Spis treści - Naukowa.pl

Spis treści
Przedmowa
XI
Wprowadzenie
XIII
0.1
Czym jest matematyka dyskretna? . . . . . . . . . . . . . . . XIII
0.2
Podstawowa literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIV
1
2
3
Rekurencja
1.1
Wieże Hanoi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Notacja asymptotyczna . . . . . . . . . . . .
1.3
Liczby trójkątne . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Liczby Fibonacciego . . . . . . . . . . . . .
1.5
Równanie charakterystyczne . . . . . . . . .
1.6
Rekurencja liniowa niejednorodna . . . . . .
1.7
Ruina gracza . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8
Szybkie mnożenie i rekurencje „dziel i rządź”
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
7
10
11
19
23
27
34
42
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47
48
51
55
57
58
62
65
65
67
71
Elementy rachunku prawdopodobieństwa
3.1
Prawdopodobieństwo dyskretne . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Paradoks urodzin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Zasada włączania i wyłączania . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
74
79
84
Kombinatoryka
2.1
Permutacje . . . . . . . . . .
2.2
Silnia . . . . . . . . . . . . .
2.3
Wariacje . . . . . . . . . . .
2.4
Permutacje z powtórzeniami
2.5
Kombinacje . . . . . . . . .
2.6
Współczynniki dwumianowe .
2.7
Współczynniki wielomianowe
2.8
Zasada szufladkowa . . . . .
2.9
Układanie domina . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
VIII
Spis treści
3.4
Szaliki kibiców Korony Kielce . .
3.5
Problem sadowienia gości . . . .
3.6
Prawdopodobieństwo warunkowe
3.7
Twierdzenie Bayesa . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
6
. . .
. . .
. .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
87
91
94
95
98
Więcej kombinatoryki
4.1
Grupa permutacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Liczby Stirlinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Liczby Bella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Triangulacja wielokąta i liczby Catalana . . . . . . . . . . .
4.5
Partycje liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6
Kompendium najczęstszych problemów kombinatorycznych
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
101
101
103
107
110
113
121
122
Grafy
5.1
Spacer Eulera . . . . . . . . . . .
5.2
Grafy Hamiltona . . . . . . . . . .
5.3
Kalejdoskop grafów . . . . . . . .
5.4
Izomorfizm grafów . . . . . . . . .
5.5
Grafy planarne . . . . . . . . . .
5.6
Ile jest grafów? . . . . . . . . . .
5.7
Przeszukiwanie grafów . . . . . . .
5.8
Grafy z wagami . . . . . . . . . .
5.9
Jeszcze o wieżach Hanoi . . . . .
5.10 Drzewo Steinera . . . . . . . . . .
5.11 „Mały świat” . . . . . . . . . . . .
5.12 Kolorowanie wierzchołkowe grafów
5.13 Kolorowanie krawędziowe grafów .
5.14 Liczby Ramseya . . . . . . . . . .
5.15 Kojarzenie małżeństw . . . . . . .
5.16 Drzewa etykietowane . . . . . . .
5.17 Notacja polska . . . . . . . . . . .
5.18 Sieci zdarzeń . . . . . . . . . . . .
5.19 Przepływy w sieciach . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
125
127
139
142
144
146
151
152
155
164
166
173
176
185
188
189
192
197
199
202
208
.
.
.
.
.
.
213
. 213
. 215
. 218
. 223
. 224
. 230
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Algorytmy
6.1
Czym jest algorytm . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Automaty skończone . . . . . . . . . . . . . .
6.3
Maszyna Turinga . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4
Problem 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5
Lodziarz z Pińczowa i algorytm genetyczny . .
6.6
Klasyfikacja złożoności problemów decyzyjnych
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Spis treści
IX
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7
Wskazówki i odpowiedzi do
7.1
Rozdział 1 . . . . . . .
7.2
Rozdział 2 . . . . . . .
7.3
Rozdział 3 . . . . . . .
7.4
Rozdział 4 . . . . . . .
7.5
Rozdział 5 . . . . . . .
7.6
Rozdział 6 . . . . . . .
ćwiczeń
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
239
. 239
. 249
. 254
. 261
. 266
. 272
Bibliografia
273
Skorowidz
277
Przedmowa
Niniejsza książka, przeznaczona dla studentów informatyki oraz wykładowców i prowadzących ćwiczenia, przedstawia najważniejsze i najpotrzebniejsze zagadnienia matematyki dyskretnej, koncentrując się na rekurencji, zaawansowanej
kombinatoryce i klasycznym rachunku prawdopodobieństwa, grafach i algorytmach na grafach oraz sieciach, a także na wybranych elementach teorii algorytmów i ich złożoności. Ambicją autora jest ukazanie istoty tłumaczonego problemu w powiązaniu z elementarnym przeprowadzeniem początkującego studenta,
po dzisiejszej szkole średniej zazwyczaj dość słabo obytego z technikami matematycznymi, poprzez szczegóły rachunkowe. Preferowaną metodą dydaktyczną
jest, w miarę możliwości, ścieżka od szczegółu do ogółu: najpierw ukazywany
i rozwiązywany jest pewien typowy problem z danego działu, a następnie przedstawiana jest ogólna teoria z definicjami, twierdzeniami, wnioskami, przykładami i uogólnieniami. W ten sposób wykładana abstrakcja znajduje wcześniejsze
ugruntowanie w bardziej intuicyjnym przykładzie „z życia”, co powinno ułatwić
zrozumienie i docenienie praktycznego znaczenia wykładanego materiału. Niemniej, niektóre problemy, których wykład nie unika, łatwe nie są i należy przez
nie mozolnie przebrnąć z kartką i ołówkiem w zaciszu domowym. Zgodnie z maksymą „uczyć bawiąc” wiele zagadnień ma charakter rekreacyjny, co rekompensuje
włożony trud w wymagających i może mniej atrakcyjnych, choć ważnych, częściach wykładu. Przy całym ukierunkowaniu na przystępność, wykład dotyczy
matematyki i jej konkretnych zastosowań, zatem w jego śledzeniu niezbędna jest
stosowna koncentracja i doza samozaparcia.
Wykład przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku informatyki, wobec czego wymagana wiedza matematyczna niezbędna do jego śledzenia nie wykracza w zasadzie poza podstawowy program szkoły średniej. Warto jednak zawczasu przypomnieć sobie ten materiał z podręczników szkolnych, w szczególności jego część dyskretną: podstawy logiki, teorii mnogości, kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa. Materiał zahacza też nieco o zazwyczaj biegnące
równolegle lub z wyprzedzeniem standardowe wykłady algebry i analizy matematycznej, w szczególności używa elementarnej znajomości funkcji, układów
równań liniowych, macierzy, ciągów i szeregów, obliczania granic, a także pewnych elementów rachunku różniczkowego i całkowego, jak rozwinięcie Taylora,
całka gaussowska itp.
XII
Przedmowa
Zadaniem wykładu, oprócz przekazu stosownej porcji wiedzy, aparatu pojęciowego i typowych technik analizowania problemów matematyki dyskretnej, jest
również nauczenie logicznego myślenia, „kombinowania”, sprytu matematycznego.
Dlatego też na końcu każdego rozdziału podane są niekoniecznie łatwe problemy,
mające na celu wciągnięcie studenta w tę pasjonującą matematykę. Wiele z tych
zadań wymaga pomysłu, a ich rozwiązywanie częstokroć stawia na równi studenta i profesora, z tą jedyną różnicą, że profesor miał już okazję dłużej myśleć
nad podobnymi zagadnieniami w swojej karierze! Wskazówki bądź rozwiązania
trudniejszych zadań zawarte są na końcu książki.
I jeszcze jedno. Studenci, pamiętajcie:
Pytania nie są niedyskretne, odpowiedzi czasem tak.
Oscar Wilde
Książka jest pisemną wersją wykładów Matematyka dyskretna, wygłoszonych przez autora dla studentów pierwszego roku informatyki na Wydziale
Matematyczno-Przyrodniczym Uniwersytetu Jana Kochanowskiego w Kielcach
w latach 2005–2014.
Autor pragnie podziękować dr. Przemysławowi Kościkowi oraz studentom
informatyki Uniwersytetu Jana Kochanowskiego w Kielcach za uwagi i korektę
tekstu.