Ćwiczenia 10 - Dr Anna Budka

GOSPODARKA PRZESTRZENNA (2011/2012) - ćw. 10
1
Krzywe stożkowe
1. Okrąg
(a) Napisz równania stycznych do okręgu x2 + y 2 − 10x − 4y + 25 = 0 poprowadzonych z początku
układu współrzędnych.
(b) Znajdź kąt, pod jakim widać okrąg x2 + y 2 = 16 z punktu R = (8, 0).
Odp. (a) y = 0, 20x − 21y = 0; (b) α = π/3
ZADANIE DOMOWE
(c) Napisz równania stycznych do okręgu (x − 8)2 + (y − 1)2 = 25 poprowadzonych z punktu (1,2).
Pod jakim kątem przecinają się te proste?
(d) Napisz równania stycznych do okręgu x2 + y 2 = 4 przechodzących przez punkt (0,4).
√
√
Odp. (c) 3x − 4y + 5 = 0; 4x + 3y − 10 = 0; α = π/2; (d) y = − 3x + 4; y = 3x + 4
2. Parabola
(a) Na paraboli y 2 = 8x znajdź punkt, którego odległość od ogniska jest równa 20.
(b) Dana jest parabola y 2 = 4x. Znajdź równania stycznych do paraboli:
• w punktach o odciętej x0 = 1;
• prostopadłych do prostej 2x + y − 7 = 0.
Odp. (a) P = (18, ±12); (b) y = ±(x + 1); y = 21 x + 2
ZADANIE DOMOWE
(c) Znaleźć równanie paraboli w postaci y 2 = 2px wiedząc, że jest ona styczna do prostej
x − 8y + 8 = 0.
(d) Dana jest parabola y 2 = 12x. Znajdź równania stycznych do paraboli:
• w punktach o odciętej x0 = 3;
• prostopadłych do prostej 2x + y − 7 = 0;
Odp. (c) y 2 = 12 x; (d)y = ±(x + 3); x − 2y + 12 = 0
GOSPODARKA PRZESTRZENNA (2011/2012) - ćw. 10
2
3. Elipsa
(a) Znając dużą oś elipsy: 2a = 16 oraz punkt A = (3, 2) leżący na elipsie, podaj równanie elipsy.
Odp.
x2
64
+
55y 2
256
=1
ZADANIE DOMOWE
(b) Napisz równanie elipsy, której ogniska leżą w punktach (−4, 0) i (4, 0) i której oś mała jest 2b = 6.
Odp.
x2
25
+
y2
9
=1
4. Hiperbola
x2 y 2
−
= 1.
9
16
• Oblicz współrzędne ognisk hiperboli;
(a) Dana jest hiperbola o równaniu
• Oblicz mimośród hiperboli;
• Napisz równania asymptot hiperboli.
Odp. F = (±5, 0); e = 53 ; y = ± 43 x
ZADANIE DOMOWE
(b) Znajdź równanie hiperboli wiedząc, że odległości jednego z ognisk od wierzchołków hiperboli
wynoszą odpowiednio 1 i 9.
Odp.
x2
16
−
y2
9
=1
5. Rozpoznaj i narysuj krzywe:
(a) 25x2 − 150x + 9y 2 + 18y = −9;
elipsa:
(b) y 2 + 12y − 8x + 60 = 0;
(x − 3)2
(y + 1)2
+
=1
9
25
parabola: (y + 6)2 = 8(x − 3)
ZADANIE DOMOWE
(c) 9y 2 − 72y − x2 − 10x = −110;
(d) x2 − 2x + y 2 + 16y = 35;
hiperbola:
(x + 5)2
− (y − 4)2 = 1
9
okrąg: (x − 1)2 + (y + 8)2 = 100