Edward Lorenz

2016-11-25
Małe kąty
Dla małych kątów (oscylator harmoniczny)
Wykład 4: Analiza układów dynamicznych
0
L
Otrzymujemy:
t
cos
Wtedy prędkość kątowa:
t
Fizyka układów złożonych
Wahadło matematyczne
sin
Przestrzeń konfiguracyjna dla oscylatora harmonicznego
10
Druga zasada dynamiki:
a
, d/dt
5
a
θ
Długość łuku: Równanie ruchu:
-5
-10
0
0
L
2
4
t
6
8
10
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Przestrzeń fazowa dla oscylatora harmonicznego
Jak to rozwiązać?
10
0
L
!
!
Każdy punkt w tej przestrzeni
określa stan układu
5
Przestrzeń położeń i pędów
, , , , ,
0
Dla układu wielu cząstek
, , , , , ,…
,
,
,
,
,
,…
⋯
Jeśli założysz, że → 0, wtedy 0 → łatwo rozwiązać (jak?)
Ale co to znaczy → 0? (doświadczenie)
d/dt
0
-5
-10
-10
-5
0

5
10
1
2016-11-25
A jeśli interesują nas duże kąty?
0
L
• Jak to rozwiązać?
• A co jeśli jakieś dodatkowe siły?
– Tłumienie
– Wymuszanie cykliczne
• Wahadło może zadziwić!
Co to znaczy stabilny?
Punkt stały
niestabilny
Punkt stały
stabilny
Co zrobił Poincare?
Wymuszane wahadło
d 2
 sin   A cos(t )
dt 2
Czy układ słoneczny jest stabilny?
• Ograniczył się do modelu 3 oddziałujących ciał.
• prosty model ‐
skomplikowane zachowanie
• “Problem 3 ciał i równania
dynamiki”, 1890 (270 stron)
Dynamika populacji – dlaczego nas to interesuje?
• 1887 król Szwecji Oscar II: nagroda 2500 koron
• Poincare (1854‐1912), francuski matematyk zdobył tę nagrodę
• Problem stabilności układu słonecznego nie jest rozwiązany do dziś.
2
2016-11-25
Rysie i zające – cykle w układzie drapieżca ofiara
Równanie logistyczne
P. F. Verhulst (belgijski matematyk), 1845:
cn 1  cn
 r 1  cn 
cn
cn 1  cn  rcn 1  cn 
xn 
r
cn  xn 1  (1  r ) xn 1  xn 
r 1
a
Liczba much w eksperymencie – zmiany cykliczne?
Przykłady
0.12
0.35
0<a<1
0.11
0.3
0.1
0.09
x
x
0.25
0.08
0.07
0.2
0.06
0.05
0.15
1<a<2
0.04
0.03
0
2
4
6
8
0.8
10
t
12
14
16
18
0.1
0
20
4
6
8
0.8
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
10
t
12
14
16
18
20
18
20
x
x
0.7
0.4
0.4
0.3
2
4
6
8
10
t
12
14
16
3<a<4
0.3
2<a<3
0.2
0.1
0
2
0.2
18
0.1
0
20
2
4
6
8
10
t
12
14
16
Co możemy otrzymać?
Może to też wyglądać tak …
• Punkty stałe
• Cykle
• Chaos
1
Populacja Pantofelków w labolatorium
Popularny skorupiak („pchła wodna”)
Populacja fok na wyspie
Świętego Pawła, Alaska
0.7
0.7
0.6
0.5
0.4
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
0.6
c(t)
0.8
1
0.8
0.5
0.3
0.4
0.9
0.6
0.3
0.2
a=3.2
c(t+1)
0.9
0.8
00
1
1
a=1.45
0.8
c(t+1)
c(t+1)
0.9
00
a=4
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
c(t)
0.8
1
00
0.2
0.4
0.6
c(t)
0.8
1
3
2016-11-25
Punkty stałe
a=1
0.08
0.5
0.6
0.07
0.4
0.5
0.06
0.3
0.4
0.2
0.3
0.1
0.2
00
0.05
0.04
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
c(t)
przyciągający (stabilny)
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0.35
0.8
0.3
0.7
0.4
przyciągajacy schodkowo
0.1
0.6
0.25
0.5
0.2
0.3
0.2
0.15
00
0.2
przyciągający spiralnie
odpychający spiralnie
0  a  1 odpychający schodkowo
1  a  2 przyciągający schodkowo
2  a  3 przyciągający spiralnie
3  a  4 odpychający spiralnie
2
t
c(t)
0  a  1 odpychający schodkowo
1  a  2 przyciągający schodkowo
2  a  3 przyciągający spiralnie
3  a  4 odpychający spiralnie
1
odpychający schodkowo
0.4
0.6
0.8
0.1
0
1
c(t)
t
0  a  1 odpychający schodkowo
1  a  2 przyciągający schodkowo
2  a  3 przyciągający spiralnie
3  a  4 odpychający spiralnie
a=2.75
1
0.8
0.9
0.7
0.8
c(t+1)
a 1
x*  0, x* 
a
 a 1
f '  a (1  2 x ), f ' (0)  a, f ' 
2a
 a 
0.03
0
1
0.9
1 f '
0  f ' 1
1  f ' 0
f  ax 1  x , f  x *  x *
0.8
a=1.45
odpychający (niestabilny)
Typy punktów stałych równania
logistycznego
0.6
c(t)
0
0.4
0.6
0.7
c(t)
0
f ' ( x*)  1
f '  1
0.09
0.6
0.7
Typy punktów stałych
f ' ( x*)  1
0.1
c(t+1)
0.8
c(t+1)
a 1
x*  0, x * * 
a
0.11
0.7
c(t+1)
xn 1  xn  x *
0.12
0.8
a=2.75
0.9
1
0.9
c(t)
xn 1  axn 1  xn 
1
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
00
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.1
0
2
4
6
8
10
c(t)
t
0  a  1 odpychający schodkowo
1  a  2 przyciągający schodkowo
2  a  3 przyciągający spiralnie
3  a  4 odpychający spiralnie
12
14
16
18
20
4
2016-11-25
a=3.2
a=4
0.8
0.7
0.7
0.6
0.3
0.2
0.1
2
4
6
8
10
12
t
c(t)
0  a  1 odpychający schodkowo
1  a  2 przyciągający schodkowo
2  a  3 przyciągający spiralnie
3  a  4 odpychający spiralnie
0.2
0.4
0.6
0.8
14
16
18
20
1
0.8
0.8
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
00
0.1
0.2
0.4
0.6
c(t)
0.8
1
0
0
2
4
6
8
10
t
12
14
16
18
20
Drzewo podwajania okresu,diagram
Feigenbauma, bifurkacyjny
a=2
0.2
0.1
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
f(x)
0.9
0.8
f(f(x))
0.9
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
a=3.2
0.2
0.1
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
a=3.5
Zbiór Cantora
1
0.9
0.9
0.8
0.8
c(t+1)
0.7
0.7
c(t)
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
00
0.3
0.2
f(f(x))
0.9
0.7
0
0.4
0.3
1
f(x)
0.9
0
0.5
Chaos deterministyczny
Jak znaleźć cykl?
1
0.6
0.4
0.1
0.1
0
00
0.7
0.5
0.4
0.2
0.8
0.6
0.4
0.3
1
0.9
0.8
0.7
0.5
0.5
1
0.9
c(t+1)
0.6
c(t)
c(t+1)
0.8
c(t)
1
0.9
0.2
0.4
0.6
c(t)
0.8
1
0.1
0
5
10
15
20
25
t
0  a  1 odpychający schodkowo
1  a  2 przyciągający schodkowo
2  a  3 przyciągający spiralnie
3  a  4 odpychający spiralnie
30
35
40
45
50
Pierwszy Fraktal na krawędzi chaosu
5
2016-11-25
Iteracja dla a=3.6
Okienka okresowe
6 5 3
0.9
0.8
0.7
c(t)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
5
10
15
20
25
t
30
35
40
45
50
3.828,3.857
Oszustwa koło okienek: cykl czy nie?
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
c(t)
c(t)
Iteracja dla a=3.7 i t=50
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0.1
0
10
20
30
40
50
t
60
70
80
90
100
t
Intermitencja= fazy laminarności na
przemian z chaosem
Iteracja dla a=3.7 i t=100
1
0.9
1
0.8
0.9
0.7
0.8
0.7
0.6
0.5
c(t)
c(t)
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
10
20
30
40
50
t
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
t
60
70
80
90
100
6
2016-11-25
Iteracja równania logistycznego
koncentracja
początkowa
Diagram Feigenbauma
i zbiór Mandelbrota
liczba iteracji
function[c,t]=logist(c0,a,n)
t=0:1:n;


c(1)=c0;
for i=1:n
c(i+1)=a*c(i)*(1-c(i));
end
ct 1  act 1  ct
Opady deszczu
for i=1:1000
a=0.004*i;
n=500;
[c,t]=log(0.1,a,n);
x=ones(100,1)*a;
plot(x,c(n-99:n),'.');
hold on;
function[c,t]=log(c0,a,n)
end
t=0:1:n;
c(1)=c0;
for i=1:n
c(i+1)=a*c(i)*(1-c(i));
end
Punkty stałe i cykle
w zbiorze Mandelbrota
Punkt stały
Rainfall between Apr and Jun (1950 - 2001)
1800 Normal: 854 mm
92
72
57
1600
75
66
98 01
82
1400
Rainfall (mm)
Diagram Feigenbauma
1200
1000
800
600
400
200
0
95
63
1950
1955
1960
1965
1970
1975
Year
1980
1985
1990
1995
2000
* up to 28-06-2001
Jak skomplikowany musi być model?
Cykl o okresie 2
Cykl o okresie 3
7
2016-11-25
Wrażliwość na warunki początkowe
Układ Równań Lorenza – jeszcze
więcej uproszczeń
  10
  28
dx
  ( y  x)
dt
dy
  x  y  xz
dt
dz
 xy   z
dt

8
3
Wielkości wybrane przez
Saltzmana
Lenistwo Lorenza i jego „Królewska
Pszczoła”
Konwekcja
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
Gorące powietrze unosi się do góry – chmury burzowe powstają w
wyniku konwekcji.
1962, Saltzman – równania dla prostej konwekcji
Model pogody wg. Lorenza
-20
-25
1
101
201
301
401
501
601
701
801
901
Narysujmy to w przestrzeni …
• Edward Lorenz,
MIT w 1961 (w
wieku 44 lat)
• Przypadek a może
lenistwo?
• Odkrycie – małe
zmiany warunków
początkowych
prowadzą do
zupełnie innych
8
2016-11-25
Cechy atraktora Lorenza
Gdzie są rodzynki?
• Trajektorie są przyciągane przez
ograniczony obszar przestrzeni fazowej
• Ruch jest nieregularny
• Wrażliwość na warunki początkowe
(sekwencja pętli)
• Ten atraktor jest dziwny!
atraktor Roesslera (1976)
Odległość
rośnie
wykładniczo
Chaos i losowość
x '  ( y  z )
y '  x  ay
z '  b  xz  cz
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
a  0.2, b  0.2, c  5.7
0
50
100
150
200
250
300
350
0
400
50
100
150
200
250
300
350
400
Data: Dr. C. Ting
Który z tych szeregów czasowych jest chaotyczny, a który
losowy?
Wzorzec chaosu – wyrabianie ciasta
rozciąganie
Mapa powrotów prawdę ci powie:
x(t+1)od x(t)
Odwzorowanie
Henona
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0
0.5
-0.5
0
xn+1 = 1.4 - x2n + 0.3 yn
yn+1 = xn
-1
-0.5
-1.5
-1
-2
0
50
100
150
200
250
300
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-1.5
-2
-2
składanie
Biały szum
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
0
-1
-0.5
-1.5
-1
-2
350
400
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
9
2016-11-25
Pomyśl o tym
10