kszo metod rozwi zywania równa
nieliniowych opiera si na podej ciu iteracyjnym (np.: metoda
Newtona, siecznych, relaksacji itp.).
Zale nie od rodzaju charakterystyki pr dowo-napi ciowej
rozró niamy elementy nieliniowe o charakterystyce symetrycznej
( arówka, bareter) i niesymetrycznej (dioda pró niowa, dioda
gazowana, dioda półprzewodnikowa). Na rys. 1a przedstawiona jest
charakterystyka
pr dowo-napi ciowa
arówki
z
włóknem
wolframowym, a na rys. 1b - diody półprzewodnikowej.
-3-
I
a)
I
b)
U
U
Rys. 1. Charakterystyki pr dowo-napi ciowe: (a) - arówki z włóknem
wolframowym, (b) - diody półprzewodnikowej [8].
Wszystkie elementy wyst puj ce we współczesnych układach
elektrycznych, a zwłaszcza elektronicznych, wykazuj w mniejszym
lub wi kszym stopniu wła ciwo ci nieliniowe. Posługiwanie si
poj ciem liniowo ci daje tylko przybli ony obraz rzeczywisto ci, a
stopie tego przybli enia decyduje o zastosowaniu opisu funkcj
liniow lub funkcjami nieliniowymi.
Dla elementu rezystancyjnego nieliniowego mo na mówi
o warto ci rezystancji (konduktancji) tylko w powi zaniu z
okre lonym punktem pracy na charakterystyce pr dowo-napi ciowej.
Dla ka dego punktu K charakterystyki wprowadzone s dwa poj cia:
rezystancja statyczna i rezystancja dynamiczna (rys. 2a, 2b).
a)
IK
I
b)
K
I
K
IK
β
α
α
UK
U
β
UK
U
Rys. 2. Rezystancja statyczna i rezystancja dynamiczna [8].
Rezystancj statyczn Rs elementu nieliniowego w danym punkcie K
charakterystyki nazywamy iloraz napi cia i pr du w tym punkcie:
-4-
U 
RsK =   = ms ⋅ tgα
 I K
(1)
Rezystancj dynamiczn (ró niczkow ) Rd elementu nieliniowego
w danym punkcie K charakterystyki nazywamy pochodn napi cia
wzgl dem pr du w tym punkcie:
dU
 ∆U 
RdK = lim 
=
= ms ⋅ tgβ

∆I →0 ∆I
dI

K
(2)
gdzie: ms - współczynnik skali.
Rezystancja statyczna jest zawsze dodatnia, natomiast rezystancja
dynamiczna mo e by dodatnia lub ujemna. W przypadku elementu
liniowego Rs = Rd = const. dla ka dego punktu charakterystyki.
Dla zadanego punktu charakterystyki układ nieliniowy
charakteryzuje si
równie
współczynnikiem stabilizacji k,
rozumianym jako stosunek wzgl dnych zmian wielko ci wej ciowej
do wzgl dnych zmian wielko ci na wyj ciu. Dla elementów
nieliniowych o charakterystykach jak na rys. 2 definiuje si (dla
punktu pracy K) nast puj ce współczynniki stabilizacji:
- współczynnik pr dowy
k IK
 ∆U 
 ∆U 




 U K  wej  ∆I  K RdK
=
=
=
RsK
 ∆I 
U 
 
 
 I K
 I K  wyj
(3)
- współczynnik napi ciowy
kUK
 ∆I 
U 
 
 
R
 I K  wej
 I K
=
=
= sK
RdK
 ∆U 
 ∆U 




 U K  wyj  ∆I  K
-5-
(4)
Mówimy, e element o zadanej charakterystyce stabilizuje napi cie,
gdy kU>1, czyli gdy Rs > Rd (rys. 2b.); stabilizuje pr d, gdy kI>1, czyli
gdy Rs < Rd (rys. 2a.).
2.
Projektowanie obwodów nieliniowych
Badanie elementów nieliniowych polega na rejestracji
charakterystyk pr dowo-napi ciowych. W tym celu ł czymy układ
pomiarowy według schematu podanego na rys. 3. Do zacisków
oznaczonych jako Uz podł czamy zasilacz stabilizowany.
Rys. 3. Układ pomiarowy: UZ – napi cie zasilaj ce,
mA - miliamperomierz, VD – woltomierz mierz cy napi cie na badanym
elemencie nieliniowym (D1...D4 - diody LED - czerwona, zielona, ółta, biała),
S1...S4 – przeł czniki, R – rezystor ograniczaj cy pr d,
VR – woltomierz mierz cy napi cie na rezystorze ograniczaj cym.
2.1. Badanie elementu nieliniowego (bez rezystora)
Nale y skonfigurowa
układ pomiarowy do postaci
przedstawionej na rys. 2. Prowadz cy zaj cia wybierze jeden z
elementów oznaczonych D1...D4 do dalszych bada . Przeł czenie
przeł cznika S1..S4 w prawo zał cza wybran diod LED. Zaciski
oznaczone jako VR nale y zewrze .
-6-
Rys. 4. Układ pomiarowy: UZ – zasilacz stabilizowany,
mA – miliamperomierz, VD – woltomierz cyfrowy.
Uzyskane wyniki notujemy w tabeli:
Tabela 1
Badany element nieliniowy: ........ (D1..D4)
UD [V]
I [mA]
Podczas pomiarów nie przekracza napi cia Uz=Ud=3V i pr du
I = 100 mA. Ilo punktów pomiarowych oraz krok napi cia zasilania
poda prowadz cy zaj cia.
2.2. Badanie układu z elementem nieliniowym i z
rezystorem ograniczaj cym pr d
Nale y dobra rezystor R, który ograniczy pr d w obwodzie z rys. 3.
Napi cie zasilaj ce, napi cie diody oraz pr d diody poda prowadz cy
zaj cia.
UZ = .......... V
UD = .......... V
ID = .......... mA
-7-
Obliczenia
Rezystancja obliczona:
RO = ............
Najbli sza rezystancja z szeregu E12 (10%):
R = ............
Obliczona moc rezystora:
P = ............ W
Szereg doboru rezystorów
E12 (10%) 10, 12, 15, 18, 22, 27, 33, 39, 47, 56, 68, 82
Nast pnie nale y wybrany rezystor podł czy do zacisków
oznaczonych jako R. Mierzymy napi cie i pr d na badanym elemencie
uzyskane wyniki notujemy w tabeli 2.
Tabela 2
Poł czenie szeregowe elementu nieliniowego i rezystora R=..........
UZ [V]
UD [V]
UR [V]
I [mA]
2.3. Opracowanie wyników
a) Na podstawie wyników pomiarów przeprowadzonych w punktach
2.1 i 2.2 wykona wykres zawieraj cy:
- charakterystyk elementu nieliniowego I = f(UD).
- charakterystyk ł czn (zast pcz ), I = f(UZ), szeregowego
poł czenia elementu liniowego i nieliniowego
W sprawozdaniu porówna otrzymane charakterystyki.
Uwaga: wykresy nale y wykona na
papierze milimetrowym formatu A4.
-8-
b) Wyznaczy zale no ci funkcyjne I = f(U) dla pomiarów napi i
pr dów z tabel 1 i 2 metod najmniejszych kwadratów.
c) Na podstawie pomiarów oraz zale no ci funkcyjnych
otrzymanych metod najmniejszych kwadratów skonstruowa
model diody w programie PSpice.
d) Dokona symulacji układu rezystor – model diody w PSpice i
porówna wyniki z cz ci zjawiskowej.
2.4. Zastosowanie metody najmniejszych kwadratów do
aproksymacji diody
W zagadnieniu interpolacji dla n danych punktów (xi, yi)
poszukuje si funkcji f(x) spełniaj cych w w złach interpolacji
warunek
f ( xi ) = yi ,
i = 1,2,3,..., n
(5)
w złów interpolacji
Przy interpolacji wielomianowej du a ilo
wymaga skonstruowania wielomianu wysokiego stopnia (ogólnie
n-1). Trudno wówczas wnioskowa o własno ci otrzymanej funkcji
interpolacyjnej. Dlatego te dla uzyskanych wyników pomiarów
wyznacza si zale no
mi dzy pomierzonymi wielko ciami w
postaci funkcji o znanym przebiegu. Zadanie to spełnia aproksymacja:
dla n danych par wielko ci pomiarowych (xi, yi) (i=1,2,...,n) poszukuje
si funkcji
g ( x) = a0 + a1 ⋅ x + a2 ⋅ x 2 + ... + am ⋅ x m
(6)
przy czym warunek g(xi)=yi nie musi by spełniony oraz m jest du o
mniejsze od n.
Rozwi zanie tego zagadnienia sprowadza si do wyznaczenia
współczynników a0,a1,a2,...am ró nymi metodami, z których
najbardziej rozpowszechnion jest metoda najmniejszych kwadratów.
Idea tej metody jest nast puj ca. Tworzy si funkcj
F (a0 , a1 ,..., am ) = ∑ [g ( xi , a0 , a1 ,..., a m ) − yi ]
n
2
i =1
-9-
(7)
o takich współczynnikach a0,a1,a2,...am, aby jej warto
była
minimalna, tzn., e musi by spełniony nast puj cy układ równa .
 ∂F
 ∂a = 0
 0
 ∂F = 0
 ∂a1
 M
 ∂F
=0

a
∂
 m
(8)
Podstawiaj c wyznaczone pochodne cz stkowe otrzymujemy
2 n ( a + a x + a x 2 + K + a x m − y ) = 0
0
1 i
2 i
m i
i
 ∑
i =1
 n
2∑ (a0 + a1 xi + a2 xi2 + K + am xim − yi ) ⋅ xi = 0
 i =1
M
 n
2
m
m
2∑ (a0 + a1 xi + a2 xi + K + am xi − yi ) ⋅ xi = 0
 i =1
(9)
po podzieleniu równa przez 2 i przeniesieniu wyrazów wolnych na
praw stron otrzymujemy
a n + a n x + a n x 2 + K + a n x m = n y
∑ i
1∑ i
2∑ i
m∑ i
 0
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n
n
 n
2
3
m +1
a0 ∑ xi + a1 ∑ xi + a2 ∑ xi K + am ∑ xi = ∑ xi yi
i =1
i =1
i =1
i =1
 i =n1
n
n
n
n
m+2
a x 2 + a x 3 + a x 4 K + a
= ∑ xi2 yi
0∑ i
1∑ i
2∑ i
m ∑ xi
 i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
M
 n
n
n
n
n
m
m +1
m+2
2m
a0 ∑ xi + a1 ∑ xi + a2 ∑ xi K + am ∑ xi = ∑ xim yi
 i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
(10)
układ m+1 równa o m+1 niewiadomych a0,a1,a2,...am, który mo na
rozwi za np. metod eliminacji Gaussa.
- 10 -
Mo na poszuka funkcji innych postaci, które po odpowiednich
podstawieniach sprowadz si do postaci wielomianu stopnia
pierwszego, np.:
f ( x) = a0 + a1 x 2 ,
podstawienie
u = x2
a1
,
x
podstawienie
u=
f ( x ) = a0 +
Przykład
Znale zale no
1
x
(11)
(12)
funkcyjn dla 4 pomiarów wielko ci x i y:
xi
1
2
3
4
yi
2,5
4
6,5
10
Przewidujemy funkcj
g ( x) = a0 + a 2 ⋅ x 2
(13)
u = x2 ,
(14)
która po podstawieniu
a1 = a2
przyjmie posta
g (u ) = a 0 + a1 ⋅ u
(15)
Wtedy układ równa sprowadzi si do układu 2 równa
 4a + a 4 u = 4 y
∑ i
0
1∑ i

i =1
i =1
 4
4
4
a0 ∑ ui + a1 ∑ ui2 = ∑ ui yi
 i =1
i =1
i =1
Po wstawieniu do układu warto ci sum otrzymamy
- 11 -
(16)
 4a0 + 30a1 = 23

30a0 + 354a1 = 237
(17)
a0 = 2,
(18)
st d
a1 = 0,5
oraz
g (u ) = 2 + 0,5 ⋅ u
a przewidywana zale no
(19)
ostatecznie przyjmie posta
g ( x) = 2 + 0,5 ⋅ x 2
(20)
3. Symulacja modelu elementu w programie PSpice
Program symulacyjny PSpice pozwala na wprowadzanie przez
u ytkownika własnych modeli elementów nieliniowych lub
korzystania z biblioteki typowych elementów elektronicznych, jak
diody, tranzystory, tyrystory, układy scalone i in. oraz nieliniowych
elementów obwodów elektrycznych, jak: dławik, transformator
rdzeniowy, nieliniowa indukcyjno lub pojemno .
Nieliniow rezystancj modeluje si w programie P-SPICE za
pomoc
ródła pr dowego sterowanego napi ciem (GPOLY).
Charakterystyka pr dowo-napi ciowa tego elementu jest podawana w
postaci wielomianu
I = a1U + a3U 3 + a5U 5 + ...
(21)
gdzie: a1, a2, a3, ... – współczynniki, których warto ci okre la si na
podstawie rzeczywistej charakterystyki elementu nieliniowego, zdj tej
metod pomiarow (rys. 5).
- 12 -
I
I3
I2
I1
0
U
U1 U2 U3
Rys. 5. Przykład aproksymacji charakterystyki I(U)
elementu nieliniowego na podstawie pomiarów
Współczynniki
wielomianu
aproksymuj cego
rozwi zuj c układ równa liniowych:
znajduje
si
I1 = a1U 1 + a3U 13 + a5U 15
I 2 = a1U 2 + a3U 23 + a5U 25
(22)
I 3 = a1U 3 + a3U 33 + a5U 35
Do
rozwi zania
mo na
wykorzysta
dost pny
program
matematyczny, jak np.: MATLAB, MATHEMATICA, MATHCAD,
MAPLE, itp. Podstawiaj c obliczone współczynniki wielomianu (21)
do modelu nieliniowej rezystancji GPOLY aproksymuje si
charakterystyk elementu nieliniowego w programie P-SPICE.
3.1. Przebieg wiczenia
Zamodelowa nieliniowy element o zadanej charakterystyce
I=f(Uster). Zdj jej przebieg przy pomocy postprocesora PROBE.
Schemat układu do zdejmowania charakterystyki przedstawiono na
rys. 6. Korzystaj c z analizy stałopr dowej (DC Sweep) nale y zbada
charakterystyk elementu nieliniowego, przyjmuj c napi cie Uster
zmieniaj ce si liniowo w przedziale 0÷3 V. Zbada wpływ
współczynników wielomianu (21) na kształt charakterystyki. Wnioski
poda w sprawozdaniu.
- 13 -
Rys. 6. Schemat obwodu do zdejmowania charakterystyki I= f(Uster)
elementu nieliniowego.
4. Pytania sprawdzaj ce
1. Zdefiniowa
poj cie obwodu nieliniowego i elementu
nieliniowego. Poda przykłady elementów nieliniowych i ich
charakterystyki.
2. Zastosowania elementów nieliniowych - poda przykłady.
3. Zdefiniowa poj cie rezystancji statycznej i dynamicznej.
4. Graficzne metody analizy obwodów nieliniowych pr du stałego.
5. Stabilizacja i współczynnik stabilizacji.
5. Literatura
1. Bolkowski S.: Teoria obwodów elektrycznych. WNT, Warszawa,
2008.
2. Krakowski M.: Elektrotechnika teoretyczna. Tom 1. Obwody
liniowe i nieliniowe. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa,
1999.
3. Osiowski J., Szabatin J.: Podstawy teorii obwodów. Tom I. WNT,
Warszawa, 2008.
4. Cichowska Z.: Wykłady z elektrotechniki teoretycznej. Cz
I.
Wydawnictwo Politechniki l skiej, Gliwice, 2000.
5. PSPICE by MicroSim Corporation - User's Guide, 1986
6. Por bski J., Korohoda P. - SPICE, program analizy nieliniowej
układów elektronicznych, WNT Warszawa 1992.
7. Zimny P., Karwowski K. - SPICE, klucz do elektrotechniki. Skrypt
Politechniki Gda skiej, Gda sk 1996.
8. Obwody rezystancyjne nieliniowe – instrukcja E17.
- 14 -
6. Wymagania BHP
Warunkiem przyst pienia do praktycznej realizacji wiczenia
jest zapoznanie si z instrukcj BHP i instrukcj przeciwpo arow
oraz przestrzeganie zasad w nich zawartych. Wybrane urz dzenia
dost pne na stanowisku laboratoryjnym mog posiada instrukcje
stanowiskowe. Przed rozpocz ciem pracy nale y zapozna si z
instrukcjami stanowiskowymi wskazanymi przez prowadz cego.
W trakcie zaj
laboratoryjnych nale y przestrzega
nast puj cych zasad:
• Sprawdzi , czy urz dzenia dost pne na stanowisku laboratoryjnym
s w stanie kompletnym, nie wskazuj cym na fizyczne uszkodzenie.
• Sprawdzi prawidłowo
poł cze urz dze .
• Zał czenie napi cia do układu pomiarowego mo e si odbywa po
wyra eniu zgody przez prowadz cego.
• Przyrz dy pomiarowe nale y ustawi w sposób zapewniaj cy stał
obserwacj , bez konieczno ci nachylania si
nad innymi
elementami układu znajduj cymi si pod napi ciem.
• Zabronione
jest dokonywanie jakichkolwiek przeł cze oraz
wymiana elementów składowych stanowiska pod napi ciem.
• Zmiana konfiguracji stanowiska i poł cze
w badanym układzie
mo e si odbywa wył cznie w porozumieniu z prowadz cym
zaj cia.
• W przypadku zaniku napi cia zasilaj cego nale y niezwłocznie
wył czy wszystkie urz dzenia.
• Stwierdzone wszelkie braki w wyposa eniu stanowiska oraz
nieprawidłowo ci w funkcjonowaniu sprz tu nale y przekazywa
prowadz cemu zaj cia.
• Zabrania
si
samodzielnego wł czania, manipulowania i
korzystania z urz dze nie nale cych do danego wiczenia.
• W przypadku wyst pienia pora enia pr dem elektrycznym nale y
niezwłocznie wył czy zasilanie stanowisk laboratoryjnych za
pomoc wył cznika bezpiecze stwa, dost pnego na ka dej tablicy
rozdzielczej w laboratorium. Przed odł czeniem napi cia nie
dotyka pora onego.
- 15 -
Dodatek - charakterystyki diod badanych
w wiczeniu
- 16 -