trening matematyczny zestaw ii rozwiązania i wskazówki

TRENING MATEMATYCZNY ZESTAW II
ROZWIĄZANIA I WSKAZÓWKI
1. Wpisz w miejsce liter cyfry różne od 0 tak, aby zachodziły wszystkie równości
S = L – H
x
M = P + H
=
=
A = D -
=
A
ROZWIĄZANIE:
7=
3=
=
4=
9– 2
X
1+2
= =
8- 4
2. Jak (bez użycia miary) z kawałka tasiemki o długości
2
3
metra odmierzyć kawałek o długości
0,5 metra?
ROZWIĄZANIE:
Najpierw składamy sznurek dwa razy na pół. Otrzymamy w ten sposób kawałek o długości:
1
m
6
.
Jeśli od naszego sznurka odetniemy tę
1
m
6
, to otrzymamy
1
m
2
3. Wiadomo, że liczby naturalne A i B spełniają równość: 23A = 17B. Wykaż, że liczba A + B jest
złożona.
ROZWIĄZANIE:
Z podanej równości wynika, że 17( A + B ) = 40A. Stąd oczywiście wynika, że liczba A + B
jest podzielna przez 40, a więc jest złożona.
4. Starszy brat idzie z domu do szkoły 30 minut, a młodszy 40 minut. Po ilu minutach starszy brat
dogoni młodszego brata, który wyruszył do szkoły 5 minut wcześniej? (odpowiedź uzasadnij)
ROZWIĄZANIE:
Zauważmy, że starszy brat jest o 1/3 szybszy od młodszego.
Dlatego w ciągu każdych 5 minut starszy brat przejdzie ten sam dystans co młodszy oraz
dodatkowo nadrobi 1/3 z 5 minut do młodszego.
Po 10 minutach nadrobi do młodszego 1/3 z 10 minut.
Po 15 minutach nadrobi do młodszego 1/3 z 15 minut czyli 5 minut czas o który młodszy
wcześniej wyszedł od starszego.
Odpowiedź: Starszy brat dogoni młodszego po 15 minutach.
5. Wiadomo, że prawdziwa moneta waży 10 gramów, a fałszywa 9 gramów. Mamy 5 monet o łącznej
wadze 48 gramów i dysponujemy wagą elektroniczną. Wykonując ważenie możemy położyć ma
wagę dowolna liczbę wybranych przez nas monet i odczytać ich łączną wagę. Czy wykonując nie
więcej niż 3 ważenia możemy zawsze rozpoznać, które z danych monet są fałszywe, a które
prawdziwe? (odpowiedź uzasadnij)
ROZWIĄZANIE:
Wiemy, że mamy do czynienia z sytuacją, w której dokładnie 3 monety są prawdziwe.
Oznaczmy posiadane monety literami A,B,C,D,E. W pierwszym ważeniu kładziemy na wadze
monety A i B. Rozważmy trzy przypadki:
- Obie monety A,B są fałszywe. Wtedy wszystkie monety C,D,E musza być prawdziwe (gdyż wiemy,
że posiadamy łącznie tylko dwie fałszywe monety).
- Obie monety A,B są prawdziwe. Wtedy dokładnie jedna z monet C,D,E jest prawdziwa.
Możemy wykonać dwa ważenia, w każdym ważąc jedną z monet C i D. Wtedy albo któraś okaże się
prawdziwa, albo obie okażą się fałszywe (i będziemy wiedzieć, że to E jest prawdziwa).
- Dokładnie jedna z monet A,B jest prawdziwa. Wtedy dokładnie jedna z monet C,D,E jest fałszywa.
Ważymy więc teraz A i C łącznie. Znów musimy rozważyć trzy przypadki:
- Obie monety A,C są prawdziwe. Wtedy wiadomo, że fałszywe są monety: B i dokładnie jedna
spośród D,E (jedno ważenie pozwoli z łatwością stwierdzić, która).
- Obie monety A,C są fałszywe. Wtedy wszystkie monety B,D,E są prawdziwe.
- Dokładnie jedna z monet A,C jest prawdziwa. Jeśli byłaby to A, to B i C musiałyby być fałszywe,
zaś D i E prawdziwe. Jeśli byłaby to C, to A byłaby fałszywa, więc B prawdziwa.
Podsumowując, w tym przypadku zestawem prawdziwych monet jest jeden z następujących
(A,D,E), (B,C,D), (B,C,E). Zważenie łącznie monet A i D wystarczy do stwierdzenia, która z tych
sytuacji ma miejsce.
6. W ciągu tygodnia waga małej foczki wzrosła o 4%, a słoniątka o 4 kg. Skutkiem tego średnia waga
obu zwierząt wzrosła o 3 kg, czyli o 2%.Oblicz, ile obecnie waży słoniątko.
ROZWIĄZANIE:
Przyjmijmy, że na początku foczka ważyła f kilogramów, a słoniątko s kilogramów. Początkową
średnią ich mas oznaczmy jako S. Zauważmy, że skoro zwierzęta przytyły średnio 3 kg, a słoń
przytył 4 kg, to foczka musiała przytyć 2 kg. Z równania 1,04f = f + 2 otrzymujemy f = 50.
Z równania 1,02S = S + 3 otrzymujemy S = 150. Skoro foczka ważyła 50 kg, słoniątko musiało
ważyć 250 kg.
Odpowiedź: Słoniątko obecnie waży 254 kg.