ω α µ α

Sprawozdanie z wykonania pracy badawczej pt.
Modelowanie zmienności rytmu serca za pomocą modeli zwartych.
(autorzy: Krzysztof Grudziński, Jan J. Żebrowski)
w ramach programu priorytetowego Politechniki Warszawskiej
„Dynamika Układów Złożonych”
I.
Modele zwarte układu przewodzącego serca.
Istotą modeli zwartych jest przedstawienie badanego układu w postaci zbioru bloczków.
Każdy bloczek, opisywany prostymi równaniami różniczkowymi bądź różnicowymi, opisuje
specyficzny element układu. Zaletą takiego podejścia jest mała złożoność (pozbywamy się
rozciągłości przestrzennej układu), co pozwala na zbadanie dynamiki układu, jak również
interakcji pomiędzy różnymi elementami układu. Modelując układ przewodzący serca,
możemy go podzielić na trzy części (bloczki).
- węzeł zatokowy (S.A.)
- węzeł przedsionkowo – komorowy (AV)
- układ His – Purkinje (HP)
Badając interakcje pomiędzy tymi elementami, chcemy odkryć mechanizmy zmienności
rytmu serca.
II. Modelowanie układu przewodzącego serca za pomocą oscylatorów relaksacyjnych.
Jedną z cech oscylatorów relaksacyjnych jest umiejętność dopasowywania swojej
częstości do częstości zewnętrznego układu wymuszającego [1].
Ta cecha powoduje, że oscylatory relaksacyjne nadają się do modelowania układów, w
których istotne jest generowanie odpowiedzi na pobudzenie, o dopasowującej się częstości i
stałej amplitudzie. Tą własność wykorzystali van der Pol i van der Mark tworząc pierwszy
model serca oparty na oscylatorach relaksacyjnych (van der Pola) [2].
III. Oscylator van der Pola.
Klasyczny oscylator van der Pola (vdP) jest opisywany następującym równaniem
różniczkowym.
d 2x
dx
+ α ( x 2 − 1) + ω 2 x = 0
(1)
2
dt
dt
Używanie oscylatora vdP do modelowania układu przewodzenia serca ma mocne
fizjologiczne podstawy. W swojej pracy z 1961r. FitzHugh zaproponował uproszczoną wersję
modelu Hodgkina – Huxleya, opisującego generację potencjałów czynnościowych w
komórkach, opartą właśnie na oscylatorze vdP. [3], [4].
IV. Zmodyfikowany oscylator van der Pola (mvP).
W odróżnieniu od innych prac [5], [6] modelujących układ przewodzący serca za pomocą
klasycznej wersji oscylatora vdP, chcemy posłużyć się zmodyfikowaną wersją oscylatora
zaproponowaną w [7].
Modyfikacja polega zastąpieniu członu harmonicznego, członem Duffinga.
d 2x
dx
+ α ( x 2 − µ ) + x( x + d )( x + 2d ) / d 2 = 0
2
dt
dt
(2)
Taka modyfikacja pozwala na uzyskanie dynamiki układu odpowiadającej dynamice
rzeczywistych oscylatorów neuronowych [7]. Przestrzeń fazowa takiego układu, pokazana
schematycznie na rysunku, zawiera niestabilne ognisko z cyklem granicznym, siodło i węzeł.
(d>0)
Rys 1. Przestrzeń fazowa oscylatora mvP
Z postaci równania (2) wynika, że położenie siodła i węzła zależy od parametru d. (Siodło
znajduje się w punkcie x = − d , a węzeł w punkcie x = −2d ).
W niniejszej pracy, wprowadziliśmy dodatkowy parametr e, dzięki któremu będziemy mogli
niezależnie zmieniać położenie siodła i węzła. Wówczas układ jest opisywany następującym
równaniem:
d 2x
dx
+ α ( x 2 − µ ) + x( x + d )( x + e) /(de) = 0 e,d >0
(3)
2
dt
dt
Dzięki tej zmianie, jesteśmy w stanie osobno manipulować kształtem impulsu i czasem
pomiędzy impulsami (rys.3), co było niemożliwe w przypadku oscylatora vdP (rys. 2) jak
również nie było możliwe przed wprowadzenie parametru w modelu mvP [7].
Rys 2. Oscylator vdP. Zmiana kształtu impulsu powoduje zmianę czasu pomiędzy impulsami.
Rys 3. Oscylator mvP. Wydłużanie czasu pomiędzy impulsami bez zmiany kształtu impulsu.
Poniższy rysunek przedstawia portret fazowy oscylatora mvdP w wersji stworzonej w
niniejszej pracy. Wraz ze wzrostem amplitudy, (parametr µ), zmienia się kształt cyklu
granicznego. Jest to związane ze zbliżaniem się cyklu do siodła. Rozmaitości stabilna i
niestabilna siodła wpływają na kształt cyklu granicznego wytwarzając ostry zakręt trajektorii
w jego lewej części. Okres przebywania punktu stanu układu w obszarze rozmaitości stabilnej
i niestabilnej odpowiada znacznemu spowolnieniu przemieszczania się tego punktu
(krytyczne spowolnienie). Dla odpowiednio dużej amplitudy µ układ wpada do węzła
(krzywa zielona) – następuje wtedy bifurkacja homokliniczna. Gdyby nie było węzła w
punkcie –e to punkt stanu zmierzałby do -∞ (nastąpiłaby katastrofa sinej dali). Jak widać
wprowadzenie dodatkowej możliwości regulacji pozwala zmieniać własności oscylatora w
szerokim zakresie i uzyskać nowe cechy nie występujące w dotychczas opublikowanych
modelach [2,5,7].
Rys 4. Portret fazowy oscylatora mvP.
Ponadto, wprowadzenie parametru e pozwoliło otrzymać kształt oscylacji w modelu,
który jest o wiele bliższy rzeczywistym potencjałom czynnościowym. W szczególności w
modelu zmodyfikowanego oscylatora vdP z pracy [7] nie jest możliwa osobna regulacja
długości trwania impulsu oraz częstości powtarzania. Taka osobna regulacja jest niezbędna
dla
odtworzenia
rzeczywistych
przebiegów
obserwowanych
doświadczeniach
fizjologicznych.
Przykładowe potencjały czynnościowe są pokazane na rysunkach 5 i 6.
(rys.5). Zapis rzeczywistego potencjału czynnościowego. rys.11.12A str. 262 [9]
Rys 6. Sygnał wygenerowany przez oscylator mvP
III. Oddziałujące oscylatory mvP.
Za pomocą oscylatora mvP jesteśmy w stanie modelować potencjały czynnościowe
węzła SA oraz węzła AV. Następnym krokiem będzie połączenie ze sobą tych dwóch
elementów.
Zazwyczaj do tego celu stosowane jest dwustronne sprzężenie dyfuzyjne [5],[8]. W
niniejszej pracy postanowiono zamiast tego jednym oscylatorem wymuszać działanie
drugiego. Naszym zdaniem takie podejście ma głębsze podstawy fizjologiczne, gdyż
sprzężenie dwustronne zakłada wpływ węzła AV na węzeł SA co wydaje się mało
prawdopodobne ze względu na zjawisko refrakcji. Ponadto, w naszym podejściu, potencjał
czynnościowy oscylatora napędzającego jest dodawany do równania na prąd oscylatora
zależnego. Jest to również zgodne z wiedzą fizjologiczną, gdyż prądy jonowe silnie zależą od
napięcia na błonie komórkowej. Tak więc modelując węzeł komórek powinno się to
uwzględnić.
Nasz model jest opisywany czterema równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu:
dx1
= y1
dt
dy1
= −α 1 ( x12 − µ1 ) y1 − x1 ( x1 + d1 )( x1 + e1 ) /(e1d1 )
dt
dx2
= y2
dt
dy 2
= −α 2 ( x 22 − µ 2 ) y 2 − x2 ( x 2 + d 2 )( x2 + e2 ) /(e2 d 2 ) + kx1
dt
Dotychczasowe badania ujawniły bogatą dynamikę powyższego układu.
Znaleziono kaskadę podwajania okresu, potrajanie okresu, kwaziperiodyczność, oraz
możliwość zablokowania aktywności oscylatora zależnego. Ta ostatnia własność daje
możliwość modelowania takich zjawisk jak nagłe zatrzymanie pracy serca.
Prowadzone badania mają na celu uzyskanie fizjologicznej interpretacji odkrytych
zachowań modelu, szukanie bardziej subtelnych zjawisk, takich jak zachowania chaotyczne i
intermitencyjne, oraz porównanie otrzymanych wyników z pracami innych autorów. [5], [6],
[8].
Bibliografia:
[1] Thompson J.M.T., Steward H. B. Nonlinear Dynamics and Chaos,
Second Edition, Wiley & Sons 2002
[2] van der Pol, B., van der Mark, J The heart beat concideredas a relaxation oscillation, and
an electrical model of the heart. Phil. Mag. 1928, 6, 763-775
[3] FitzHugh, R., Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane.
Biophys. J. 1961, 1, 445-466
[4] Nagumo, J., Arimoto, S., Yoshizawa, S. An active pulse transmition line simulating nerve
axon. Proc IRE 1962, 50, 2061-2070
[5] di Bernardo, D., Signorini, M., Cerutti, S., A model of two nonlinear coupled oscillators
for the study of heartbeat dynamics. Int. J. Bifurcations&Chaos, 1998, (8),10, 1975-1985
[6] Kongas, O., van Hertzen, R., Engelbrecht, J., A bifurcation structure of periodically
driven nerve pulse equation modelling cardiac conduction. Chaos, Solitons & Fractals 1999,
(10), 1, 119-136
[7] Postnov, D., Seung K., H.,, Hyungtae K., Synchronization of diffusively coupled
oscillators near homoclinic bifurcation. Physical Review E 1999, (60), 3
[8] West, B., Goldberger, A., Rovner, G., Bhargava, V., Nonlinear dynamics of the heartbeat.
The AV junction: passive conduict or active oscillator? Physica D 1985, 17, 198-206
[9] Glass, L., Hunter, P., McCulloch, A. editors, Theory of Heart, Springer-Verlag 1991.