Topologia ogólna MAP1219 Lista 7
Transkrypt
Topologia ogólna MAP1219 Lista 7
Topologia ogólna MAP1219 Lista 7 Spójność 1. Udowodnić równoważność warunków: (a) X jest spójna, (b) jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w X są X i ∅, (c) żadna funkcja ciągłą f : X → {0, 1} (z topologią dyskretną) nie jest surjekcją. 2. Udowodnić, że jeśli A jest rodziną zbiorów spójnych, taką że każde dwa elementy mają niepusty przekrój, to suma wszystkich elementów A jest spójna. 3. Niech B będzie przeliczalnym podzbiorem przestrzeni Rn , gdzie n > 1. Udowodnić, że wtedy Rn \ B jest zbiorem spójnym. Wskazówka: wykorzystać łukową spójność lub fakt, że suma zbiorów spójnych, mających w przekroju wspólny punkt, jest zbiorem spójnym. 4. Wywnioskować z poprzedniego zadania, że przestrzeń R nie może być homeomorficzna z Rn dla n > 1. 5. Wykorzystując pojęcie spójności udowodnić, że odcinki [0, 1], [0, 1), (0, 1) nie są homeomorficzne. Zwartość 6. Niech s i s0 będą dwoma ciągami. Udowodnić, że s0 jest podciągiem s wtedy i tylko wtedy, gdy jest jego podnetem. 7. Niech s będzie ciągiem. Czy można skonstruować podnet s, który nie jest jego podciągiem? 8. Jakie podzbiory są zwarte w przestrzeni dyskretnej? 9. Udowodnić, że w przestrzeni zwartej każdy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Dowód przeprowadzić dwoma sposobami: z wykorzystaniem netów i bez. 10. Udowodnić, że przestrzeń l2 złożona z wszystkich ciągów rzeczywistych (xn ), dla któP 2 rych ∞ n=1 xn < ∞, nie jest przestrzenią zwartą.