Reprezetacje grupy obrotów

Reprezetacje grupy obrotów
wiemy już, że dowolny obrót można złożyć z obrotów o
nieskończenie małe kąty
a
operator opisujący przekształcenie funkcji współrzędnych
F(x,y,z) przy obrocie o kąt ϕ jest określony przez operator
(generator) nieskończenie małego obrotu, L (oper. momentu pędu)
D(ϕ ) = e iLϕ
gdzie
ϕ = (ϕx , ϕx , ϕx )
macierze reprezentacji będą miały zatem postać
(A1)
D(ϕ ) = e iAϕ
gdzie A = ( Ax , Ay , Az ) macierze nieskończenie małych
obrotów wokół osi x, y, z
D – są unitarne, natomiast A – są hermitowskie
D+=D-1 , ale D-1=exp(-iAϕ) i również D+=exp(-iA+ϕ) => A musi = A+ .
[jest tak ponieważ,
z formalnego punktu widzenia jeśli D jest macierzą pewnej reprezentacji grupy
obrotów dla elementu obrotu o kąt
A x = 1i ∂∂ϕDx |ϕx =0
ϕ , to po rozwinięciu w szereg
i podobnie dla y, z
pochodną należy rozumieć jak pochodną dla elementów D,
(oczywiście rozważamy tylko takie reprezentacje, które są różniczkowalnymi
funkcjami kątów) ]
z własności grupowych oraz z faktu, że (A1) dla małych
postać D(ϕ) = I + i(Aϕ)
można wyprowadzić pewne własności komutacyjne dla
Ax , Ay , Az
ϕ
ma
A x A y − A y A x = iA z
i analogicznie dla innych składowych...
te związki komutacyjne wyprowadza się wiedząc jak wygląda D dla małego
0
0
1

1 ϕ x  , [cos (małego kąta ϕ) ~ 1, sin ~ ϕ]
obrotu, np o kąt (ϕx,0,0)
0
0 − ϕ x 1 
oraz analogiczne dla macierzy
A+ = Ax + iAy , A- = Ax - iAy , Az=A3
te własności komutacyjne są takie same jak dla składowych
operatora momentu pędu
Jako bazy reprezentacji można zatem wybierać wektory własne A3
Ymj
które spełniają
A 3j Ymj = mYmj
A +j Ymj = ( j + m + 1)( j − m)Ymj+1
A −j Ymj = ( j + m)( j − m + 1)Ymj−1
dla danego j - istnieje 2j+1 funkcji (indeks m )
m = -j, -j+1, ...,j-1, j
transformujących się między sobą
j - nazywa się wagą reprezentacji
j - 0, ½, 1, 3/2, 2, ......
tylko A3 są diagonalne w tej bazie
łatwo zauważyć, że przy obrocie o kąt
ma postać (A2)
ijϕ
e
ϕ
0
0
D j (ϕ ) = 0

0
wokół osi z , macierz D
e i ( j −1)ϕ
0
0
0

0
e i ( j − 2 )ϕ

0
 0
 0
 0
 
 e −ijϕ
dla j – całkowitego, macierze A, to macierze składowych
operatora momentu pędu w reprezentacji, w której Lz jest
diagonalne
np. dla j=1, funkcje realizujące reprezentację D1 możemy wziąć
jako
Y01 = z ,
Y11 = −
x + iy
,
2
Y−11 =
x − iy
2
lub każde trzy funkcje transformujące się tak samo jak powyższe,
np:
Y01 = ze − ar ,
Y11 = −
x + iy − ar
e ,
2
gdzie r = sqrt (x2 + y2 + z2)
reprezentacja A3 jest diagonalna
a reprezentacja A+ jest
charaktery w (A2) są
(A3)
0

 2
0

2
0
2
 − 1 0 0
 0 0 0


 0 0 1
0 

2
0 
Y−11 =
x − iy − ar
e
2
χ (ϕ ) =
m= j
∑e
m=− j
imϕ
sin( j + 12 )ϕ
=
sin(ϕ 2 )
Dla j – połówkowego - nie istnieją reprezentacje ( bazy ) jako
funkcje współrzędnych x,y,z ...
w szczególnym przypadku j = ½
A1x/ 2 = 12 σ x ,
A1y/ 2 = 12 σ y ,
A1z/ 2 = 12 σ z
- macierze Pauliego
jeśli hamiltonian układu komutuje z operatorem momentu pędu
(tzn., że układ jest niezmienniczy ze względu na obroty)
[H,L]=0
to H i L mają wspólne funkcje własne,
ponieważ funkcje stanowiąc bazy reprezentacji grupy obrotów
transformują się między sobą, zatem stanowią bazy podprzestrzeni,
tzn. wyznaczają podprzestrzenie odpowiadające zdegenerowanym
wartościom własnym H
przypomnienie:
jeśli [A,H]=0, i {f1, f2 ,...,fk} należą do zdegenerowanej wart. własnej H, E, wówczas
EfiA = AHfi = HAfi, tzn. że wszystkie fi przechodzą w siebie pod wpływem działania
operacji z grupy, do której należy A
Iloczyn prosty reprezentacji nieprzywiedlnych Dj1 i
jest reprezentacją grupy obrotów, o wymiarze
(2j1 + 1) (2j2 + 1)
w ogólności jest ona przywiedlna
z tożsamości
Dj2
j1 + j 2
∑ (2m + 1) =(2 j
1
m =| j1 − j 2 |
+ 1)(2 j2 + 1)
(jako suma szeregu arytmetycznego)
oraz pamiętając, że dla małych obrotów
χj (ϕ) = 2j + 1
(dla ϕ infinitezymalnie małego)
mamy (pamiętając o relacjach dla charakterów iloczynu reprezentacji –
charakter iloczynu = iloczynowi charakterów)
j1 + j2
∑χ
m =| j1 − j2 |
m
=χ j1× j2
zatem (A5)
j1 + j2
∑D
m =| j1 − j2 |
m
=D j1 × D j2
otrzymujemy rozkład iloczynu reprezentacji na reprezentacje
nieprzywiedlne
- znaczenie przy składaniu momentów pędu
składając momenty pędu L1 i L2 dwu podukładów danego układu
fizycznego, wypadkowy moment pędu jest sumą L = L1 + L2 ;
funkcje bazy reprezentacji można więc utworzyć jako iloczyny baz
tworzących reprezentacje L1 i L2 ,
rozkład (A5) mówi nam jakie są możliwe wypadkowe L