wyznaczanie zmiennego w czasie modułu odkształcenia

Acta Sci. Pol., Technica Agraria 4(1) 2005, 61-68
WYZNACZANIE ZMIENNEGO W CZASIE MODUŁU
ODKSZTAŁCENIA POSTACIOWEGO
I OBJ TO CIOWEGO MI SZU JABŁKA
NA PODSTAWIE TESTU RELAKSACJI NAPR E
Zbigniew Stropek, Krzysztof Gołacki
Akademia Rolnicza w Lublinie
Streszczenie. W pracy przedstawiono wyniki testów relaksacji napr e przeprowadzonych na walcowych próbkach mi szu jabłek odmiany Rubin w warunkach stanu jednoosiowego napr enia i jednoosiowego odkształcenia. Umo liwiło to wyznaczenie zmiennych w czasie modułów odkształcenia postaciowego i obj to ciowego. Badania przeprowadzono w quasi-statycznych i udarowych warunkach obci e , co pozwoliło na porównanie zachowania si owoców przy ró nych pr dko ciach wst pnej deformacji.
Słowa kluczowe: test relaksacji napr e , jabłko, lepkospr ysto , moduł odkształcenia
postaciowego, moduł odkształcenia obj to ciowego
WST P
Mechanizacja procesu zbioru oraz transport i przeładunek powoduj powstawanie
niesprzyjaj cych warunków prowadz cych do wzrostu uszkodze w przetwarzanym
materiale. Uszkodzenia w produktach rolniczych mog pojawia si w wielu ró nych
formach, których posta zale y od fizycznej i biologicznej budowy materiału oraz rodzaju obci enia. Objawia si to najcz ciej poprzez p kni cia, przeci cia, stłuczenia
i obicia zwi zane z nadmiernym odkształceniem lub sił pojawiaj c si podczas uderzenia. W ka dym przypadku jako produktu zmniejsza si lub mo e prowadzi do
jego całkowitego zniszczenia [Pang i in. 1992, Hung i Prussia 1989]. Ma to równie
swoje negatywne skutki podczas magazynowania uszkodzonego materiału, szczególnie
warzyw i owoców, które zagra aj nieuszkodzonym produktom b d cym w bezpo rednim kontakcie.
Liczne doniesienia literaturowe pokazuj , e produkty rolnicze s ogólnie uszkadzane przez statyczne lub dynamiczne siły zewn trzne oraz rzadziej przez siły wewn trzne.
Adres do korespondencji – Corresponding Author: Zbigniew Stropek, Krzysztof Gołacki, Zakład
Teorii Maszyn i Automatyki, Akademia Rolnicza w Lublinie, ul. Do wiadczalna 50A, 20-280
Lublin, e-mail: [email protected]
62
Z. Stropek, K. Gołacki
Aby okre li granic wytrzymało ci na obci enie materiałów ro linnych, niezb dna
jest znajomo ich wła ciwo ci mechanicznych w prostych stanach napr enia przy
rozci ganiu, ciskaniu lub cinaniu zarówno w warunkach statycznych, jak i dynamicznych. Jedn z metod okre lenia zale no ci mi dzy napr eniem a odkształceniem
w obci anym materiale ro linnym s testy relaksacji napr e . Celem pracy było wyznaczanie zmiennego w czasie modułu odkształcenia postaciowego i obj to ciowego
mi szu jabłka traktowanego jako ciało liniowo lepkospr yste.
MATERIAŁ I METODY
Przedmiotem bada były jabłka odmiany Rubin. Materiał badawczy po zbiorze
przechowywany był przez tydzie w temperaturze 10°C, a nast pnie na 1 dzie przed
dokonaniem bada przeniesiony do pomieszczenia o temperaturze 20°C. Z ka dego
owocu wycinano dwie walcowe próbki o rednicy i wysoko ci 20 mm, które poddawano nast pnie testowi relaksacji napr e , ciskaj c je wst pnie wzdłu osi i wywołuj c
odkształcenie 8,5%. Pierwsz próbk odkształcano mi dzy dwiema równoległymi płytkami w warunkach jednoosiowego ciskania. Drug próbk umieszczono w cylindrze
i odkształcano poprzez przesuwanie tłoka zapobiegaj c w ten sposób przemieszczeniom
bocznym. Zakładaj c, e materiał obu próbek jest identyczny, otrzymujemy dwa układy
równa opisuj cych zachowanie si materiału w stanie jednoosiowego napr enia
i w stanie jednoosiowego odkształcenia. Testy relaksacji w quasi-statycznych warunkach obci e przeprowadzono na uniwersalnej maszynie wytrzymało ciowej
INSTRON 6022 dla trzech ró nych pr dko ci przemieszczenia: 3,333 mm⋅s-1,
0,833 mm⋅s-1, 0,166 mm⋅s-1. Pomiary w udarowych warunkach obci e wykonano na
stanowisku do bada dynamicznych [Gołacki 1999] dla pr dko ci przemieszcze wynosz cych odpowiednio 0,5 m⋅s-1, 1 m⋅s-1 i 1,5 m⋅s-1. Próbki poddawano deformacji,
a nast pnie utrzymuj c stałe odkształcenie rejestrowano warto siły reakcji w czasie
120 sekund. Badania przeprowadzono wykonuj c 10 powtórze w przypadku quasistatycznych warunków obci e oraz 15 powtórze w przypadku pomiarów udarowych
dla ka dej pr dko ci deformacji oraz rodzaju testu.
Zastosowane warto ci pr dko ci przemieszczenia w udarowych warunkach obci e
maj cisły zwi zek z pr dko ciami, wyst puj cymi w czasie zbioru, transportu i sortowania. W przypadku jabłka jest to pr dko wynikaj ca ze swobodnego spadku, przy
którym nast puje jego obicie. Odpowiada to zrzutowi jabłka z wysoko ci około 10 cm
i jest to równoznaczne z uzyskaniem pr dko ci ko cowej 1,5 m⋅s-1.
Warto wst pnego odkształcenia próbki okre lono na podstawie serii testów niszcz cych przeprowadzonych w quasi-statycznych warunkach obci enia przed wła ciwymi badaniami. Na podstawie tych eksperymentów ustalono, e warto odkształcenia
próbki b dzie odpowiada warto ci przemieszczenia głowicy pomiarowej dla siły stanowi cej około 30% warto ci siły powoduj cej zniszczenie próbki.
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________
Acta Sci. Pol.
Wyznaczanie zmiennego w czasie modułu odkształcenia postaciowego i obj to ciowego...
63
WYNIKI I DYSKUSJA
Do opisu zachowania si materiału ro linnego pod obci eniem u yto uogólnionego
czteroparametrowego modelu Maxwella. Eksperymentalny przebieg siły reakcji przybli ano równie modelem sze cioparametrowym, nie uzyskuj c jednak istotnego wzrostu współczynnika determinacji. Wykorzystano wzór podany przez Chena stosowany
w warunkach stanu jednoosiowego napr enia, jak i jednoosiowego odkształcenia dla
walcowej próbki ciskanej wzdłu osi [Chen i Fridley 1972, DeBaerdemaeker i Segerlind 1976]
F (t ) =
2
tm
i =1 0
Ei
Ei
− ⋅(t m −t )
− ⋅(t −t m )
p
⋅ v ⋅ Ei ⋅ e ηi
⋅ dt ⋅ e ηi
l
(1)
gdzie: p – pole przekroju poprzecznego próbki, m2; l – długo próbki, m; v – pr dko
przemieszczenia, m⋅s-1; tm – czas narastania odkształcenia, s; t – czas liczony od chwili
rozpocz cia odkształcania próbki.
Wzór (1) obowi zuje dla drugiej fazy testu, w której utrzymywano stałe odkształcenie (t > tm). Wzór ten uwzgl dnia tak e relaksacj napr e maj c miejsce ju w czasie
narastania odkształcenia. Otrzymane w wyniku eksperymentu przebiegi siły reakcji
próbek aproksymowano krzyw wykładnicz o postaci:
F (t ) =
gdzie: Ai,
i
2
i =1
Ai ⋅ e−α i ⋅t
(2)
– stałe.
130
120
R2= 0,9875
siła reakcji [N]
110
punkty ekperymentalne
krzywa aproksymuj ca
100
90
80
70
0
20
40
60
80
100
120
czas [s]
Rys. 1. Przykładowy przebieg dopasowania dwuskładnikowej krzywej wykładniczej do danych
eksperymentalnych
Fig. 1. Example of a course of the fitting of exponential curve to experimental data
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________
Technica Agraria 4(1) 2005
64
Z. Stropek, K. Gołacki
Do wyznaczenia warto ci stałych Ai i i funkcji wykładniczej wykorzystano metod
minimalizacji nieliniowej quasi-Newtona. W przypadku obci e z pr dko ciami poniej 0,166 mm⋅s-1 do aproksymacji wybierano 20 punktów pomiarowych, przy czym 12
pierwszych w odst pie jednej sekundy, a 8 pozostałych co 15 sekund.
W pomiarach udarowych do przybli enia przebiegu eksperymentalnego wykorzystano 40 punktów pomiarowych, przy czym 10 pierwszych w odst pach 0,01 sekundy,
10 nast pnych co 0,1 sekundy, 10 kolejnych co 1 sekund i 10 ostatnich co 10 sekund.
Z powy szych wzorów otrzymano warto ci współczynników Ei i ηi dla próbek ciskanych swobodnie i w cylindrach przy ró nych pr dko ciach deformacji wst pnej. Umo liwiło to wyznaczenie funkcji relaksacji odpowiadaj cych stanowi jednoosiowego napr enia – E(t) i stanowi jednoosiowego odkształcenia – X(t).
E (t ) = A ⋅ exp (− a ⋅ t ) + B ⋅ exp( −b ⋅ t )
(3)
X (t ) = C ⋅ exp (− c ⋅ t ) + D ⋅ exp( − d ⋅ t )
(4)
gdzie: A, B, C, D, a, b, c, d s stałymi o warto ciach dodatnich.
funkcje relaksacji napr
e [MPa]
6,5
w stanie jednoosiowego odkształcenia X(t)
w stanie jednoosiowego napr enia
E(t)
5,5
4,5
3,5
2,5
1,5
0
20
40
60
80
100
120
czas [s]
Rys. 2. Przykładowe przebiegi funkcji relaksacji odpowiadaj ce stanowi jednoosiowego odkształcenia X(t) i stanowi jednoosiowego napr enia E(t)
Fig. 2. Example of the course of stress relaxation functions in the state of uniaxial strain X(t) and
uniaxial stress E(t)
Dokonuj c przekształce Laplace’a funkcji relaksacji E(t) i X(t) wylicza si transformaty Laplace’a E(s) i X(s).
E (s) =
A
B
+
s+a s+b
(5)
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________
Acta Sci. Pol.
Wyznaczanie zmiennego w czasie modułu odkształcenia postaciowego i obj to ciowego...
X (s) =
C
D
+
s+c s+d
65
(6)
Dla znanych transformat Laplace’a E(s) i X(s) ko cowy wzór na transformat Laplace’a modułu odkształcenia postaciowego ma posta [DeBaerdemaeker i Segerlind
1976]:
G (s ) =
E (s ) 3 ⋅ X (s )
+
−
2
2
E (s ) 3 ⋅ X (s )
+
2
2
2
− 4 ⋅ X (s ) ⋅ E (s )
1
2
(7)
4
Aby wyznaczy oryginał G(t) transformaty G(s), nale y zastosowa przekształcenie
odwrotne Laplace’a do obu stron równania (7).
Opis sposobu wyprowadzenia oraz wzory ko cowe na zmienny w czasie moduł odkształcenia postaciowego G(t) i moduł odkształcenia obj to ciowego K(t) znajduj si
w publikacji Stankiewicz i Gołackiego [2004].
Na podstawie algorytmu przedstawionego w pracy Stankiewicz i Gołackiego [2004]
okre lono przebiegi w czasie modułów odkształcenia postaciowego G(t) i odkształcenia
obj to ciowego K(t). Zaproponowany algorytm obliczeniowy umo liwia wyznaczenie
warto ci obu modułów w dowolnej chwili czasu trwania testu relaksacji. Dla lepszego
zobrazowania przebiegu, wyliczono ich warto ci w o miu wybranych punktach czasowych: 0 s; 1,2 s; 3s; 7,5 s; 15 s; 30 s; 60 s; 120 s.
Rysunki 3–4 przedstawiaj przebiegi w czasie modułów G(t) i K(t) w quasistatycznych warunkach obci e , a rysunki 5-6 w udarowych warunkach obci e .
moduł odkształcenia postaciowego [MPa]
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,00017 m.s -1
0,6
0,5
. -1
0,00083 ms
0
20
40
60
80
100
120
0,00333 m.s -1
czas [s]
Rys. 3. Zmienno w czasie modułu odkształcenia postaciowego dla mi szu jabłka w quasistatycznych warunkach obci e dla ró nych pr dko ci deformacji wst pnej
Fig. 3. Changeability of shear modulus in time for apple flesh under quasi-static loading for
different initial rates of deformation
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________
Technica Agraria 4(1) 2005
66
Z. Stropek, K. Gołacki
moduł odkształcenia obj to ciowego [MPa]
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
0,00017 m.s -1
1,5
1,0
0,00083 m.s -1
0
20
40
60
80
100
0,00333 m.s -1
120
czas [s]
Rys. 4. Zmienno w czasie modułu odkształcenia obj to ciowego dla mi szu jabłka w quasistatycznych warunkach obci e dla ró nych pr dko ci deformacji wst pnej
Fig. 4. Changeability of bulk modulus in time for apple flesh under quasi-static loading for different initial rates of deformation
W quasi-statycznych warunkach obci e otrzymano malej ce w czasie przebiegi
o charakterze wykładniczym obu wyznaczanych modułów. Dla mi szu jabłka uzyskano ni sze rednie warto ci ko cowe modułów G(t) i K(t) na ko cu testu, przy wy szych
pr dko ciach deformacji. Jednak zale no ta nie była statystycznie istotna.
moduł odkształcenia postaciowego [MPa]
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,5 m.s -1
0,3
0,2
1,0 m.s -1
0
20
40
60
80
100
120
1,5 m.s -1
czas [s]
Rys. 5. Zmienno w czasie modułu odkształcenia postaciowego dla mi szu jabłka w udarowych
warunkach obci e dla ró nych pr dko ci deformacji wst pnej
Fig. 5. Changeability of shear modulus in time for apple flesh under impact loading for different
initial rates of deformation
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________
Acta Sci. Pol.
Wyznaczanie zmiennego w czasie modułu odkształcenia postaciowego i obj to ciowego...
67
moduł odkształcenia obj to ciowego [MPa]
3,2
2,8
2,4
2,0
1,6
1,2
0,8
0,4
0,5 m.s-1
1,0 m.s-1
0
20
40
60
80
100
120
1,5 m.s-1
czas [s]
Rys. 6. Zmienno w czasie modułu odkształcenia obj to ciowego dla mi szu jabłka w udarowych warunkach obci e dla ró nych pr dko ci deformacji wst pnej
Fig. 6. Changeability of bulk modulus in time for apple flesh under impact loading for different
initial rates of deformation
W udarowych warunkach obci e przebieg w czasie modułu odkształcenia postaciowego oraz modułu odkształcenia obj to ciowego miał tak e wykładniczy charakter.
Zale no mi dzy rednimi warto ciami ko cowymi modułów, a pr dko ci deformacji
była podobna jak w quasi-statycznych warunkach obci e . W tym przypadku uzyskano potwierdzon statystycznie istotno ró nic.
Ni sze warto ci modułu odkształcenia postaciowego G(t) w porównaniu z warto ci
modułu odkształcenia obj to ciowego K(t) dla ka dego rodzaju obci enia wiadcz
o wy szej podatno ci badanego materiału na napr enia tn ce w stosunku do napr e
ciskaj cych.
WNIOSKI
1. Czteroparametrowy model Maxwella z wystarczaj c dokładno ci opisuje przebieg testów relaksacji napr e mi szu jabłek.
2. Moduły odkształcenia postaciowego i obj to ciowego mi szu jabłek s zmienne
w czasie i maj przebieg malej cy o charakterze wykładniczym.
3. Mi sz jabłka ma mniejsz podatno na ciskanie w porównaniu ze cinaniem.
Zwi zane jest to z mniejszymi warto ci modułu odkształcenia postaciowego w stosunku
do modułu odkształcenia obj to ciowego. Fakt ten znajduje potwierdzenie w badaniach
niszcz cych jabłek opublikowanych przez innych autorów [Chen i Chen 1984].
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________
Technica Agraria 4(1) 2005
68
Z. Stropek, K. Gołacki
PI MIENNICTWO
Chen P., Chen S., 1984. Critical strain failure criterion: pros and cons. Transactions of the ASAE
27(1), 278–281.
Chen P., Fridley R.B., 1972. Analytical method of determining viscoelastic constants of agricultural materials. Transactions of the ASAE 15(6), 1103–1106.
DeBaerdemaeker J.G., Segerlind L.J., 1976. Determination of the viscoelastic properties of apple
flesh. Transaction of the ASAE 19(2), 346–348, 353.
Gołacki K., Stropek Z., Grabo A., 1999. Test relaksacji napr e w materiale biologicznym
w warunkach obci enia dynamicznego – realizacja techniczna. In . Roln. 2, 55–61.
Hung Y. C., Prussia S. E., 1989. Effect of maturity and storage time on the bruise susceptibility of
peaches (cv. Red Globe). Transactions of the ASAE 32(4), 1377–1382.
Pang W., Studman C. J., Ward G. T., 1992. Bruising damage in apple-to-apple impact. J Agric.
Engin. Res. 52, 229–240.
Stankiewicz A., Gołacki K., 2004. Algorytm identyfikacji zmiennych w czasie modułów odkształcenia postaciowego i obj to ciowego ro linnych materiałów lepkospr ystych. Acta Sci.
Pol., Technica Agraria 3(1–2), 79–95.
DETERMINATION OF CHANGEABLE IN TIME SHEAR AND BULK
MODULUS OF APPLE FLESH ON THE BASIS OF STRESS
RELAXATION TESTS
Abstract. The paper presents results of stress relaxation tests under uniaxial stress and
strain conditions. Tests were carried out on cylindrical samples of Rubin apple flesh. On
that basis changeable in time bulk modulus and shear modulus were determined. Application of quasi-static and impact loading enabled to compare apple flesh behaviour at different initial deformation rates.
Key words: stress relaxation tests, viscoelasticity, apple, bulk modulus, shear modulus
Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 12.01.2005
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________
Acta Sci. Pol.