ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH 1 1. SFORMUŁOWANIE

Transkrypt

ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH
1
1. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA TZW."CZYSTEGO ROZCIĄGANIA"
x3
A
x2
L
q
x1
- pręt pryzmatyczny, utwierdzony "punktowo w pkt. A (0,0,0)
- x1 - oś podłużna pręta, x2, x3 - osie centralne przekroju
denko q ( q,0,0 )
- obciążenie zewnętrzne:
q = const
pobocznica q ( 0,0,0 )
P ( 0,0,0 )
- siły masowe
ZADANIE: wyznaczyć tensor napręż. Tσ , tensor odkszt. Tε i wektor przemieszczenia u .
2. ROZWIĄZANIE
2.1. Komplet równań TS
σ i j, j = 0
(1)
ε i j = 1 ( u i, j + u j, i )
2
ε ij = 1
E
+
pobocznica
+
[ ( 1+ ν ) σ i j − ν σ kk δ i j ]
(3)
q νi = σ i j α ν j
statyczne war. brzegowe
denko x1 = L ,
(2)
ν ( 1, 0 , 0 )
ν ( 0,α ν2 ≠ 0,α ν3 ≠ 0 )
q = σ 11 × 1

0 = σ 21 × 1
0 = σ 31 × 1

(4a)
0 = σ 12 α ν 2 + σ 13 α ν 3

0 = σ 2 2 α ν 2 + σ 2 3 α ν 3
0 = σ 3 2 α ν 2 + σ 3 3 α ν 3

(4b)
kinematyczne war. brzegowe w pkt. utwierdzenia A (0, 0,0)
u1 = u2 = u3 = 0
 ∂ u2
 ∂ x = 0
1
 ∂u
 1 =0
 ∂ x 2
 ∂ u2
 ∂ x 3 = 0
∂u
 3 =0
 ∂ x 2
(5)
 ∂ u1
 ∂ x 3 = 0
∂u
 3 =0
 ∂ x1
2
2.2. Podejście statyczne do zagadnienia brzegowego
"wymyślić" Tσ
sprawdzić stat. war. brzeg.
sprawdzić równ. Naviera
wyznaczyć odkształcenia
ε = ε (σ )
ij
ij
ij
sprawdzić równ. nierozdz. odkszt.
wyznaczyć przemieszczenia
ε = 1 ( u i, j + u j, i )
ij
2
+ kinematyczne war. brzegowe
- macierz naprężenia
S ( W II ) = S ( Z I )
M ( W II ) = M ( Z I )
⇒
Tσ
 q 0 0


=  0 0 0
 0 0 0


(6)
Macierz naprężenia (6) spełnia równania równowagi (1) i statyczne warunki brzegowe (4)
- macierz odkształceń (r.Hooke'a)
ε 11 = 1
E
[ ( 1 + ν ) σ 11 − ν ( σ 11 + σ 22 + σ 33 ) ] = E1 q
ε 22 = 1
E
[ ( 1 + ν ) σ 22 − ν ( σ 11 + σ 22 + σ 33 ) ] = − Eν q
ε 33 = 1
E
[ ( 1 + ν ) σ 33 − ν ( σ 11 + σ 22 + σ 33 ) ] = − Eν q
ε 12 = 1
E
[ ( 1 + ν ) σ 12 ] = 0
ε 13 = ε 23 = 0
0 
1 E 0


Tε =  0 − ν E 0  × q
 0
0 − ν E

(7)
Macierz (7) spełnia równania nierozdzielności odkształceń, gdyż
ε i j = const
⇒
ε i j, k l ≡ 0
- funkcje przemieszczeń (rów. Cauchy'ego)
∂ u1 q
=
∂ x1 E
∂ u2
q
=−ν
∂ x2
E
∂ u3
q
=−ν
∂ x3
E
∂ u1 ∂ u 2
+
=0
∂ x 2 ∂ x1
∂ u2 ∂ u3
+
=0
∂ x3 ∂ x2
∂ u1 ∂ u 3
+
=0
∂ x 3 ∂ x1
Ukł. (8) to układ 6 równań różniczkowych cząstkowych liniowych I rzędu
" CORN" = "CORJ" + "CSRN"
⇒
u i = u io + u is
(8)
3
Całka ogólna równania jednorodnego opisuje przemieszczenia punktów ciała sztywnego (rów.
jednorodne tzn. εij =0, a to oznacza brak odkształceń ciała, czyli zarazem ciało sztywne). W
każdym zagadnieniu teorii sprężystości całka ogólna jest identyczna.
u 1o ( x 2 , x 3 ) = a + b x 2 + c x 3
- całka ogólna
u o2 ( x1 , x 3 ) = d − b x1 + f x 3
u o3 ( x1 , x 2 ) = g − c x1 − f x 2
- całka szczególna równania niejednorodnego : metoda przewidywania
- funkcje przemieszczeń
u 1 ( x1 , x 2 , x 3 ) =
q
x1 + a + b x 2 + c x 3
E
u 2 ( x1 , x 2 , x 3 ) = − ν
q
x 2 + d − b x1 + f x 3
E
u 3 ( x1 , x 2 , x 3 ) = − ν
q
x 3 + g − c x1 − f x 2
E
(9)
Stałe całkowania a, b, c, d, f, g należy wyznaczyć z kinematycznych war. brzegowych (5).
a=b=c=d=f=g=0
u 1 ( x1 , x 2 , x 3 ) =
q
x1
E
u 2 ( x1 , x 2 , x 3 ) = − ν
q
x2
E
u 3 ( x1 , x 2 , x 3 ) = − ν
q
x3
E
(10)
WNIOSEK : Macierz naprężenia (6) macierz odkształcenia (7) i wektor przemieszczenia (10)
spełniają ściśle komplet równań teorii sprężystości wraz ze statycznymi i kinematycznymi war.
brzegowymi. Są więc ścisłym rozwiązaniem zagadnienia czystego rozciągania dla pręta
stanowiącego przedmiot analizy.
3. ANALIZA ROZWIĄZANIA
1.
Stan naprężenia opisany przez macierz (6) to jednorodny (identyczny w każdym punkcie
ciała) i jednoosiowy (tylko jeden element macierzy naprężenia jest niezerowy) stan
naprężenia.
2.
Diagonalna postać macierzy naprężenia świadczy o tym, że jedyne niezerowe naprężenie
σ11 jest maksymalnym naprężeniem normalnym spośród wszystkich możliwych
odpowiadających dowolnym płaszczyznom przekroju pręta.
3.
Stan odkształcenia opisany przez macierz (7) to jednorodny (identyczny w każdym
punkcie ciała) i trójosiowy (niezerowe składowe w 3 wzajemnie prostopadłych
kierunkach) stan odkształcenia.
4. Diagonalna postać macierzy odkształcenia świadczy, że czystemu rozciąganiu towarzyszą
jedynie odkształcenia liniowe. Włókna równoległe do osi x1 wydłużają się najbardziej, a
równoległe do x2 i x3 najmniej.
5.
Analiza deformacji pręta.

wydłużenie pręta
4
x3
b
q
x1
E
u1 =
x2
def
u 1 ( x 1 = L ) = ∆L =
L
h
∆L q
=
L
E
x1
q
L
E
ε 1 = ∆L
L
⇒
∆L

przemieszczenia punktów przekroju poprzecznego (na przykładzie przekroju
prostokątnego o wymiarach początkowych b x h)
Funkcje przemieszczeń u2 i u3 nie zależą od zmiennej x1 (tzn. położenia przekroju
poprzecznego), tak więc deformacja każdego przekroju poprzecznego jest identyczna.
x3
u2 = −ν
b
u 2 ( x 2 = ±b 2 ) = m ν
x2
∆b
2
∆b
2
q
x2
E
q b
E 2
q
∆ b = u 2  b  + u 2  − b  = ν b
 2
 2 
E
∆b
q
=ν
b
E
⇒
ε2 = −
x3
x2
∆h
2
u3 = −ν
q
x3
E
ε3 = −
∆h
h
h
∆h
2
x3
x2
x1
∆b
b
5
4. INNE WIĘZY KINEMATYCZNE DLA PRĘTA PODDANEGO CZYSTEMU ROZCIĄGANIU
1. Jeżeli więzy są takie, że narzucają 6 warunków, to tensory naprężenia (6) i odkształcenia (7)
nadal są ścisłym rozwiązaniem zagadnienia brzegowego. Funkcje przemieszczeń są opisane
równaniami (9), z których należy wyznaczyć uprzednio 6 stałych z 6 war. kinem.
2. Jeżeli więzy są takie, że narzucają mniej niż 6 warunków, to pręt jest układem geometrycznie
zmiennym.
3. Jeżeli więzy są takie, że narzucają więcej niż 6 warunków, to rów. Cauchy'ego muszą prowadzić
do innych "prawych" stron niż w ukł. (8), bowiem całka szczególna musi "wprowadzić" dodatkowe
stałe (te powyżej 6 "standardowych"). "Prawe" strony to odkształcenia, które wynikają z przyjętej
macierzy naprężenia. Tak więc macierz naprężenia musi być przyjęta odmiennie od tej w postaci
(6).
5. INNE PRZYPADKI OBCIĄŻENIA ROZCIĄGAJĄCEGO (PROSTE ROZCIĄGANIE)
5.1. Zasada de Saint-Venant'a
B
A

znane jest rozwiązanie dla układu sił jak na rys. A

obciążamy ciało innym układem sił (rys. B), ale statycznie równoważnym (tzn.
SA ≡ SA ; M A ≡ M A )
Zasada de Saint-Venanta : Tσ , Tε , u nie zmieniają się z wyjątkiem niewielkiego obszaru wokół
miejsca przyłożenia obciążenia.
5.2. Redukcja obciążenia przy czystym rozciąganiu do środka ciężkości przekroju
q ( q, 0 , 0 )
S1 =
r ( 0 , x2 , x3
∫∫ q d A = q A
M1 =
∫∫
0 dA = 0
M2 =
∫∫
0 dA = 0
M3 =
A
S2 =
∫∫ ( x2 0 − x3 0) d A = 0
A
A
S3 =
)
∫∫ x3 q d A = q ∫∫ x3 A = 0
A
A
∫∫
A
− x2 q d A = − q
A
∫∫ x2 d A = 0
A
WNIOSEK: obciążenie przy czystym rozciąganiu redukuje się w środku ciężk. przekroju
poprzecz. do wypadkowej N (q A, 0, 0), a zatem do siły osiowej (podłużnej).
DEFINICJA: każdy przypadek takiego obciążenia pręta, które redukuje się do siły osiowej
nazywamy prostym rozciąganiem lub krótko rozciąganiem.
5.3. Składowe tensora naprężenia i odkształcenia w prostym rozciąganiu
σ 11 ≡ σ x = N
A
ε 11 ≡ ε x =
σx
= N
E
EA
σ 22 = σ 33 = τ 12 = τ 13 = τ 23 = 0
σ 22 = σ 33 = − ν
σx
= −ν N
E
EA
τ 12 = τ 13 = τ 23 = 0