niepewnosci analiza

Niepewno ci pomiarowe
Wielko ci fizyczne mog by zmierzone bezpo rednio lub
wyznaczone po rednio na podstawie pomiarów innych wielko ci.
Np. wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła:
T = 2π
l
4π 2l
→ g= 2
g
T
L, T – wielko ci zmierzone bezpo rednio, g – wielko
Pomiar T, np. stoperem:
wyznaczana
Seria pomiarów: 2,24 s, 2,07 s, 2,54 s, 2,70 s, 2,00 s – wyniki
pojedynczych pomiarów s ró ne wskutek bł dów przypadkowych
pomiaru (przypadkowych niedokładno ci czasu wł czenia i wył czenia
stopera). Prawdopodobnie aden z wyników nie jest równy warto ci
okresu. Warto okresu jest nieznana. Chcemy jednak okre li warto
najbardziej zbli on do warto ci prawdziwej. W tym przypadku jest ni
rednia arytmetyczna pojedynczych wyników:
Tsr =
1
n
n
i =1
Ti
Chcemy te wiedzie , o ile przeci tnie rednia arytmetyczna mo e si
ró ni od warto ci prawdziwej. Miar tej ró nicy jest odchylenie
standardowe warto ci redniej:
s (Tsr ) =
W naszej serii:
1
n(n − 1)
n
i =1
(Ti − Tsr )2
Tsr = 2,31 s, s(Tsr) = 0,14 s
(1)
Inna seria pomiarów wykonanych przez osob o lepszym czasie reakcji
mo e da lepsze (bardziej skupione) wyniki, np: 2,26 s, 2,33 s, 2,30 s,
2,25 s, 2,31 s – dla tej serii:
Tsr = 2,290 s, s(Tsr) = 0,016 s
(2)
Gdyby pomiary wykona stoperem o rozdzielczo ci odczytu 0,5 s
otrzymaliby my pi jednakowych wyników: 2,0 s, 2,0 s, 2,0 s, 2,0 s,
2,0 s, i odchylenie standardowe byłoby równe zero.
Jednak warto
rednia (w tym przypadku wynosz ca 2,0 s) w dalszym
ci gu nie jest równa warto ci okresu! Głównym powodem jest tu sposób
działania stopera. Poniewa warto mierzona mo e si zawiera w
przedziale mi dzy 2,0 i 2,5 s, to z tej serii otrzymamy wynik:
T = 2,25 s, s(T) = 0,15 s 1
(3)
1
Odchylenie standardowe dla rozkładu prostok tnego o szeroko ci a wynosi
a
12
1
Niepewno ci pomiarowe
Producent zapewnia w wiadectwie jako ci dokładniejszych stoperów, e
wynik pomiaru czasu (wynikaj cy ze sposobu działania samego stopera)
w zakresie do 100 s mo e by zani ony o nie wi cej ni 0,05 s. Oznacza
to, e bł d metody pomiaru z równym prawdopodobie stwem zawiera
si w przedziale miedzy –0,05 s a 0 s. Oczekiwana warto bł du wynosi
zatem T = –0,025 s z odchyleniem standardowym równym
s( T) = 0,015 s.
Po uwzgl dnieniu bł du metody dla dwóch pierwszych serii
pomiarowych warto ci skorygowane pomiaru okresu wynios :
T1 = 2,31 s – (-0,025 s) = 2,335 s i u(T1) = 0,136 s
co po stosownych zaokr gleniach zapiszemy ostatecznie jako:
T1 = 2,34(14) s
T2 = 2,290 s – (-0,025 s) = 2,315 s i u(T2) = 0,0209 s
co zapiszemy ostatecznie jako:
T2 = 2,315(21) s
T3 = 2,25(15) s
Przy ustaleniu wyników otrzymanych dla pierwszej i drugiej serii
pomiarów okresu uwzgl dnili my bł d metody. Standardowa niepewno
wyznaczonej warto ci okresu została obliczona zgodnie ze wzorem na
propagacj niepewno ci pomiarowych
u c (T ) = u (Tsr ) 2 + u ( ∆T ) 2
gdzie u(Tsr) = s(Tsr) i u( T) = s( T).
Wielko ci u(Tsr) i uc(T) nazywamy odpowiednio niepewno ci
standardow warto ci Tsr i zło on niepewno ci standardow warto ci
T.
Zwró my uwag , e w pierwszym przypadku bł d metody praktycznie
nie wpływa na ko cow niepewno wyniku i wła ciwie mo na go
pomin . W drugim przypadku korekta wpływa na zmierzon warto
okresu i na ko cow niepewno .
Otrzymali my trzy wyniki pomiarów tego samego okresu. Prawdziwa
warto okresu jest nadal nieznana, ale teraz mo emy poda warto
bardziej zbli on do prawdziwej. Poniewa niepewno ci poszczególnych
wyników s ró ne, warto prawdziwa jest zapewne najbli sza temu
wynikowi pomiaru, którego niepewno była najmniejszy.
2
Niepewno ci pomiarowe
Najlepszym przybli eniem warto ci prawdziwej jest tu rednia wa ona:
n
i =1
n
Tw =
i =1
Niepewno
Ti
uc (Ti ) 2
1
uc (Ti ) 2
redniej wa onej wynosi:
u c (Tw ) =
1
n
i =1
1
uc (Ti ) 2
W naszym przypadku: T = 2,314(21) s
Wyniki pomiarów długo ci wahadła mo na opracowa w podobny
sposób, otrzymuj c, np., L = 1,3100(50) m.
Warto przyspieszenia ziemskiego wyznaczamy przy u yciu wielko ci
zmierzonych, według wzoru wyprowadzonego na pocz tku. Na bł d
wyznaczonej warto ci wpływaj bł dy warto ci zmierzonych.
∆y =
∂y
∂y
∂y
∆x1 +
∆x2 +
∆x3 + ...
∂x1
∂x2
∂x3
Niepewno standardow zło on wielko ci wyznaczonej po rednio
y = f(x1, x2, x3,...) oblicza si metod ró niczki zupełnej:
2
2
∂g
∂g
uc ( g ) =
⋅ uc (T ) 2 +
⋅ uc ( L) 2
∂T
∂l
2
uc ( g ) =
8π 2 L
T3
2
4π 2
⋅ uc (T ) +
T2
2
2
⋅ uc ( L) 2
W naszym przypadku:
Obliczone warto ci s nast puj ce: g = 9,887824 m/s2,
uc(g) = 0,132857 m/s2.
Poprawny zapis tego wyniku ko cowego jest nast puj cy:
g = 9,89(14) m/s2.
3
Niepewno ci pomiarowe
Wynik ko cowy został zapisany zgodnie z ogólnymi zasadami, które s
nast puj ce:
1. Niepewno ci zaokr glamy pozostawiaj c dwie cyfry najbardziej
znacz ce zgodnie z ogólnymi zasadami zaokr glania warto ci
liczbowych.
2. Warto zaokr glamy do tej samej pozycji dziesi tnej co niepewno i
podajemy te do tej pozycji dziesi tnej.
3. W zapisie skróconym jednostk podajemy po nawiasie, stosuj c
odpowiednie przedrostki (k, m, M, itp.). Je eli zachodzi taka potrzeba,
to zamiast przedrostka podajemy odpowiedni mno nik w postaci ×10n.
Np.
x = 3,20037 m i uc(x) = 0,023435 m daj : x = 3,200(24) m – w zapisie
warto ci pozostawiamy zera, bo ich pomini cie oznaczałoby, e nic nie
wiemy o liczbie setnych i tysi cznych cz ci metra.
x = 0,0003425 s i uc(x) = 0,00001033 s daj :
x = 0,000343(11) s lub lepiej: x = 343(11) s
x = 103566 Hz i uc(x) = 35667 Hz daj : x = 104(36) kHz.
Zapis x = 104000(36000) Hz byłby nieprawidłowy, gdy oznacza, e
niepewno jest znany z dokładno ci do 1Hz.
Wyniki pomiarów mo na
te opracowa w formie
graficznej. Ma to sens
wtedy, gdy mierzymy
zmienno jakiej
wielko ci w funkcji innej
wielo ci fizycznej. Takie
podej cie mo na
zastosowa równie do
eksperymentu z
wahadłem, mierz c
okres dla ka dorazowo
innej długo ci wahadła.
2.3
T, s
2.2
2.1
2.0
1.9
1.8
0.90
1.00
1.10
L, m
1.20
1.30
4
Niepewno ci pomiarowe
Przy rysowaniu wykresu nale y stosowa si do nast puj cych zasad:
1. Wykres powinien by mo liwie du y (rozmiarów co najmniej połowy
kartki A4)
2. Wykres powinien by mniej wi cej kwadratowy
3. Podziałki obu osi nale y dobra tak, punkty z wynikami pomiarów
zajmowały cał powierzchni wykresu. Podziałki obu osi nie zaczyna
si od zera.
4. Osie powinny by opisane symbolem wielko ci i symbolem
stosowanej jednostki
5. Podziałki opisujemy zaznaczaj c okr głe warto ci stosownej wielko ci
fizycznej, a nie warto ci otrzymane w pomiarach
6. Punkty zaznaczamy mo liwie du ymi symbolami. Unikamy
stosowania kropek jako symboli.
7. Wykresy sporz dzamy ołówkiem na papierze milimetrowym lub przy
u yciu komputera (z zachowaniem zasad 1-6).
Wykres mo e nie tylko ilustrowa zale no mi dzy mierzonymi
wielko ciami, ale równie mo e by pomocny w wyznaczeniu
interesuj cej nas wielko ci. Np. warto ci okresów w funkcji pierwiastka z
długo ci wahadła układaj si na linii prostej.
Jej równanie:
2π
⋅ l
g
2.3
T=
2.2
jest zgodne z ogólnym
równaniem prostej
T, s
2.1
y = a⋅x +b
2π
gdy a =
; b=0
g
Istnieje metoda
statystyczna, tzw.
metoda regresji
1.9
liniowej, pozwalaj ca
najlepiej dopasowa
prost do danych
1.8
pomiarowych. Metoda
pozwala obliczy warto
0.90
1.00
1.10
1.20
współczynnika
l^1/2
nachylenia prostej (a) i
jego odchylenie standardowe (s(a)), jak równie warto wyrazu wolnego
i jego odchylenie standardowe. Znaj c a i u(a) = s(a) mo na wyznaczy
przyspieszenie ziemskie i jego niepewno standardow .
2.0
5
Niepewno ci pomiarowe
http://www.ftj.agh.edu.pl/wfitj/dydaktyka_fizyki.html
http://physics.nist.gov/Pubs/guidelines/
http://physics.nist.gov/cuu/Uncertainty/international2.html
6