– 13 – 2. ELEMENTY TEORII PRĘTÓW SILNIE ZAKRZYWIONYCH

P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
2. ELEMENTY TEORII PRĘTÓW SILNIE ZAKRZYWIONYCH
(Opracowano na podstawie [9, 11, 13, 34, 51])
2.1. Przemieszczenia i odkształcenia osiowe
Przez pręty silnie zakrzywione rozumie się takie, dla których nie można przyjąć, że proporcja
pomiędzy poprzecznym wymiarem przekroju pręta h a promieniem krzywizny R jest pomijalnie
mała. W praktyce jako graniczną wartość można przyjąć h / R = 0 , 2 (por. [11, 13]).
Badania doświadczalne [9] oraz rozważania teorii sprężystości [51] wykazały, że także
dla prętów silnie zakrzywionych słuszna jest hipoteza płaskich przekrojów Bernoulliego. W
związku z tym rozkład przemieszczeń obwodowych u na wysokości przekroju można przyjąć jako
liniowy.
Rozważmy wycinek pręta silnie zakrzywionego o promieniu krzywizny początkowej R, długości
osi środkowej dl(0) i początkowym kącie rozwarcia dα przedstawiony na Rys. 2.1.
h
du ( z )
dl ( z )
dl ( 0 )
z
du ( 0 )
∆ dα
R
dα
dα + ∆ dα
Rys. 2.1
Przemieszczenie osiowe włókna leżącego w odległości z od osi środkowej wynosi:
du ( z ) = du ( 0 ) + z ∆dϕ.
Uogólnione odkształcenie liniowe tego włókna:
ε( z ) =
du ( z ) du (0) + z∆dα
1  du (0)
R∆dϕ 
 R
.
=
=
+z
(R + z )dα
dl ( z )
R + z  Rdϕ
Rdϕ 
Jeżeli wprowadzimy następujące oznaczenia:
∆dϕ
=η
Rd ϕ
– względny przyrost kąta obrotu przekroju,
du ( 0)
=λ
dl ( 0)
– względne wydłużenie osi środkowej,
Rd ϕ = dl ( 0) – długość włókna środkowego,
to odkształcenie ε( z ) można przedstawić w postaci:
ε ( z ) = λ + ( Rη − λ )
– 13 –
z
z+R
(2.1)
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
Zmianę krzywizny wycinka można wyrazić jako różnicę krzywizny końcowej i krzywizny
początkowej:
1
1
κ=
− .
Rk R
Końcowy promień krzywizny wynosi:
Rk =
1+ λ
dl (0) + du (0) dl (0) ⋅ (1 + λ )
=
=R
,
dϕ + ∆dϕ
dϕ ⋅ (1 + Rη)
1 + Rη
co prowadzi do wyrażenia zmiany krzywizny κ w postaci:
κ=
1  1 + Rη  1 Rη − λ
− 1 =
.

R  1+ λ
 R 1+ λ
Dla małych odkształceń można przyjąć: 1 + λ ≈ 1 i ostatecznie:
κ=
1
(Rη − λ )
R
(2.2)
Podstawienie (2.2) do (2.1) daje końcową postać wyrażenia na odkształcenie osiowe w pręcie
z dużą krzywizną określone przez uogólnione odkształcenia λ oraz κ:
ε( z) = λ + κ
zR
z+R
(2.3)
2.2. Naprężenia normalne
Rozkład odkształceń na wysokości przekroju pomimo zachowania hipotezy płaskich przekrojów
jest nieliniowy. Pominięcie wpływu dużej krzywizny w (2.3), co jest równoważne przyjęciu
z / R = 0, daje znaną postać liniowej zależności odkształcenia ε od współrzędnej z.
Jeżeli przyjmie się, że materiał pręta jest liniowo sprężysty, to naprężenia normalne można
wyrazić przez uogólnione odkształcenia korzystając z prawa Hooke'a:
σ ( z ) = E ⋅ ε ( z ) = Eλ + Eκ
zR
z+R
(2.4)
gdzie: E – moduł Younga.
Korzystając z definicji sił wewnętrznych – sił normalnych N oraz momentu zginającego M:
N = ∫ σ( z )dA ,
M = ∫ σ( z ) zdA ,
A
A
gdzie A – pole powierzchni przekroju pręta,
można znaleźć:
M = EI ∗κ
oraz
N = EA λ −
EI ∗
κ .
R
We wzorach określających moment zginający M i siłę normalną N występuje wielkość I ∗ . Jest to
zmodyfikowany moment bezwładności przekroju definiowany jako:
– 14 –
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
Rz 2
I =∫
dA
Az+R
∗
Przy pominięciu wpływu dużej krzywizny
(z / R ≈ 0)
(2.5)
wartość zmodyfikowanego momentu
bezwładności pokrywa się z wartością momentu bezwładności przekroju I. W przypadku dużej
krzywizny I ∗ > I . Dla przekroju prostokątnego o wysokości h otrzymuje się:
I ∗ = µI ,
gdzie:
 R  3  2 R + h   R  2 
µ = 12  ⋅ ln
−   .
 2 R − h   h  
 h 
Zmianę krzywizny oraz względne wydłużenie można więc wyrazić przez uogólnione siły
przekrojowe N oraz M:
M
κ= ∗
EI
oraz
N
M
λ=
+
.
EA EAR
Po podstawieniu otrzymanych w ten sposób wartości zmiany krzywizny i względnego
wydłużenia do (2.3) i (2.4) można wyrazić odkształcenia i naprężenia osiowe poprzez uogólnione
siły N oraz M:
N
M
M zR
+
+ ∗⋅
A AR I z + R
N
M
M
zR
ε( z ) =
+
+ ∗⋅
EA EAR EI z + R
σ( z ) =
(2.6)
(2.7)
Wzór (2.6) wskazuje, że w stanie czystego zginania pręta o dużej krzywiźnie następuje
przesunięcie osi obojętnej przekroju w kierunku środka krzywizny pręta.
2.3. Naprężenia styczne i odkształcenia poprzeczne
Dla prętów o dużej krzywiźnie można przyjąć taki sam rozkład naprężeń stycznych i odkształceń
postaciowych jak dla prętów prostoliniowych (por. [9, 50]).
Związek między uśrednioną wartością kąta odkształcenia postaciowego γ a siłą poprzeczną T ma
postać:
κT
γ=
(2.8)
GA
gdzie: G – moduł ścinania,
κ – współczynnik korekcyjny ścinania.
2.4. Energia sprężysta pręta o dużej krzywiźnie
Całkowita energia sprężysta pręta składa się z części związanej z pracą naprężeń osiowych
oraz naprężeń stycznych (lub siły poprzecznej):
– 15 –
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
U=
1
1
σ( z )ε( z )dV + ∫ Tγdl = U σ + U τ
∫
2V
2l
(2.9)
Pierwszą całkę można doprowadzić do postaci zawierającej uogólnione siły N i M
oraz uogólnione odkształcenia λ i κ (lub η).

1
1 
U σ = ∫ σεdV = ∫  ∫ σεdA dl ,
2V
2 l A

gdzie:
z

dl = ( R + z )dα = 1 + dl .
 R
W tym wyrażeniu dl oznacza przyrost długości wzdłuż osi środkowej pręta. Stąd:
Uσ =
1
1
z
σεdAdl + ∫ ∫ σε dAdl .
∫
∫
2lA
2lA R
Podstawia się teraz wzór (2.3) co daje:
Uσ =
1
1
zR
1
z
dAdl + ∫ ∫ σε dAdl .
σλdAdl + ∫ ∫ σκ
∫
∫
2lA
2l A z+R
2lA R
W pierwszej całce : ∫ σdA = N ; w drugiej:
A
Uσ =
zR
z2
= z−
i stąd:
z+R
z+R
1
1
1
z2
1
z
N
λ
dl
+
σκ
zdAdl
−
σκ
dAdl + ∫ ∫ σε dAdl .
∫
∫
∫
∫
∫
2l
2lA
2l A z+R
2lA R
Do drugiej całki podstawia się teraz wzór (2.2):
Uσ =
1
1
1
z
1
z2
1
z
N
dl
zdAdl
dAdl
dAdl + ∫ ∫ σε dAdl .
λ
+
ση
−
σλ
−
σκ
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2l
2lA
2lA R
2l A z+R
2lA R
W drugiej całce: ∫ σzdA = M , a trzecią i czwartą można połączyć:
A
1
1
1
z
Rz 2 
1
z

dAdl + ∫ ∫ σε dAdl .
U σ = ∫ Nλdl + ∫ Mηdl − ∫ ∫ σ  λ + κ

2l
2l
2 l A R
z (z + R ) 
2lA R
Wyrażenie w nawiasie w trzeciej całce przedstawia odkształcenie ε, całki trzecia i czwarta
upraszczają się i ostatecznie otrzymuje się:
Uσ =
1
1
Nλdl + ∫ Mηdl
∫
2l
2l
(2.10)
Wzór ten można zinterpretować następująco: wyraża on pracę siły normalnej N na względnym
wydłużeniu osi środkowej λ i momentu zginającego M na względnym przyroście kąta obrotu
przekroju η (por. [9]).
– 16 –
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
Ostatecznie więc energia sprężysta pręta silnie zakrzywionego wyrażona przez uogólnione
odkształcenia i naprężenia ma postać:
U=
1
1
1
Nλdl + ∫ Mηdl + ∫ Tγdl
∫
2l
2l
2l
(2.11)
Można ją wyrazić przez odkształcenia uogólnione jako:
2
λ
1
1
1 GA 2

γ dl
U = ∫ EAλ2 dl + ∫ EI ∗  η −  dl + ∫
2l
2l
R
2l κ

(2.12)
oraz przez naprężenia uogólnione:
1 N2
1 M2
1 M2
1 κT 2
MN
U= ∫
dl + ∫ ∗ dl + ∫
dl + ∫
dl + ∫
dl
2 l EA
2 l EI
2 l EAR 2
2 l GA
l EAR
(por. [9, 13]). Ewentualnie po podstawieniu zastępczego momentu bezwładności J:
J=
I ∗ AR 2
I ∗ + AR 2
energia sprężysta wynosi:
U=
1 N2
1 M2
MN
1 κT 2
dl
dl
dl
dl
+
+
+
∫ EAR
2 ∫l EA
2 ∫l EJ
2 ∫l GA
l
(2.13)
W celu wyrażenia energii sprężystej pręta przez przemieszczenia obwodowe u, promieniowe v
oraz całkowity kąt obrotu przekroju ϕ, w którym uwzględnia się także średni kąt odkształcenia
postaciowego, (Rys. 2.2) należy wyznaczyć zależności pomiędzy odkształceniami uogólnionymi λ,
η oraz γ a tymi przemieszczeniami.
ϕ+∂ ϕ
R
ϕ
v
u
v+∂ v
dα
u +∂ u
Rys. 2.2
Zostaną one obliczone na podstawie rozważań geometrycznych (Rys. 2.3). Rozpatruje się
fragment łuku o kącie rozwarcia dα i wymiarze w kierunku promieniowym dr.
v+
u+
∂v
dr
∂r
γ4
∂u
dr
∂r
γ2
γ3
γ1
v
v+
∂v
dα
∂α
u+
∂u
dα
∂α
u
Rys. 2.3
– 17 –
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
Tensor odkształcenia (płaski stan odkształcenia) ma postać:
 ε rr
ε=

ε αr
ε rα 
 .

ε αα 
Poszczególne elementy tego tensora można wyrazić:
∂v
v + dr − v
∂v
∂r
ε rr =
=
,
dr
∂r
ε αα =
ε rα
u+
∂u
dα − u
Rdα − (R + v )dα
∂u
v
∂α
+
=
− ,
Rdα
Rdα
R∂α R
∂v
∂u


v+
dα − v u +
dr − u

1
1
1
1
u 
∂α
∂
r
= γ = (γ 1 − γ 2 ) = (γ1 − γ 3 + γ 4 ) =
−
+
=
2
2
2
2
Rdα
dr
R




1  ∂v
∂u u 
= 
−
+ .
2  R∂α ∂r R 
Wyrażając funkcje przemieszczeń przez przemieszczenia osi środkowej pręta zakrzywionego
otrzymuje się:

0

ε=
 1  ∂v + u 
 2  R∂α R 
1  ∂v
u 
+ 

2  R∂α R 
.
∂u
v 
−
R∂α R 
Stąd wielkości uogólnionych odkształceń można przedstawić w postaci:
λ = ε αα ,
η=
∂ϕ
,
R ∂α
γ = ϕ − 2 ε rα .
Zapisując:
R ∂α = ∂l
∂( )
=(
∂l
oraz
otrzymuje się:
λ = u ,l −
),l
v
R
η = ϕ ,l
u
− v ,l
(2.14)
R
Wykorzystując zależności (2.14) można ostatecznie wyrazić energię sprężystą pręta
przez przemieszczenia:
γ =ϕ−
2
2
2
u ,l
1
v
1
v 
1 GA 
u


∗
 dl + ∫
U = ∫ EA u ,l −  dl + ∫ EI  ϕ ,l −
+
 ϕ − − v,l  dl
2l 
R
2l
R R 2 
2l κ 
R


– 18 –
(2.15)