Funkcje jednej zmiennej

Funkcje rzeczywiste jednej
zmiennej rzeczywistej
Matematyka
Studium doktoranckie KAE SGH
Semestr letni 2008/2009
R. Łochowski
Definicje
• Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą
zbiór D w zbiór P nazywamy
przyporządkowanie, które każdej liczbie ze
zbioru A przyporządkowuje pewną liczbę
rzeczywistą, co zapisujemy f : D → P .
• D – dziedzina funkcji f, P - przeciwdziedzina
• f(D) – zbiór wartości funkcji f
{
}
f (D ) = y ∈ P : ∃x ∈ D y = f (x )
Obraz i przeciwobraz
• Niech C ⊆ D. Obrazem zbioru C przy
odwzorowaniu f nazywamy zbiór
{
}
f (C ) = y ∈ P : ∃x ∈ C y = f (x )
• Niech E ⊆ P . Przeciwobrazem zbioru E przy
odwzorowaniu f nazywamy zbiór
f
−1
(E ) = {x ∈ D : ∃y ∈ E f (x ) = y }
• Zadanie: rozstrzygnąć czy zachodzą równości
(
)
(
)
f −1 f (C ) = C , f f −1 (E ) = E
Funkcja różnowartościowa
• Funkcja f : D → P jest różnowartościowa,
jeżeli zachodzi implikacja
∀x 1, x 2 ∈ D f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2
• Funkcja różnowartościowa ma funkcję
−1
odwrotną f : P ⊇ f (D ) → D, zdefiniowaną
za pomocą równoważności
∀y ∈ f (D ), x ∈ D f
−1
(y ) = x ⇔ f (x ) = y
Złożenie funkcji
• Niech f : D → P , g : f (D ) ⊆ E → Q
• Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję
g f : D → Q,
zdefiniowaną następująco:
(
)
∀x ∈ D g f (x ) := g f (x )
• Zadanie: Udowodnić, że jeżeli f jest
różnowartościowa, to
∀x ∈ D, y ∈ f (D ) f
−1
f (x ) = x , f f
−1
(y ) = y
Funkcje monotoniczne
• Funkcja f : ⊇ D → jest
– rosnąca (czasem: ściśle rosnąca), jeżeli
∀x 1, x 2 ∈ D x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) < f (x 2 )
– niemalejąca, jeżeli
∀x 1, x 2 ∈ D x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) ≤ f (x 2 )
– malejąca (czasem: ściśle malejąca), jeżeli
∀x 1, x 2 ∈ D x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) > f (x 2 )
– nierosnąca, jeżeli
∀x 1, x 2 ∈ D x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) ≥ f (x 2 )
Działania na funkcjach
rzeczywistych
• Niech f , g : ⊇ D → • Sumą, różnicą i iloczynem funkcji f i g
nazywamy funkcje zdefiniowane odpowiednio
∀x ∈ D f + −× g (x ) = f (x ) + −× g (x )
• Jeżeli ∀x ∈ D g (x ) ≠ 0 to można również
zdefiniować iloraz funkcji
∀x ∈ D f ÷ g (x ) = f (x ) ÷ g (x )
• Zadanie: udowodnić, że złożenie i suma funkcji
monotonicznych jest funkcją monotoniczną
Funkcje ciągłe
• Funkcja f : ⊇ D → jest ciągła w punkcie
x 0 ∈ D jeżeli dla dowolnego ciągu (x n ) o wyrazach z dziedziny D, zbieżnego do x 0 zachodzi
limn →∞ f (x n ) = f (x 0 )
• Z własności granic wynika, że suma, różnica,
iloczyn i iloraz (o ile ∀x ∈ D g (x ) ≠ 0 ) funkcji
ciągłych jest funkcją ciągłą
• Zadanie: rozstrzygnąć czy złożenie funkcji
ciągłych jest funkcją ciągłą i czy funkcja
odwrotna (o ile istnieje) jest funkcją ciągłą
Lemat Bolzano-Weierstrassa
Twierdzenie Weierstrassa
• Lemat: z każdego nieskończonego i
ograniczonego ciągu liczb rzeczywistych
można wybrać podciąg zbieżny
• Twierdzenie: jeżeli funkcja f : a, b  → jest
ciągła, to istnieją takie x min , x max ∈ a, b  , że
∀x ∈ a, b 
 
f (x min ) ≤ f (x ) ≤ f (x max ),
co więcej, funkcja f przyjmuje wszystkie
wartości z przedziału  f (x min ), f (x max )
• Przykład – istnienie pierwiastka
Funkcja exponencjalna
• Funkcję exp : → definiujemy za pomocą
n
wzoru


x

∀x ∈ exp (x ) := limn →∞ 1 + 
n 

• Zadanie: udowodnić, że
∀x , y ∈ exp (x + y ) = exp (x ) ⋅ exp (y )
(wskazówka – nierówność Bernoulliego)
• Zadanie: udowodnić, że funkcja exp jest
rosnąca, dodatnia i ciągła (wskazówka – z
równości powyżej wystarczy udowodnić
ciągłość w 0)
Logarytm naturalny – funkcja
odwrotna do funkcji exp
• Funkcja exp jest rosnąca, zatem jest
różnowartościowa i posiada funkcję odwrotną,
zwaną logarytmem naturalnym
ln : exp ( ) → ,
ln (x ) = exp−1 (x )
• Zadanie: udowodnić, że logarytm naturalny
jest funkcją rosnącą, ciągłą i jego dziedziną jest
zbiór liczb dodatnich
• Zastosowanie – definicja potęgi o dowolnym
wykładniku
Funkcje monotoniczne, c. d.
• Mówimy, że funkcja f : ⊇ D → rośnie
coraz szybciej, jeżeli jest rosnąca i ∀x 1, x 2 , x 3 ∈ D
x1 < x 2 < x 3 ⇒
f (x 2 ) − f (x 1 )
≤
f (x 3 ) − f (x 2 )
x 2 − x1
x3 − x2
• Mówimy że funkcja f : ⊇ D → rośnie
coraz wolniej, jeżeli jest rosnąca i ∀x 1, x 2 , x 3 ∈ D
f (x 2 ) − f (x 1 ) f (x 3 ) − f (x 2 )
x1 < x 2 < x 3 ⇒
≥
x 2 − x1
x3 − x2
• Przykład: funkcja użyteczności
Funkcje monotoniczne, c. d.
• Mówimy, że funkcja f : ⊇ D → maleje
coraz wolniej, jeżeli jest malejąca i ∀x 1, x 2 , x 3 ∈ D
x1 < x 2 < x 3 ⇒
f (x 2 ) − f (x 1 )
≤
f (x 3 ) − f (x 2 )
x 2 − x1
x3 − x2
• Mówimy że funkcja f : ⊇ D → maleje
coraz szybciej, jeżeli jest malejąca i ∀x 1, x 2 , x 3 ∈ D
f (x 2 ) − f (x 1 ) f (x 3 ) − f (x 2 )
x1 < x 2 < x 3 ⇒
≥
x 2 − x1
x3 − x2
Funkcje wklęsłe i wypukłe
• Funkcja f jest wypukła, jeżeli ∀x 1, x 2 , x 3 ∈ D
x1 < x 2 < x 3 ⇒
f (x 2 ) − f (x 1 )
x 3 − x2
• Funkcja f jest wklęsła, jeżeli ∀x 1, x 2 , x 3 ∈ D
x1 < x 2 < x 3 ⇒
x 2 − x1
≤
f (x 3 ) − f (x 2 )
f (x 2 ) − f (x 1 )
x 2 − x1
≥
f (x 3 ) − f (x 2 )
x3 − x2
• Zadanie: udowodnić, że funkcja exp jest
wypukła
Obcięcie funkcji
• Niech f : D → P i niech C ⊆ D
• Obcięciem funkcji f do zbioru C nazywamy
funkcję f↑C : C → P zdefiniowaną wzorem
∀x ∈ C f↑C (x ) = f (x )
• Funkcję f nazywamy różnowartościową
(monotoniczną, wklęsłą, wypukłą) na zbiorze
C ⊆ D jeżeli funkcja f↑C jest różnowartościowa
(monotoniczna, wklęsła, wypukła)
Wypukłość
• Zadanie: udowodnić, że funkcja f jest wypukła
na odcinku [a,b] wtw., gdy ∀x 1, x 2 ∈ a, b  ∀t ∈ 0,1
(
)
f t ⋅ x 1 + (1 − t ) x 2 ≤ t ⋅ f (x 1 ) + (1 − t ) f (x 2 )
• Zadanie: udowodnić, że jeżeli f jest wypukła
na odcinku [a,b], to zbiór
A=
{
}
2
x
,
y
∈
: a ≤ x ≤ b, y ≥ f (x )
( )
jest wypukły (wraz z dowolnymi dwoma
punktami zawiera cały odcinek łączący te
punkty)
Wypukłość, c. d.
• Zadanie: z nierówności na poprzednim slajdzie
wyprowadzić tzw. nierówość Jensena
∀x 1, x 2 ,..., x n ∈ a, b  ∀t1,..., tn ∈  0,1 , t1 + ... + tn = 1
f (t1 ⋅ x 1 + ... + tn ⋅ x n ) ≤ t1 ⋅ f (x 1 ) + ... + tn ⋅ f (x n )
• Zadanie: udowodnić nierówność
∀x 1, x 2 ,..., x n > 0 ∀t1,..., tn ∈  0,1 , t1 + ... + tn = 1
t1 t2
tn
x 1 x 2 ⋅ ... ⋅ x n ≤ t1 ⋅ x 1 + t2 ⋅ x 2 + ... + tn ⋅ x n
• a stąd nierówność
∀x 1, x 2 ,..., x n > 0
n
x 1 ⋅ x 2 ⋅ ... ⋅ x n ≤
x 1 + x 2 + ... + x n
n