Część 15

Andrzej Pietruszczak
Materiały do wykładu
„Logiczne podstawy kognitywistyki”∗
Cześć
˛ 15
1. Kwantyfikator szczegółowy (egzystencjalny)
,2
01
6/2
01
7
Jeśli F x jest formułą, w której występuje zmienna wolna ‘x’, to poniższy zapis ‘∃x F x’ symbolizuje
zdanie mówiące, że jakiś obiekt w uniwersum rozważań spełnia formułę F x, czyli ma własność wyrażoną
przez formułę F x. Innymi słowy, zapis ‘∃x F x’ głosi, że gdy jakiś wybrany obiekt z uniwersum rozważań
oznaczymy przez ‘x’, to z formuły F x mamy otrzymać zadnie prawdziwe.
Zatem zapis ‘∃x F x’ mówi to samo, co poniższe jego parafrazy:
Jakiś obiekt (oznaczony dalej przez ‘x’) jest taki, że F x
|
{z
}
∃x
∃x
Dla jakiegoś obiektu (oznaczonego dalej przez ‘x’) jest tak, że F x
|
{z
}
ły
do
w
albo
Istnieje jakiś obiekt (oznaczony dalej przez ‘x’) taki, że F x
|
{z
}
yk
ła d
uL
PK
albo
∀x
M
a te
r ia
Zatem albo mówimy, że ten x jest taki, że prawdziwe jest zdanie F x, albo mówimy, że dla tego x-a jest
tak, jak głosi formuła F x. Przypomnijmy, że ‘∃’ jest odwróconą wielką literą ‘E’; od angielskiego słowa
‘exists’ (istnieje). Nazywamy go kwantyfikatorem szczegółowym bądź egzystencjalnym.1
Z punktu widzenia języka naturalnego pierwsza z tych parafraz ma następującą budowę podmiotowo-orzecznikową:
Jakiś obiekt (oznaczony dalej przez ‘x’) jest taki, że F x
{z
}
|
{z
} |
orzeczenie
podmiot
Jest to zatem zdanie podrzędnie złożone, gdyż w jego orzeczeniu występuje inne zdanie (otwarte) F x.
Widzimy więc, że kwantyfikator szczegółowy powstaje z połączenia całego podmiotu z «kawałkiem»
orzeczenia (z tym kawałkiem, który nie ma istotnego znaczenia logicznego; czyli jest niejako «gramatycznym dodatkiem»). Do tego kwantyfikatora dołączamy zmienną, na którą on działa.2
Podobnie druga z podanych parafraz  z punktu widzenia języka naturalnego  ma następującą budowę podmiotowo-orzecznikową:
Istnieje jakiś obiekt (oznaczony dalej przez ‘x’) taki, że F x
{z
}
| {z } |
orzeczenie
podmiot
Jest to zatem zdanie podrzędnie złożone, gdyż w jego podmiocie występuje inne zdanie (otwarte) F x.
Pamiętamy, że czasownik ‘istnieje’ ma specyficzne znaczenie  nie jest predykatem, czyli nie nadaje
obiektom żadnych własności. Mówi tylko, że niepusty jest podmiot rozważanego zdania, co znaczy, że
jakiś obiekt spełnia formułę F x. Zatem łączymy ten czasownik z «kawałkiem» podmiotu otrzymując
kwantyfikator szczegółowy (egzystencjalny). Do tego kwantyfikatora dołączamy zmienną, na którą on
działa.
c 2017 Prawa autorskie do całości materiałów do wykładu z „Logicznych podstaw kognitywistyki” ma wyłącznie autor.
Czasami bywa przyjmowane oznaczenie symboliczne ‘E’.
2
To dołączanie zmiennej do kwantyfikatora jest istotne, gdyż możemy mieć też do czynienia z formułą Gxy o dwóch
zmiennych wolnych. Wówczas zapis ‘∃x’ mówi, że kwantyfikator szczegółowy ma działać tylko na na zmienną ‘x’. Potem
możemy dołączyć np. działający na zmienną ‘y’ kwantyfikator ogólny ‘∀y’. Wówczas otrzymamy zdanie ∀y∃x Gxy.
∗
1
218
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 15
219
Podobnej parafrazy do powyższych dokonaliśmy w części 5 dla szczegółowych zdań kategorycznych
postaci ‘Jakiś S jest P-em’ oraz ‘Jakiś S nie jest P-em’ (zob. część 5, s. 62–64). Dla pierwszego z tych
zdań odpowiednia była formuła F x postaci ‘x jest S -em ∧ x jest P-em’. Otrzymujemy:
Jakiś obiekt (oznaczony dalej przez ‘x’) jest taki, że x jest S -em oraz x jest P-em
|
{z
}
∃x
Zatem zamiast prawdziwego zdania ‘Jakiś kawaler jest bogaty’, dla uniwersum rozważań złożonego z
ludzi wolno użyć formalnego zdania:
∃x(x jest kawalerem ∧ x jest bogaty)
•
To formalne zdanie głosi, że można tak wybrać jakiegoś człowieka, że po oznaczeniu go przez ‘x’, z formuły ‘x jest kawalerem ∧ x jest bogaty’ uzyskujemy zdanie prawdziwe. I tak jest w istocie.
Dla drugiego z wymienionych zdań kategorycznych odpowiednia była formuła F x postaci ‘x jest S -em
∧ ∼ x jest P-em’. Otrzymujemy:
Jakiś obiekt (oznaczony dalej przez ‘x’) jest taki, że x jest S -em oraz x nie jest P-em
|
{z
}
∃x
Zatem zamiast prawdziwego zdania ‘Jakiś kawaler nie jest bogaty’, dla uniwersum rozważań złożonego
z ludzi wolno użyć formalnego zdania:
∃x(x jest kawalerem ∧ ∼ x jest bogaty)
,2
01
6/2
01
7
•
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
To formalne zdanie głosi, że można tak wybrać jakiegoś człowieka, że po oznaczeniu go przez ‘x’, z formuły ‘x jest kawalerem ∧ ∼ x jest bogaty’ uzyskujemy zdanie prawdziwe. I tak jest w istocie.
Gdy ‘F x’ symbolizuje formułę ‘x + x = x’, to w uniwersum rozważań złożonym z liczb naturalnych
zdanie ‘∃x x + x = x’ głosi: jakaś liczba naturalna jest taka, że dodanie jej do niej samej da nią samą.
Innymi słowy, że możemy tak wybrać liczbę naturalną, że po oznaczeniu jej przez ‘x’ z formuły ‘x + x =
x’ uzyskamy zdanie prawdziwe. Tak jest w istocie, taką liczbą jest 0 (gdyż 0 + 0 = 0). Zatem zdanie
‘∃x x + x = x’ jest prawdziwe we wskazanym uniwersum rozważań.
Jeśli ‘F x’ symbolizuje formułę ‘x > x’, to w uniwersum rozważań złożonym z liczb naturalnych
zdanie ‘∃x x > x’ głosi: jakaś liczba naturalna jest większa od siebie samej; czyli że można tak wybrać
liczbę naturalną, że po oznaczeniu jej przez ‘x’ z formuły ‘x > x’ uzyskamy zdanie prawdziwe. Skoro tak
nie jest, więc zdanie ‘∃x x > x’ jest fałszywe we wskazanym uniwersum rozważań.
Po dołączeniu kwantyfikatora ogólnego działającego na zmienną wolną ‘x’ do formuły F x mającej
tylko jedną zmienną dolną ‘x’ otrzymujemy formalne zdanie, które stwierdza, że wszystkie obiekty w
uniwersum rozważań spełniają formułę F x.
Z kwantyfikatorem szczegółowym wiążemy następujący niezawodny schemat wnioskowania:
Fa
∃x F x
x
(F x)ax
∃x F x
x
(∃D)
gdzie ‘(F x)ax ’ symbolizuje zdanie, które otrzymujemy z formuły F x po zastąpieniu w niej każdego wolnego wystąpienia zmiennej ‘x’ nazwą jednostkową a (por. część 14, s. 215–216). Przypomnijmy, że oznaczenie ‘(F x)ax ’ (zamiast krótkiego ‘Fa’) stosujemy dlatego, aby nie pomylić tego, że to nazwa a jest podstawiana w miejsce zmiennej ‘x’ w formule F x, a nie odwrotnie zmienna ‘x’ jest podstawiana w miejsce
nazwy a w zdaniu Fa. A do takiej pomyłki mogłoby zajść w przypadku schematu wnioskowania (∃D).
Istotnie, ponieważ najpierw patrzymy na przesłankę, więc może się wydawać, że to formuła F x powstaje
ze zdania Fa po zastąpieniu w nim każdego wystąpienia nazwy a przez zmienną ‘x’.3
Ponownie dla przykładu rozważmy następujące trzy formuły:
F1 x
F2 x
F3 x
x podziwia x-a
Jan podziwia x-a
x podziwia Jana
oraz niech a będzie nazwą ‘Jan’. Wówczas (F1 x)ax , (F2 x)ax i (F3 x)ax produkują to samo zdanie: ‘Jan podziwia Jana’. Jednakże, gdyby było odwrotnie i to w ostatnim zadaniu podstawialibyśmy zmienną ‘x’
Oczywiście, w niektórych prostych przypadkach wszystko jedno jest w jakiej kolejności wykonujemy te podstawienia
(tzn. czy a za x, czy odwrotnie).
3
220
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 15
za nazwę a, to moglibyśmy otrzymać tylko formułę F1 x, czyli ‘x podziwia x-a’, więc otrzymalibyśmy
jedynie poprawność wnioskowania:
Dla F1 x:
Jan podziwia Jana
∃x x podziwia x-a
Jan podziwia siebie
Ktoś podziwia siebie
x
x
W przypadku zaś schematu (∃D) musimy go zastosować do wszystkich trzech formuł F1 x, F2 x i F3 x,
otrzymując  obok powyżej podanego poprawnego wnioskowania  także dwa następujące poprawne
wnioskowania:4
Jan podziwia siebie
Jan podziwia Jana
x
x
Dla F2 x:
∃x Jan podziwia x-a
Jan podziwia kogoś
Jan podziwia Jana
Jan podziwia siebie
x
x
∃x x podziwia Jana
Ktoś podziwia Jana
Niezawodność schematu (∃D) otrzymujemy wprost z jego odczytania w języku naturalnym:
Dla F3 x:
a ma własność F
Jakiś obiekt ma własność F
x
gdzie a jest obiektem należącym do uniwersum rozważań. Możemy też to zapisać w następujący uproszczony sposób:
a jest P-em
Jakiś obiekt jest P-em
,2
01
6/2
01
7
x
a nie jest P-em
Jakiś obiekt nie jest P-em
x
Zatem całość podpada pod poprzednio podany niezawodny schemat wnioskowania (∃D):
(x jest P-em)ax
∃x x jest P-em
yk
ła d
uL
PK
(F x)ax
∃x F x
x
(∼ x jest P-em)ax
∃x ∼ x jest P-em
x
x
Zauważmy, że powyżej podanych schematów nie należy mylić z następującymi zawodnymi:
ły
do
w
a jest P-em
Jakiś S jest P-em
a nie jest P-em
Jakiś S nie jest P-em
6x
r ia
6x
M
a te
gdyż a nie musi być S -em. Aby otrzymać niezawodne schematy musimy właśnie dołączyć przesłankę
mówiącą, że a jest S -em:
a jest S -em
a jest P-em
Jakiś S jest P-em
x
a jest S -em
a nie jest P-em
Jakiś S nie jest P-em
x
Pamiętamy, że są to «cegiełki poprawnego rozumowania» dotyczące zdań języka naturalnego. Jeśli zaś
miejsce tych zdań zajmą ich zapisy formalne, to ich poprawność możemy uzasadnić poprzez (∃D) oraz
wynikanie:
p, q |= p ∧ q
(∧D)
Istotnie, weźmy zapisy formalne podanych schematów wnioskowań:
a jest S -em
a jest P-em
∃x(x jest S -em ∧ x jest P-em)
x
a jest S -em
∼ a jest P-em
∃x(x jest S -em ∧ ∼ x jest P-em)
x
W obu przypadkach oznaczmy przez Gx formułę ‘x jest S -em’. Ponadto, w pierwszym przypadku oznaczmy formułę ‘x jest P-em’ przez H x, a w drugim przypadku oznaczmy tak formułę ‘∼ x jest P-em’. Dla
obu przypadków otrzymamy następujący jeden niezawodny ogólniejszy schemat wnioskowania:
Ga
Ha
∃x(Gx ∧ H x)
x
(Gx)ax
(H x)ax
∃x(Gx ∧ H x)
x
To pokazuje, że w drugim przypadku negacja nie odgrywała żadnej roli z punktu widzenia logicznej
poprawności rozumowania.
Poniżej traktujemy dosłownie wyraz ‘ktoś’. Nie znaczy on tego, co zwrot ‘ktoś inny’. Zatem wyraz ‘ktoś’ może odnosić
się też do Jana.
4
221
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 15
Przeprowadźmy dedukcję dla ostatnio podanego ogólnego schematu wnioskowania. Zakładamy obie
przesłanki: Ga i Ha. W (∧D) dokonujemy postawienia: p/Ga oraz q/Ha. Otrzymujemy bardziej szczegółową wersję (∧D):
Ga
Ha
x
Ga ∧ Ha
Teraz w schemacie (∃D) jako F x bierzemy Gx ∧ H x. Zatem Fa będzie Ga ∧ Ha. Mamy:
Fa
∃x F x
Ga ∧ Ha
∃x(Gx ∧ H x)
x
x
To daje nam zaś końcowy wniosek.
2. Kwantyfikator szczegółowy jako uogólnienie alternatywy niewykluczającej
Kwantyfikator szczegółowy ma związek z alternatywą niewykluczającą wyrażony przez poniższe
twierdzenie.
,2
01
6/2
01
7
Twierdzenie 2.1. Niech uniwersum rozważań składa się ze skończonej liczby obiektów, z których każdy
jest oznaczony przez jedną z nazw jednostkowych: a1 , . . . , an (n > 0). Wtedy dwa poniższe zdania mają
tę samą wartość logiczną:
(a) ∃x F x
(b) Fa1 ∨ · · · ∨ Fan
x
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
Uwaga 2.1. Nie twierdzimy, że podane dwa zadania są równoważne logicznie, gdyż równość ich wartości
logicznych uzyskaliśmy przy pozalogicznych założeniach, że mamy skończone uniwersum rozważań oraz
że każdy element z tego uniwersum ma własną nazwę jednostkową.
⋄
Twierdzenie 2.1 pokazuje, że zdanie ∃x F x jest niejako «uogólnieniem» alternatywy niewykluczająW
cej. Z tego względu często dla tego zdania używamy zapisu: F x.
M
a te
r ia
Dowód twierdzenia 2.1. «Od (a) do (b)» Załóżmy, że zdanie ∃x F x jest prawdziwe. Wówczas w uniwersum rozważań znajdziemy taki obiekt, który ma własność F. Jednakże każdy obiekt z uniwersum
jest oznaczony przez jedną z nazw jednostkowych: a1 , . . . , an . Zatem któryś z obiektów a1 , . . . , an ma
własność F, czyli prawdziwe jest któreś ze zdań Fa1 , . . . , Fan . Niech nim będzie obiekt ai . Dla każdego
i = 1, . . . , n stosujemy wynikanie (∨D) z części 14: Fai |= Fa1 ∨ · · · ∨ Fan . A to znaczy, że również
prawdziwa jest alternatywa: Fa1 ∨ · · · ∨ Fan , gdyż prawdziwa jest przesłanka któregoś z tych wynikań.
«Od (b) do (a)» Załóżmy, że prawdziwa jest alternatywa: Fa1 ∨ · · · ∨ Fan . A to znaczy, że prawdziwe
jest co najmniej jedno ze zdań Fa1 , . . . , Fan . Przyjmijmy, że jest nim Fai (1 6 i 6 n). Wykorzystamy
wynikanie (∃D) otrzymując: Fai |= ∃x F x. Uzyskujemy prawdziwe zdanie: ∃x F x.
CND
Uwaga 2.2. Z podanego dowodu widać, że założenie twierdzenia 2.1 wykorzystaliśmy tylko dowodząc
«od (a) do (b)». Nawet gdyby uniwersum było skończone, lecz a1 , . . . , an nie byłyby nazwami wszystkich
elementów z uniwersum, to zdania ∃x F x nie musi pociągać prawdziwości podanej alternatywy niewykluczającej. Chodzi o to, ze obiekt spełniający formułę F x może nie mieć nazwy wśród nazw a1 , . . . , an .
Tym bardziej tak jest, gdy uniwersum rozważań jest nieskończone.
⋄
Przykład 2.1. Przyjmijmy, że uniwersum rozważań składa się z dokładnie z trzech przedmiotów, które
mają odpowiednio nazwy własne: a, b i c. Przy tym założeniu mamy zapisać bez użycia kwantyfikatora
zdania głoszące to samo, co ‘Jakiś S jest P-em’ i ‘Jakiś S nie jest P-em’.
Kwantyfikatorowym zapisem zdania ‘Jakiś S jest P-em’ jest: ∃x(S x∧Px). Zatem stosujemy twierdzenie 2.1 do formuły F x postaci: (S x ∧ Px). Otrzymujemy więc następującą alternatywę niewykluczającą:
(S a ∧ Pa) ∨ (S b ∧ Pb) ∨ (S c ∧ Pc)
I właśnie to jest poszukiwanym zdaniem mającym tę samą wartość co zdanie: ∃x(S x ∧ Px).
Kwantyfikatorowym zapisem zdania ‘Jakiś S nie jest P-em’ jest: ∃x(S x ∧ ∼ Px). Zatem stosujemy
twierdzenie 2.1 do formuły F x postaci: (S x ∧ ∼ Px). Otrzymujemy więc następującą alternatywę niewykluczającą:
(S a ∧ ∼ Pa) ∨ (S b ∧ ∼ Pb) ∨ (S c ∧ ∼ Pc)
I właśnie to jest poszukiwanym zdaniem mającym tę samą wartość co zdanie: ∃x(S x ∧ ∼ Px).
⋄
222
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 15
3. Zależność pomiędzy dwoma kwantyfikatorami
Skoro mamy dwa wynikania logiczne:
(∀E)
∀x F x |= Fa
(∃D)
Fa |= ∃x F x
więc z przechodniości relacji |= otrzymujemy również wynikanie logiczne:
∀x F x |= ∃x F x
Ma to swój wyraz w zapisie naturalnym:
Każdy obiekt ma własność F
Jakiś obiekt ma własność F
Możemy też to zapisać w następujący uproszczone sposób:
Każdy obiekt jest P-em
Jakiś obiekt jest P-em
x
Każdy obiekt nie jest P-em
Jakiś obiekt nie jest P-em
x
x
Żaden obiekt nie jest P-em
Jakiś obiekt nie jest P-em
x
Zatem całość podpada pod poprzednio podany niezawodny schemat wnioskowania (∀E):
∀x F x
∃x F x
∀x x jest P-em
∃x x jest P-em
∀x ∼ x jest P-em
∃x ∼ x jest P-em
x
,2
01
6/2
01
7
x
x
Zauważmy, że powyżej podanych schematów nie należy mylić z następującymi zawodnymi:
Każdy S nie jest P-em
Jakiś S nie jest P-em
6x
Żaden S nie jest P-em
Jakiś S nie jest P-em
6x
yk
ła d
uL
PK
Każdy S jest P-em
Jakiś S jest P-em
6x
r ia
a te
x
M
Istnieje jakiś S
Każdy S jest P-em
Jakiś S jest P-em
ły
do
w
Mianowicie, tutaj S może być pojęciem pustym, a wówczas mamy prawdziwą przesłankę i fałszywy
wniosek. Poprzednio zaś nawa generalna ‘obiekt’ nie była pusta, gdyż rozpatrujemy wyłącznie niepuste
uniwersa rozważań. Dlatego też poprzednio rozważane schematy były niezawodne. Aby teraz otrzymać
niezawodne schematy trzeba właśnie dołączyć przesłankę: ‘Istnieje jakiś S ’:
W zapisie formalnym otrzymujemy:
∃x x jest S -em
∀x(x jest P-em → x jest P-em)
∃x(x jest S -em ∧ x jest P-em)
Istnieje jakiś S
Każdy S nie jest P-em
Jakiś S nie jest P-em
x
x
Istnieje jakiś S
Żaden S nie jest P-em
Jakiś S nie jest P-em
∃x x jest S -em
∀x(x jest P-em → ∼ x jest P-em)
∃x(x jest S -em ∧ ∼ x jest P-em)
x
x
W obu przypadkach oznaczmy przez Gx formułę ‘x jest S -em’. Ponadto, w pierwszym przypadku oznaczmy formułę ‘x jest P-em’ przez H x, a w drugim przypadku oznaczmy tak formułę ‘∼ x jest P-em’. Dla
obu przypadków otrzymamy następujący jeden niezawodny ogólniejszy schemat wnioskowania:
∃x Gx
∀x(Gx → H x)
∃x(Gx ∧ H x)
x
To pokazuje, że w drugim przypadku negacja nie odgrywała żadnej roli z punktu widzenia logicznej
poprawności rozumowania.
Niezawodność tego schematu uzyskamy stosując odpowiednią wersję reguły wyboru. Istotnie załóżmy, że prawdziwe są przesłanki: ∃x Gx i ∀x(Gx → H x). Do pierwszej z nich wolno zastosować regułę
wyboru, czyli w uniwersum rozważań możemy wybrać taki obiekt, który spełnia formułę Gx. Oznaczamy
ten obiekt przez ‘w’. Zatem mamy dodatkową przesłankę związaną z regułą wyboru: Gw.
Teraz w schemacie (∀E) jako F x bierzemy ∀x(Gx → H x). Zatem Fw będzie Gw → Hw. Mamy:
∀x F x
∀x(Gx → H x)
x
x
Fw
Gw → Hw
Zatem otrzymujemy pomocniczy wniosek ‘Gw → Hw’. Teraz zaś w wynikaniu:
p → q, p |= q
(→E1 )
223
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 15
dokonujemy postawienia: p/Gw oraz q/Hw. Otrzymujemy bardziej szczegółową wersję (→E1 ):
p→q
Gw → Hw
p
Gw
x
x
q
Hw
To zaś daje nam kolejny pomocniczy wniosek Hw. Następnie w (∧D) dokonujemy postawienia: p/Gw
oraz q/Hw. Otrzymujemy bardziej szczegółową wersję (∧D):
Gw
Hw
x
Gw ∧ Hw
Na koniec w schemacie (∃D) jako F x bierzemy ∃x(Gx ∧ H x). Zatem Fw będzie Gw ∧ Hw. Mamy:
Fw
∃x F x
Gw ∧ Hw
∃x(Gx ∧ H x)
x
x
Zatem uzyskaliśmy końcowy wniosek.
Oczywiście:
∃x F x 6|= ∀x F x
Np. jakaś liczba naturalna jest parzysta, lecz nie każda, co daje prawdziwą przesłankę i fałszywy wniosek.
Jednakże, stosując operator negacji jeden z kwantyfikatorów można wyrazić za pomocą drugiego.
Mianowicie zachodzą następujące równoważności logiczne:
(1)
∃x F x |==| ∼ ∀x ∼ F x
(2)
,2
01
6/2
01
7
∀x F x |==| ∼ ∃x ∼ F x
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
Lapidarnie wyrazimy to następującymi słowami:
— To, że wszystkie elementy uniwersum spełniają formułę F x jest równoważne temu, że nieprawda, iż
jakiś element uniwersum nie spełnia formuły F x.
— To, że jakiś element uniwersum spełnia formułę F x jest równoważne temu, że nieprawda, iż każdy
element uniwersum nie spełnia formuły F x.
Równoważności (1) i (2) są intuicyjnie oczywiste. Udowodnijmy je jednak formalnie. Zatem dedukcyjnie pokażemy, że zachodzą wszystkie związane z nimi wynikania:
∀x F x |= ∼ ∃x ∼ F x
∼ ∃x ∼ F x |= ∀x F x
∃x F x |= ∼ ∀x ∼ F x
∼ ∀x ∼ F x |= ∃x F x
(1a)
(1b)
(2a)
(2b)
Dedukcja dla (1a): Będzie to dowód nie wprost. Załóżmy, że: ∀x F x (przesłanka) i ∃x ∼ F x (założenie
nie wprost).5 Do założenia nie wprost wolno zastosować regułę wyboru. Zatem w uniwersum rozważań
wybieramy taki obiekt, który spełnia formułę ∼ F x. Oznaczamy ten obiekt przez ‘w’. Zatem mamy dodatkową przesłankę związaną z regułą wyboru: ∼ Fw. Zachodzi jednak wynikanie (∀E): ∀x F x |= Fw.
Skoro jednak założyliśmy, że ∀x F x, więc otrzymujemy: Fw. To łącznie z tym co uzyskaliśmy z reguły
wyboru daje nam logiczną sprzeczność: Fw ∧ ∼ Fw.6
Dedukcja dla (1b): Załóżmy, że ∼ ∃x ∼ F x. Mamy wyprowadzić wniosek: ∀x F x. Skoro wniosek jest
ogólny, więc zastosujemy regułę uogólniania. W uniwersum rozważań wybieramy więc dowolny obiekt
i oznaczamy go pomocniczą nazwą ‘u’.7 Mamy wykazać, że zachodzi: Fu. Jeśli to uzyskamy, to wolno
będzie uogólnić ten wynik na całe uniwersum, uzyskując wniosek: ∀x F x. Jednakże, nie widzimy jak
bezpośrednio wykazać, że zachodzi: Fu. Zatem załóżmy nie wprost, że: ∼ Fu. Zachodzi jednak wynikanie
(∃D): ∼ Fu |= ∃x ∼ F x. Skoro założyliśmy nie wprost, że ∼ Fu, więc otrzymujemy: ∃x ∼ F x. To
razem z wyjściową przesłanką daje nam logiczną sprzeczność: ∼ ∃x ∼ F x ∧ ∃x ∼ F x. Zatem jest inaczej
5
Zakładamy, że zachodzi przesłanka, lecz nie zachodzi wniosek. Zatem mamy założyć, że ∼ ∼ ∃x ∼ Fx. Lecz to jest równoważne z ∃x ∼ Fx, na mocy prawa podwójnej negacji. Por. uwagi na temat dowodów nie wprost podane w części 12, s. 184.
6
Por. uwagi z części 12 (s. 176–179) dotyczące tego, że stosując regułę wyboru wolno wykorzystać sprzeczność, w której
występuje pomocnicza nazwa wprowadzona przez tę regułę.
Lapidarnie rzecz ujmując dowód wyglądał następująco. Zakładamy, że każdy obiekt ma własność F i przyjmujemy nie
wprost, że jakiś nie ma własności F. Wówczas ten jakiś jednocześnie nie ma oraz ma własność F (skoro wszystkie obiekty ją
mają. Mamy zatem sprzeczność.
7
Teraz nie mamy kłopotu z wyborem tego obiektu, gdyż z podstawowego założenia mamy niepuste uniwersum rozważań.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 15
224
niż mówiło założenie nie wprost, tzn. zachodzi Fu. To zaś uogólniamy na całe uniwersum, skoro u był
dowolnie wybranym jego elementem. Zatem: ∀x F x.8
Dedukcja dla (2a): Będzie to dowód nie wprost.9 Załóżmy, że: ∃x F x (przesłanka) i ∀x ∼ F x (założenie nie wprost). Do przesłanki wolno zastosować regułę wyboru. Zatem w uniwersum rozważań wybieramy taki obiekt, który spełnia formułę F x. Oznaczamy ten obiekt przez ‘w’. Zatem mamy dodatkową
przesłankę związaną z regułą wyboru: Fw. Zachodzi jednak wynikanie (∀E): ∀x ∼ F x |= ∼ Fw. Skoro
założyliśmy nie wprost, że ∀x ∼ F x, więc otrzymujemy: ∼ Fw. To łącznie z tym co uzyskaliśmy z reguły
wyboru daje nam logiczną sprzeczność: Fw ∧ ∼ Fw.10
Dedukcja dla (2b): Udowodnimy kontrapozycję dla (2b):11
∼ ∃x F x |= ∀x ∼ F x
(k2b)
,2
01
6/2
01
7
Załóżmy, że ∼ ∃x F x. Mamy wyprowadzić wniosek: ∀x ∼ F x. Skoro wniosek jest ogólny, więc zastosujemy regułę uogólniania.12 W uniwersum rozważań wybieramy więc dowolny obiekt i oznaczamy go
pomocniczą nazwą ‘u’. Mamy wykazać, że zachodzi: ∼ Fu. Jeśli to uzyskamy, to wolno będzie uogólnić ten wynik na całe uniwersum, uzyskując wniosek: ∀x ∼ F x. Jednakże, nie widzimy jak bezpośrednio wykazać, że zachodzi: ∼ Fu. Zatem załóżmy nie wprost, że: Fu. Zachodzi jednak wynikanie (∃D):
Fu |= ∃x F x. Skoro założyliśmy nie wprost, że Fu, więc otrzymujemy: ∃x F x. To razem z wyjściową
przesłanką daje nam logiczną sprzeczność: ∼ ∃xF x ∧ ∃x F x. Zatem jest inaczej niż mówiło założenie nie
wprost, tzn. zachodzi ∼ Fu. To zaś uogólniamy na całe uniwersum, skoro u był dowolnie wybranym jego
elementem. Zatem: ∀x ∼ F x.13
Oczywiście, przez kontrapozycję z (1) i (2) otrzymujemy
yk
ła d
uL
PK
∼ ∀x F x |==| ∃x ∼ F x
∼ ∃x F x |==| ∀x ∼ F x
(k1)
(k2)
M
a te
r ia
ły
do
w
Lapidarnie wyrazimy to następującymi słowami:
— To, że nie wszystkie elementy uniwersum spełniają formułę F x jest równoważne temu, że jakiś element uniwersum nie spełnia formuły F x.
— To, że nieprawda, iż jakiś element uniwersum spełnia formułę F x jest równoważne temu, że każdy
element uniwersum nie spełnia formuły F x.
Otrzymane równoważności (1), (2), (k1) i (k2) pozwalają formalnie uzasadnić zależności pomiędzy
zdaniami kategorycznymi interpretowane w sensie matematycznym:14
Każdy S jest P-em |==| ∼ jakiś S nie jest P-em
Jakiś S nie jest P-em |==| ∼ każdy S jest P-em
Żaden S nie jest P-em |==| ∼ jakiś S jest P-em
Jakiś S jest P-em |==| ∼ Żaden S nie jest P-em
(3)
(k3)
(4)
(k4)
Tutaj, oczywiście, (k3) i (k4) są odpowiednio kontrapozycjami dla (3) i (4).
W zapisie kwantyfikatorowym te równoważności będą odpowiadać następującym:
∀x(Gx → H x) |==| ∼ ∃x(Gx ∧ ∼ H x)
∃x(Gx ∧ ∼ H x) |==| ∼ ∀x(F x → H x)
(3′ )
(k3′ )
Lapidarnie rzecz ujmując dowód wyglądał następująco. Zakładamy, że nie ma obiektu, który nie ma własności F. Mamy
pokazać, że każdy obiekt ma własność F. Zatem wybieramy dowolny obiekt. Gdyby on nie miał własności F, to jakiś obiekt
nie miałby własności F. To jednak przeczy głównemu założeniu. Zatem ten dowolnie wybrany obiekt ma własność F.
9
Jest on «prawie identyczny» z dowodem dla (1a). Występuje jedynie różnica w miejscu występowania operatora ‘∼’.
10
Lapidarnie rzecz ujmując dowód wyglądał następująco. Zakładamy, że jakiś ma własność F i przyjmujemy nie wprost,
że każdy obiekt ma nie własność F. Wówczas ten jakiś jednocześnie ma oraz nie ma własności F (skoro wszystkie obiekty jej
nie mają. Mamy zatem sprzeczność.
11
Pamiętamy, że dane wynikanie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jego kontrapozycja.
12
Widzimy, że dowód będzie przebiegał «prawie identycznie» jak dla (1b). Występuje jedynie różnica w miejscu występowania operatora ‘∼’.
13
Lapidarnie rzecz ujmując dowód wyglądał następująco. Zakładamy, że nie ma obiektu, który ma własność F. Mamy
pokazać, że każdy obiekt nie ma własności F. Zatem wybieramy dowolny obiekt. Gdyby on miał własność F, to jakiś obiekt
miałby własność F. To jednak przeczy głównemu założeniu. Zatem ten dowolnie wybrany obiekt nie ma własności F.
14
Te zależności zachodzą również w interpretacji potocznej.
8
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 15
225
∀x(Gx → ∼ H x) |==| ∼ ∃x(Gx ∧ H x)
(4′ )
∃x(Gx ∧ H x) |==| ∼ ∀x(Gx → ∼ H x)
(k4′ )
4. Kolejność kwantyfikatorów
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Tutaj, oczywiście, (k3′ ) i (k4′ ) są odpowiednio kontrapozycjami dla (3′ ) i (4′ ).
Dla (3′ ): Wiemy, że p → q |==| ∼(p ∧ ∼ q) (zob. równoważność (3) w części 14, s. 211). Zatem
dowolny obiekt w uniwersum rozważań spełnia formułę Gx → H x wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia
formułę ∼(Gx ∧ ∼ H x). Stąd dostajemy ∀x(Gx → H x) |==| ∀x ∼(Gx ∧ ∼ H x). Teraz stosujemy (k2) do
formuły F x postaci: ∼(Gx ∧ ∼ H x). Otrzymujemy: ∀x ∼(Gx → ∼ H x) |==| ∼ ∃x(Gx ∧ ∼ H x). Na koniec
stosujemy przechodniość |==| .
Dla (k3′ ): Uzyskujemy przez kontrapozycję z (3′ ). Można też, stosując (k1), dokonać przekształcenia:
∼ ∀x(Gx → H x) |==| ∃x ∼(Gx → H x). Teraz skorzystaliśmy z równoważności ∼(p → q) |==| p ∧ ∼ q
(zob. równoważność (2) w części 14, s. 211). Zatem jakiś obiekt w uniwersum spełnia formułę ∼(Gx →
H x) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia formułę Gx ∧ ∼ H x. Stąd dostajemy: ∃x ∼(Gx → H x) |==|
∃x(Gx ∧ ∼ H x) i stosujemy przechodniość dla |==| .
Dla (4′ ): stosując (k2), dokonać przekształcenia: ∼ ∃x(Gx ∧ H x) |==| ∀x ∼(Gx ∧ H x). Teraz skorzystaliśmy z równoważności ∼(p ∧ q) |==| p → ∼ q. Zatem dowolny obiekt w uniwersum spełnia formułę
∼(Gx ∧ H x) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia formułę Gx → ∼ H x. Stąd dostajemy: ∀x ∼(Gx ∧ H x) |==|
∀x(Gx → ∼ H x) i stosujemy przechodniość dla |==| .
Dla (k4′ ): Kontrapozycja (4′ ). Można też, stosując (k1), dokonać przekształcenia: ∼ ∀x(Gx → ∼ H x)
|==| ∃x ∼(Gx → ∼ H x). Teraz skorzystaliśmy z równoważności ∼(p → ∼ q) |==| p ∧ q. Zatem jakiś
obiekt w uniwersum spełnia formułę ∼(Gx → ∼ H x) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia koniunkcję Gx∧H x.
Stąd dostajemy: ∃x ∼(Gx → ∼ H x) |==| ∃x(Gx ∧ H x) i stosujemy przechodniość dla |==| .
ły
do
w
Niech ‘F xy’ symbolizuje jakąkolwiek formułę z dwoma zmiennymi wolnymi ‘x’ i ‘y’.15 Zachodzi
równoważność:
∀x∀y F xy |==| ∀y∀x F xy
M
a te
r ia
Zatem nie jest istotna kolejność dwóch kwantyfikatorów ogólnych. Z tego względu przyjęte jest, że zamiast zapisów ‘∀x∀y’ i ‘∀y∀x’ stosujemy skrócony zapis: ‘∀xy’.
Pokażemy to dedukcyjnie. Wystarczy przedstawić dedukcję dla „|=”. Dla wynikania odwrotnego postępujemy symetrycznie zmieniając zmienne miejscami.
Załóżmy, że ∀x∀y F xy. Skoro chcemy udowodnić zdanie ogólne ∀y∀x F xy’, więc stosujemy regułę
uogólniania. Wybieramy dowolny obiekt i oznaczamy go przez ‘u’. Mamy wyprowadzić: ∀x F xu. Skoro nadal mamy wyprowadzić zdanie ogólne, więc drugi raz stosujemy regułę uogólniania. Wybieramy
dowolny obiekt i oznaczamy go przez ‘v’. Mamy wyprowadzić: Fvu. Zachodzi jednak wynikanie (∀E):
∀x∀y F xy |= ∀y Fvy. Zatem z przesłanki dostajemy: ∀y Fvy. Ponownie korzystamy z wynikania (∀E):
∀y Fvy |= Fvu. Stąd i z poprzednio uzyskanego pomocniczego wniosku uzyskujemy: Fvu. Skoro jednak
v było dowolnie wybranym obiektem, więc dostajemy: ∀x F xu. Stąd ponownie skoro u było dowolnie
wybranym obiektem, więc dostajemy: ∀y∀x F xy.
Interesujący jest też następujący fakt:
y
∀x∀y F xy |= ∀x (F xy)x
y
gdzie  zgodnie z przyjętą umową  zapis ‘(F xy)x ’ ma oznaczać formułę, która powstała z formuły F xy
po zastąpieniu każdego wolnego wystąpienia zmiennej ‘y’ zmienną ‘x’.
Załóżmy, że ∀x∀y F xy. Skoro chcemy udowodnić zdanie ogólne ∀x F xx’, więc stosujemy regułę
uogólniania. Wybieramy dowolny obiekt i oznaczamy go przez ‘u’. Mamy wyprowadzić: Fuu.16 Zachodzi jednak wynikanie (∀E): ∀x∀y F xy |= ∀y Fuy. Zatem z przesłanki dostajemy: ∀y Fuy. Ponownie
korzystamy z wynikania (∀E): ∀y Fuy |= Fuu. Stąd i z poprzednio uzyskanego pomocniczego wniosku
uzyskujemy: Fuu. Skoro jednak u było dowolnie wybranym obiektem, więc dostajemy: ∀x F xx.
Z ostatniego wzoru otrzymujemy:
∀x∀y x podziwia y-a |= ∀x x podziwia x-a
15
Kolejność występowania zmiennych w Fxy może być inna, a nawet mogą one wielokrotnie występować w tej formule.
Formuła ta wyznacza jakąś binarną relację zachodzącą pomiędzy obiektami z uniwersum rozważań.
16
Precyzyjnie pisząc, mamy wyprowadzić: ((Fxy)yx )ux , czyli najpierw wymieniamy ‘y na ‘x’, a następnie ‘x’ na ‘u’.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 15
226
czyli z tego, że w danym uniwersum każdy podziwia wszystkich wynika, że każdy podziwia siebie. Nie
zakładaliśmy przecież, że każdy podziwia wszystkich innych. Mamy:
∀x∀y(x , y → x podziwia y-a) 6|= ∀x x podziwia x-a
To i przedstawiona dedukcja pokazują, że:
∀x∀y(x , y → F xy) 6|= ∀x F xx
Dwukrotnie w przesłance kwantyfikatory ogólne stosujemy pod warunkiem, że odnoszą się one do różnych obiektów.
Teraz pokażemy, że kolejność dwóch kwantyfikatorów szczegółowych także nie jest istotna. Niech
‘F xy’ symbolizuje jakąkolwiek formułę z dwoma zmiennymi wolnymi ‘x’ i ‘y’. Zachodzi równoważność:
∃x∃y F xy |==| ∃y∃x F xy
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Z tego względu przyjęte jest, że zamiast zapisów ‘∃x∃y’ i ‘∃y∃x’ stosujemy skrócony zapis: ‘∃xy’.
Pokażemy to dedukcyjnie. Wystarczy przedstawić dedukcję dla „|=”. Dla wynikania odwrotnego postępujemy symetrycznie zmieniając zmienne miejscami.
Załóżmy, że ∃x∃y F xy. Do przesłanki wolno zastosować regułę wyboru. Zatem w uniwersum rozważań wybieramy taki obiekt, który spełnia formułę: ∃y F xy. Oznaczamy ten obiekt przez ‘w’. Zatem
mamy dodatkową przesłankę związaną z regułą wyboru: ∃y Fwy. Ponownie to tej dodatkowej przesłanki
wolno zastosować regułę wyboru. Zatem w uniwersum rozważań wybieramy taki obiekt, który spełnia
formułę: Fwy. Oznaczamy ten obiekt przez ‘w′ ’. Zatem mamy dodatkową przesłankę związaną z regułą
wyboru: Fww′ . Zachodzi jednak wynikanie (∃D): Fww′ |= ∃x F xw′ . Stąd i z drugiej dodatkowej przesłanki dostajemy: ∃x F xw′ . Ponownie więc stosujemy wynikanie (∃D): ∃x F xw′ |= ∃y∃x F xy. Stąd i z
poprzednio uzyskanego pomocniczego wniosku dostajemy: ∃y∃x F xy.
Interesujący jest też następujący fakt:
ły
do
w
∃x (F xy)yx |= ∃x∃y F xy
M
a te
r ia
gdzie  zgodnie z przyjętą umową  zapis ‘(F xy)yx ’ ma oznaczać formułę, która powstała z formuły F xy
po zastąpieniu każdego wolnego wystąpienia zmiennej ‘y’ zmienną ‘x’.
Załóżmy, że ∃x F xx. Do przesłanki wolno zastosować regułę wyboru. Zatem w uniwersum rozważań
wybieramy taki obiekt, który spełnia formułę: F xx. Oznaczamy ten obiekt przez ‘w’. Zatem mamy dodatkową przesłankę związaną z regułą wyboru: Fww. Zachodzi jednak wynikanie (∃D): Fww |= ∃y Fwy.17
Stąd i z dodatkowej przesłanki dostajemy: ∃y Fwy. Ponownie więc stosujemy wynikanie (∃D): ∃y Fwy |=
∃x∃y F xy.18 Stąd i z poprzednio uzyskanego pomocniczego wniosku dostajemy: ∃y∃x F xy.
Z ostatniego wzoru otrzymujemy:
∃x x podziwia x-a |= ∃x∃y x podziwia y-a
czyli z tego, że ktoś podziwia siebie wynika, że ktoś podziwia kogoś. Nie wykluczamy jednak, że ten,
do którego odnosi się zaimek kwantyfikujący ‘kogoś’ jest tym samym, do którego odnosi się zaimek
kwantyfikujący ‘ktoś’. (W przeprowadzanej dedukcji tak właśnie jest; czyli x = y.) Zatem:
∃x x podziwia x-a 6|= ∃x∃y(x podziwia y-a ∧ x , y)
To i przedstawiona dedukcja pokazują, że
∃x F xx 6|= ∃x∃y(F xy ∧ x , y)
Kolejność kwantyfikatorów jest istotna dopiero wówczas, gdy mamy do czynienia z dwoma różnymi
kwantyfikatorami. Weźmy dowolną formułę F xy mającą dwie wolne zmienne ‘x’ i ‘y’. Zachodzi:19
∃x∀y F xy |= ∀y∃x F xy
Zastosowaliśmy wynikanie (∃D) dla formuły Gy postaci: Fwy.
Zastosowaliśmy wynikanie (∃D) dla formuły Hx postaci: ∃y Fxy.
19
Tego wynikania nie zaliczamy do tych, które mają szczegółową przesłankę i ogólny wniosek. Gdy wykluczaliśmy takiego
rodzaju wnioskowania spośród poprawnych, to chodziło o zdania kategoryczne, które zapisujemy za pomocą kwantyfikatorów
i formuł z jedną zmienną wolną.
17
18
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 15
227
Pokażemy to dedukcyjnie. Załóżmy, że ∃x∀y F xy. Do przesłanki wolno zastosować regułę wyboru. Zatem w uniwersum rozważań wybieramy taki obiekt, który spełnia formułę: ∀y F xy. Oznaczamy ten obiekt
przez ‘w’. Zatem mamy dodatkowe założenie związane z regułą wyboru: ∀y Fwy. Mamy wyprowadzić
ogólny wniosek: ∀y∃x F xy. Zatem stosujemy regułę uogólniania. Wybieramy dowolny obiekt i oznaczamy go przez ‘u’. Mamy wyprowadzić ‘∃x F xu’, a następnie to uogólnić. Zachodzi jednak wynikanie
(∀E): ∀y Fwy |= Fwu. Zatem z dodatkowego założenia dostajemy: Fwu. Teraz korzystamy z wynikania
(∃D): Fuw |= ∃y Fuy. Stąd i z poprzednio uzyskanego pomocniczego wniosku dostajemy: ∃y Fuy.
Skoro jednak u było dowolnie wybranym obiektem, więc dostajemy: ∀x∃y F xy.
Udowodniony wzór głosi, że jeśli istnieje taki obiekt (x), który pasuje względem relacji F xy do
wszystkich obiektów w uniwersum, to dla każdego obiektu w uniwersum dobierzemy taki, który będzie
do niego pasował względem tej relacji (bierzemy po prostu tego x-a dla dowolnego obiektu z uniwersum).
Przykładowo, skoro istnieje liczba naturalna mniejsza-równa od wszystkich liczb naturalnych (jest to 0;
∀y 0 6 y; ∃x∀y x 6 y), wiec dla każdej liczby naturalnej znajdziemy mniejszą-równą od niej liczbę (np.
może to być właśnie 0; ∀y∃x x 6 y).
Przykład «humanistyczny»: Jeśli w jakimś gronie istnieje ktoś, kto podziwia wszystkie osoby w tym
gronie (w tym także siebie), to dla każdej wybranej osoby w tym gronie znajdziemy taką, która podziwia
tę wybraną (tj. każdy podziwiany przez kogoś; np. właśnie przez tę wyróżnioną osobę).
Wynikanie odwrotne nie zachodzi, tj.:
,2
01
6/2
01
7
∀y∃x F xy 6|= ∃x∀y F xy
yk
ła d
uL
PK
Z tego, że dla każdego elementu istnieje taki, który znajduje się z nim w relacji wyrażonej przez F xy,
nie wynika, że istnieje element dobry dla wszystkich elementów w uniwersum względem tej relacji. Np.
dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba od niej większa, lecz nie istnieje liczba naturalna większa od
wszystkich liczb naturalnych:
ły
do
w
F xy / x > y
∀y∃x F xy / ∀y∃x x > y – prawda (‘Dla każdej liczby istnieje liczba od niej większa’)
∃x∀y F xy / ∃x∀y x > y – fałsz (‘Istnieje liczba większa od wszystkich liczb’)
M
a te
r ia
Mamy więc interpretację, przy której przesłanka jest prawdziwa, a wniosek jest fałszywy. Zatem wynikanie nie zachodzi.
Może ktoś próbować pokazać, że jednak z przesłanki dedukcyjnie wyprowadzi wniosek (oczywiście
wtedy popełnia błąd). Pokażemy dlaczego dlaczego tego nie da się zrobić. Pozwoli to lepiej zrozumieć
łącznego działanie reguł uogólniania i wyboru. Spróbujmy przeprowadzić dedukcję. Zobaczymy, gdzie
się zatrzymamy. Załóżmy, że ∀y∃x F xy. Ponieważ nie mamy nic inne do zrobienia, więc wybieramy dowolny obiekt w uniwersum i oznaczamy go przez ‘u’. Stosujemy wynikanie (∀E): ∀y∃x F xy |= ∃x F xu.
Zatem z przesłanki dostajemy: ∃x F xu. Do tego pomocniczego wniosku stosujemy regułę wyboru. Wybieramy dowolny obiekt spełniający formułę: F xu. Oznaczamy ten obiekt przez ‘w’. Mamy więc dodatkowe założenie związane z regułą wyboru: Fwu. Nasuwa się teraz pomysł wyprowadzenia pomocniczego
ogólnego wniosku: ∀y Fwy. Wybieramy więc dowolny obiekt i oznaczamy go przez ‘v’. Mamy udowodnić: Fwv, a następnie to uogólnić. Jest to jednak niewykonalne. Istotnie, zastosujemy wynikanie (∀E):
∀y∃x F xy. Wtedy z wyjściowej przesłanki uzyskamy: ∃x F xv. Teraz zastosowanie reguły wyboru da
nam jednak: Fw′ v. Zawsze przecież przy stosowaniu tej reguły musimy użyć nowej nazwy pomocniczej.
Zatem popadniemy w «błędne koło» i nic nie wyprowadzimy.
Intuicyjnie można to wytłumaczyć następująco. Przy stosowaniu reguły wyboru, wybrany obiekt w
był zależny od wcześniej wybranego obiektu u. Zatem moglibyśmy dla niego użyć nazwy zapisanej jako
‘wu ’ (czytanej: „w od u”). Zatem to, co na końcu chcielibyśmy uzyskać ma postać: Fwu v. Widzimy więc,
że obiekt w był zależny od wyboru obiektu u, a nie od wyboru obiektu v. Gdybyśmy kontynuowali błędną
dedukcję, to stosując drugi raz regułę wyboru, wybierany obiekt w′ był już zależny od obiektu v. Zatem
moglibyśmy dla niego użyć nazwy zapisanej jako ‘wv ’ (czytanej: „w od v”). Dwa razy wybieraliśmy dowolne obiekty u i v, oraz dwa razy dopasowywaliśmy do nich odpowiednio obiekty wu i wv . Te ostanie
mogą być jednak różnymi obiektami.
Uwaga 4.1. Można podać następującą uwagę dotyczącą stosowania reguły uogólniania, gdy wcześniej
zastosowaliśmy regułę wyboru: Nie wolno stosować reguły uogólniania do formuły, w której występuje
jakaś nazwa pomocnicza wprowadzona za pomocą reguły wyboru.
⋄
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 15
228
5. Kwantyfikatory a spójniki zdaniowe
Dla dowolnych formuł F x i Gx ze zmienną wolną ‘x’ zachodzi poniższa równoważność logiczna
mówiąca o rozdzielności kwantyfikatora ogólnego względem spójnika koniunkcji:
∀x(F x ∧ Gx) |==| ∀x F x ∧ ∀x Gx
,2
01
6/2
01
7
Dla „|=”: Załóżmy, że ∀x(F x ∧ Gx). Wniosek jest koniunkcją dwóch zdań. Zatem wyprowadzimy każde
z nich oddzielnie, a następnie połączymy je spójnikiem koniunkcji. Oba te zdania są ogólne. Zatem zastosujemy do nich regułę uogólniania. Po pierwsze mamy wyprowadzić: ∀x F x. W tym celu wybieramy
dowolny obiekt i oznaczamy go przez ‘u’. Mamy wykazać Fu, a następnie to udowodnić. Stosujemy wynikanie (∀E): ∀x(F x ∧ Gx) |= Fu ∧ Gu. Stąd i z przesłanki dostajemy Fu ∧ Gu. Stąd mamy: Fu. Skoro
u był dowolnym obiektem, więc uogólniamy to do ∀x F x. Ponadto, z Fu ∧ Gu dostajemy Gu. A skoro u
był dowolnym, więc obiektem uogólniamy to do ∀x Gx. Mamy więc łącznie: ∀x F x ∧ ∀x Gx.
Dla „=|”: Załóżmy, że ∀x F x ∧ ∀x Gx. To daje nam dwa zdania ∀x F x oraz ∀x Gx. Skoro chcemy
wyprowadzić: ∀x(F x∧Gx), więc stosujemy regułę uogólniania. Wybieramy dowolny obiekt i oznaczamy
go przez ‘u’. Mamy wyprowadzić: Fu ∧ Gu. Stosujemy wynikanie (∀E): ∀x F x |= Fu. Stąd dostajemy
Fu. Ponownie stosujemy wynikanie (∀E): ∀x Gx |= Gu. Stąd dostajemy Gu. Łącznie mamy: Fu ∧ Gu.
Skoro u był dowolnym obiektem, więc uogólniamy to do ∀x(F x ∧ Gx).
Podana równoważność odpowiada następującej równoważności zachodzącej dla zdań kategorycznych
oraz spójnika ‘i’ łączącego nazwy generalne:
Każdy S jest P-em i M-em |==| Każdy S jest P-em ∧ każdy S jest M-em
yk
ła d
uL
PK
Mówi to, że w tym przypadku spójnik nazwowy można zamienić na spójnik zdaniowy.
Pierwsze z użytych zdań kategorycznych ma następujący zapis kwantyfikatorowy:
ły
do
w
∀x S x → (Px ∧ M x)
∀x(S x → Px) ∧ ∀x(S x → M x)
M
a te
r ia
Drugie zaś zapiszemy, oczywiście, jako następującą koniunkcję:
Pokażemy, że dla dowolnych dwóch formuł F x i Gx dwie poniższe formuły są logicznie równoważne:
∀x F x → (Gx ∧ H x)
∀x(F x → Gx) ∧ ∀x(F x → H x)
Udowodnimy wykorzystując podane do tej pory fakty.20 Po pierwsze, korzystamy z tego, że:
p → (q ∧ r) |==| (p → q) ∧ (p → r)
czyli mamy rozdzielność spójnika implikacji materialnej względem spójnika koniunkcji. Istotnie, gdy p
jest fałszywe, to mamy po obu stronach zdanie prawdziwe. Jeśli zaś p jest prawdziwe, to koniunkcja po
prawej stronie jest prawdziwa tylko wtedy, gdy q i r są prawdziwe. Jest to wtedy również jedyny przypadek
prawdziwości lewej strony. Zatem w każdym przypadku obie strony mają tę samą wartość.
Zatem dowolny obiekt spełnia formułę F x → (Gx ∧ H x) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia formułę
(F x → Gx) ∧ (F x → H x). Stąd mamy:
∀x F x → (Gx ∧ H x) |==| ∀x (F x → Gx) ∧ (F x → H x)
Na koniec, do prawej strony zastosujemy rozdzielność kwantyfikatora ogólnego względem spójnika koniunkcji (bierzemy: F x/(F x → Gx) i Gx/(F x → H x)), dostając:
∀x F x → (Gx ∧ H x) |==| ∀x (F x → Gx) ∧ (F x → H x)
|==| ∀x(F x → Gx) ∧ ∀x(F x → H x)
20
Oczywiście, można też podać dedukcję «bezpośrednio», czyli nie korzystając z ogólnych faktów.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 15
229
Kwantyfikator ogólny nie jest rozdzielny względem spójnika alternatywy niewykluczającej, jak i spójnika alternatywy wykluczającej, czyli:
∀x(F x ∨ Gx) |=6 =| ∀x F x ∨ ∀x Gx
∀x(F x ⊻ Gx) |=6 =| ∀x F x ⊻ ∀x Gx
Istotnie, wystarczy jako uniwersum rozważań wziąć zbiór wszystkich liczb całkowitych, jako F x wziąć
formułę ‘x jest ujemna’, a jako Gx wziąć formułę ‘x jest nieujemna’. W tej interpretacja lewa strona
pierwszego wzoru jest prawdziwa (‘Każda liczba całkowita jest ujemna lub nieujemna’). Prawa strona
jest zaś fałszywa, gdyż ma oba fałszywe składniki (‘Każda liczba całkowita jest ujemna’ oraz ‘Każda
liczba całkowita jest nieujemna’). Ten sam kontrprzykład jest odpowiedni dla alternatywy wykluczającej,
gdyż alternatywa ‘Każda liczba całkowita jest ujemna lub nieujemna’ jest prawdziwa w obu użyciach.
Ten sam kontrprzykład pokazuje, że:
Każdy S jest P-em lub M-em |=6 =| Każdy S jest P-em ∨ każdy S jest M-em
Każdy S jest P-em lub M-em |=6 =| Każdy S jest P-em ⊻ każdy S jest M-em
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Wystarczy podstawić: S /liczba całkowita; P/dodatnia; M/nieujemna. Wtedy lewa strona pierwszego wzoru jest prawdziwa (‘Każda liczba całkowita jest ujemna lub nie jest ujemna’). Prawa strona jest zaś fałszywa, gdyż ma oba fałszywe składniki (‘Każda liczba całkowita jest ujemna’ oraz ‘Każda liczba całkowita
jest nieujemna’). Ten sam kontrprzykład jest odpowiedni dla alternatywy wykluczającej, gdyż alternatywa
‘Każda liczba całkowita jest ujemna lub nieujemna’ jest prawdziwa w obu użyciach.
Dla dowolnych formuł F x i Gx ze zmienną wolną ‘x’ zachodzi poniższa równoważność logiczna mówiąca o rozdzielności kwantyfikatora szczegółowego względem spójnika alternatywy niewykluczającej:
∃x(F x ∨ Gx) |==| ∃x F x ∨ ∃x Gx
r ia
ły
do
w
Najłatwiej to udowodnić stosując: zależności pomiędzy kwantyfikatorami, prawo de Morgana i prawo
rozdzielność kwantyfikatora ogólnego względem spójnika koniunkcji. Najpierw pokażemy to dla zanegowanych formuł:
M
a te
∼(∃x F x ∨ ∃x Gx) |==| ∼ ∃x F x ∧ ∼ ∃x Gx
|==| ∀x ∼ F x ∧ ∀x ∼ Gx
|==| ∀x(∼ F x ∧ ∼ Gx)
|==| ∀x ∼(F x ∨ Gx)
|==| ∼ ∃x(F x ∨ Gx)
Zastosowaliśmy kolejno: prawo de Morgana (dla negacji alternatywy), pewna zależność pomiędzy kwantyfikatorami, rozdzielność kwantyfikatora ogólnego względem spójnika koniunkcji, ponownie prawo de
Morgana (w odwrotnej kolejności zapisane) i tą samą co poprzednio zależność pomiędzy kwantyfikatorami. Z uzyskanego wzoru:
∼(∃x F x ∨ ∃x Gx) |==| ∼ ∃x(F x ∨ Gx)
po zastosowaniu opuszczania negacji otrzymamy szukane prawo rozdzielności. Oczywiście, można to
także udowodnić na różne inne sposoby.
Podana równoważność odpowiada następującej równoważności zachodzącej dla zdań kategorycznych
z niewykluczająco rozumianym spójnikiem ‘lub’:
Jakiś S jest P-em lub M-em |==| Jakiś S jest P-em ∨ jakiś S jest M-em
Pierwsze z użytych zdań kategorycznych ma następujący zapis kwantyfikatorowy:
∃x S x ∧ (Px ∨ M x)
Drugie zaś zapiszemy, oczywiście, jako następującą alternatywę niewykluczającą:
∃x(S x ∧ Px) ∨ ∃x(S x ∧ M x)
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 15
230
Pokażemy, że dla dowolnych dwóch formuł F x i Gx dwie poniższe formuły są logicznie równoważne:
∃x F x ∧ (Gx ∨ H x)
∃x(F x ∧ Gx) ∨ ∀x(F x ∧ H x)
Udowodnimy wykorzystując podane do tej pory fakty.21 Po pierwsze, korzystamy z tego, że:
p ∧ (q ∨ r) |==| (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Istotnie, lewa strona jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy p jest prawdziwe oraz prawdziwe jest co
najmniej jedno z q i r. To jest także wystarczające i wymagane dla prawdziwości prawej strony.
Zatem jakiś obiekt spełnia formułę F x ∧ (Gx ∨ H x) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia formułę: (F x ∧
Gx) ∨ (F x ∧ H x). Stąd:
∃x F x ∧ (Gx ∨ H x) |==| ∃x (F x ∧ Gx) ∨ (F x ∧ H x)
Na koniec, do prawej strony zastosujemy rozdzielność kwantyfikatora szczegółowego względem spójnika
alternatywy niewykluczającej (bierzemy: F x/(F x ∧ Gx) i Gx/(F x ∧ H x)), dostając:
∃x F x ∧ (Gx ∨ H x) |==| ∃x (F x ∧ Gx) ∧ (F x ∧ H x)
|==| ∃x(F x ∧ Gx) ∨ ∃x(F x ∧ H x)
,2
01
6/2
01
7
Kwantyfikator szczegółowy nie jest jednak rozdzielny względem spójnika alternatywy wykluczającej. I to jest kolejnym powodem, dla którego alternatywa wykluczająca nie jest analizowana w logice
matematycznej. Pokażemy, że:
∃x(F x ⊻ Gx) |=6 =| ∃x F x ⊻ ∃x Gx
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
Istotnie, wystarczy jako uniwersum rozważań wziąć zbiór wszystkich liczb naturalnych, jako F x wziąć
formułę ‘x > 5’, a jako Gx wziąć formułę ‘x < 8’. W tej interpretacja lewa strona pierwszego wzoru jest
prawdziwa, gdyż jakaś liczba ma dokładnie jedną z tych dwóch własności. Prawa strona jest zaś fałszywa,
gdyż ma oba prawdziwe składniki (‘Jakaś liczba naturalna jest większa od 5’ oraz ‘Jakaś liczba naturalna
jest mniejsza od 8’). A alternatywa wykluczająca dwóch zdań prawdziwych jest fałszywa.
Kwantyfikator szczegółowy nie jest także rozdzielny względem spójnika koniunkcji, czyli:
∃x(F x ∧ Gx) |=6 =| ∃x F x ∧ ∃x Gx
M
Istotnie, wystarczy jako uniwersum rozważań wziąć zbiór wszystkich liczb całkowitych, jako F x wziąć
formułę ‘x jest ujemna’, a jako Gx wziąć formułę ‘x nie jest ujemna’. W tej interpretacja lewa strona jest
fałszywa (‘Jakaś liczba całkowita jest ujemna i jest nieujemna’). Prawa strona jest prawdziwa, gdyż ma oba
składniki prawdziwe (‘Jakaś liczba całkowita jest ujemna’ oraz ‘Jakaś liczba całkowita jest nieujemna’).
Analogicznie pokazujemy, że
Jakiś S jest P-em i M-em |=6 =| Jakiś S jest P-em ∧ jakiś S jest M-em
Wystarczy podstawić: S /liczba całkowita; P/dodatnia; M/nieujemna. Wtedy lewa strona jest fałszywa
(‘Jakaś liczba całkowita jest ujemna i nieujemna’). Prawa strona jest prawdziwa, gdyż ma oba składniki
prawdziwe (‘Jakaś liczba całkowita jest ujemna’ oraz ‘Jakaś liczba całkowita jest nieujemna’).
Jednakże, w szczególnym przypadku, gdy w formule F (odp. G) nie występuje jako wolna zmienna
‘x’, to dostajemy odpowiednio:
∃x(F ∧ Gx) |==| F ∧ ∃x Gx
∃x(F x ∧ G) |==| ∃x F x ∧ G
∀x(F ∨ Gx) |==| F ∨ ∀x Gx
∀x(F x ∨ G) |==| ∀x F x ∨ G
Najpierw pokażemy, że
∃x(F ∧ Gx) |= F ∧ ∃x Gx
Załóżmy, że ∃x(F ∧ Gx). Do przesłanki tej stosujemy regułę wyboru: wybieramy dowolny obiekt spełniający formułę F ∧ Gx. Oznaczamy ten obiekt przez ‘w’. Mamy więc dodatkowe założenie związane z
regułą wyboru: F ∧ Gw. Stąd też mamy dwa zdania: F oraz Gw. Do drugiego stosujemy wynikanie (∃D):
Gw |= ∃x Gx. Otrzymujemy więc: F ∧ ∃x Gx.
21
Oczywiście, można też podać dedukcję «bezpośrednio», czyli nie korzystając z ogólnych faktów.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 15
231
Teraz wykażemy, że zachodzi wynikanie odwrotne, tj.:
F ∧ ∃x Gx |= ∃x(F ∧ Gx)
Załóżmy, że F ∧ ∃x Gx. Zatem mamy dwa zdania F oraz ∃x Gx. Do tego drugiego stosujemy regułę
wyboru: wybieramy dowolny obiekt spełniający formułę Gx. Oznaczamy ten obiekt przez ‘w’. Mamy więc
dodatkowe założenie założenie związane z regułą wyboru: Gw. Stąd mamy: F ∧ Gw. Do tego stosujemy
wynikanie (∃D): (F ∧ Gx)wx |= ∃x(F ∧ Gx). Otrzymujemy więc: ∃x(F ∧ Gx).
Gdyby w F była zmienna wolna ‘x’ to (F ∧ Gx)wx byłoby (F x ∧ Gx)wx , czyli Fw ∧ Gw, a nie F x ∧ Gw.
Dla kwantyfikatora ogólnego najpierw stosujemy wzór dla negacji:
∼ ∀x(F ∨ Gx) |==| ∃x ∼(F ∨ Gx)
|==| ∃x(∼ F ∧ ∼ Gx)
|==| ∼ F ∧ ∃x ∼ Gx)
|==| ∼ F ∧ ∼ ∀x Gx)
|==| ∼(F ∨ ∀x Gx)
Następnie opuszczamy negacje otrzymując:
∀x(F ∨ Gx) |==| F ∨ ∀x Gx
,2
01
6/2
01
7
Pozostałe dwa dostajemy odpowiednio z przemienności koniunkcji i alternatywy niewykluczającej.
Mając te fakty, otrzymujemy również szczególne przypadki dla implikacji materialnej. Pierwszy:
∀x(F → Gx) |==| F → ∀x Gx
yk
ła d
uL
PK
gdzie w F nie ma zmiennej wolnej ‘x’.
ły
do
w
∀x(F → Gx) |==| ∀x(∼ F ∨ Gx)
|==| ∼ F ∨ ∀x Gx
|==| F → ∀x Gx
M
Na koniec wykażemy:
p → q |==| ∼ p ∨ q
a te
r ia
Dwa razy skorzystaliśmy z równoważności:
∀x(F x → G) |==| ∃x F x → G
gdzie w G nie występuje jako wolna zmienna ‘x’. Istotnie otrzymujemy:
∀x(F x → G) |==| ∀x(∼ F x ∨ G)
|==| ∀x(G ∨ ∼ F x)
|==| G ∨ ∀x ∼ F x)
|==| G ∨ ∼ ∃x F x
|==| ∼ ∃x F x ∨ G
|==| ∃x F x → G
W dwóch poniższych przykładach podamy zastosowanie ostatniej równoważności logicznej.
Przykład 5.1. Przechodniość relacji mniejszości < w zbiorze liczb naturalnych (jak również w innych
zbiorach liczbowych) wyrażamy za pomocą poniższego zdania:
∀y∀z∀x (y < x ∧ x < z) → y < z
Dla ułatwienia, opuścimy dwa pierwsze kwantyfikatory, biorąc dwie dowolne liczby naturalne n i m.
Otrzymamy:
∀x (n < x ∧ x < m) → n < m
Bierzemy więc
F x: (n < x ∧ x < m)
G: n < m
Zatem G nie ma w ogóle zmiennej ‘x’. Podana równoważność logiczna
∀x(F x → G) |==| ∃x F x → G
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 15
232
mówi, że z poprzednim zapisem przechodniości logiczne równoważny jest poniższy zapis:
∃x(n < x ∧ x < m) → n < m
Skoro liczby n i m były dowolne oraz wolno dodawać kwantyfikatory dla formuł równoważnych logicznie,
więc otrzymujemy ogólne zdanie:
∀y∀z ∃x(y < x ∧ x < z) → y < z
Jest to inny, logicznie równoważny z poprzednim, zapis przechodniości relacji mniejszości <.
⋄
Mamy też «humanistyczny» przykład:
Przykład 5.2. Rozważmy poniższe zdanie traktowane jako implikacja materialna:
Jeśli Jan przeczytał jakiś poemat, to Jan przeczytał Pana Tadeusza.
Podpada ono pod schemat ‘∃x F x → G’. Tutaj zmienna ‘x’ dotyczy poematów. Zatem ‘∃x F x’ zastępuje
zdanie ‘Jan przeczytał jakiś poemat’. Litera ‘G’ zastępuje zaś zdanie ‘Jan przeczytał Pana Tadeusza’ (nie
ma w nim w ogóle zmiennej ‘x’).
Pod schemat ‘∀x(F x → G)’ podpada zaś poniższe zdanie:
,2
01
6/2
01
7
Dla dowolnego poematu, jeśli Jan go przeczytał, to Jan przeczytał Pana Tadeusza.
Dosłownie biorąc:
yk
ła d
uL
PK
Dla dowolnego poematu x: jeśli Jan przeczytał x, to Jan przeczytał Pana Tadeusza.
M
a te
r ia
ły
do
w
Tutaj: ‘F x’ zastępuje ‘Jan przeczytał x’, a ‘G’ zastępuje ‘Jan przeczytał Pana Tadeusza’. Także tutaj
zmienna ‘x’ odnosi się do poematów. Widzimy więc, że oba zdania są logicznie równoważne.
⋄