Rozwiazania niezaleznych od czasu równan Schrödingera
Transkrypt
Rozwiazania niezaleznych od czasu równan Schrödingera
Rozwi¡zania niezale»nych od czasu równa« Schrödingera: niesko«czenie gª¦boka studnia potencjaªu i oscylator harmoniczny Mariusz Adamski Plan prezentacji: 1. Potencjaª niesko«czenie gª¦bokiej studni prostok¡tnej. 2. Potencjaª oscylatora harmonicznego. Niesko«czenie gª¦boka studnia potencjaªu Potencjaª niesko«czenie gª¦bokiej studni prostok¡tnej mo»na zapisa¢ nast¦puj¡co: V (x) = ∞, x < −a/2 lub 0, −a/2 < x < a/2. x > a/2, Potencjaª taki ma t¦ wªasno±¢, »e wi¡»e cz¡stk¦ o dowolnej sko«czonej energii E ≥ 0. Niesko«czenie gª¦boka studnia potencjaªu W obszarze studni ogólne rozwi¡zanie niezale»nego od czasu równania Schrödingera mo»na zapisa¢ w postaci fali stoj¡cej: √ ψ(x) = A sin kx + B cos kx, gdzie k= mE 2 } , −a/2 < x < a/2. Funkcja falowa powinna znika¢ poza studni¡ w szczególno±ci: A sin ka 2 + B cos ka 2 = 0, oraz A sin − ka 2 + B cos − ka 2 = 0 ⇒ −A sin ka 2 + B cos ka 2 = 0. Niesko«czenie gª¦boka studnia potencjaªu Po dodaniu powy»szych równa« otrzymamy: B 2 cos natomiast po odj¦ciu A sin 2 ka 2 ka 2 Nie istnieje taka warto±¢ parametru = 0, = 0. k, dla której cos ka2 równe s¡ jednocze±nie zeru. Musimy zatem przyj¡¢ A=0 i cos B=0 i sin lub ka 2 ka 2 =0 = 0. ka i sin 2 Niesko«czenie gª¦boka studnia potencjaªu Otrzymujemy zatem dwa rodzaje rozwi¡za«: ψ(x) = B cos kx, gdzie cos ψ(x) = A sin kx, gdzie sin oraz ka 2 ka 2 = 0, = 0. k dla rozwi¡za« pierwszego rodzaju ka π 3π 5π nπ = , , , ... ⇒ kn = , n = 1, 3, 5, ... 2 2 2 2 a Dozwolone warto±ci Natomiast dla rozwi¡za« drugiego rodzaju ka 2 = π, 2π, 3π, ... ⇒ kn = nπ , n = 2, 4, 6, ... a Niesko«czenie gª¦boka studnia potencjaªu Ostatecznie funkcje wªasne dla potencjaªu niesko«czenie gª¦bokiej studni prostok¡tnej przybieraj¡ posta¢: ψn (x) = Bn cos kn x, gdzie kn = nπ , n = 1, 3, 5, ... a ψn (x) = An sin kn x, gdzie kn = nπ , n = 2, 4, 6, ... a oraz Liczb kwantowych n mo»na u»y¢ tak»e do numeracji warto±ci wªasnych, odpowiadaj¡cych danym funkcjom wªasnym zwi¡zku k= √ ψn . Ze mE /} oraz faktu, »e kn = nπ/a otrzymujemy 2 En = }2 k2n m 2 = π 2 }2 n2 ma2 2 , n = 1, 2, 3, ... Niesko«czenie gª¦boka studnia potencjaªu Kilka pierwszych funkcji Kilka pierwszych warto±ci wªasnych wªasnych Plan prezentacji: 1. Potencjaª niesko«czenie gª¦bokiej studni prostok¡tnej. 2. Potencjaª oscylatora harmonicznego. Plan prezentacji: √ 1. Potencjaª niesko«czenie gª¦bokiej studni prostok¡tnej. 2. Potencjaª oscylatora harmonicznego. Potencjaª oscylatora harmonicznego Istnieje ograniczona ilo±¢ potencjaªów, dla których mo»na rozwi¡za¢ równanie Schrödingera metodami analitycznymi. W±ród nich znajduje si¦ bardzo wa»ny potencjaª oscylatora harmonicznego. Mo»e on zosta¢ u»yty do opisu wielu ukªadów, w których jaka± wielko±¢ wykonuje maªe drgania wokóª poªo»enia równowagi. Potencjaª V (x) musi przyjmowa¢ warto±¢ minimaln¡ w poªo»eniu równowagi; poniewa» wyst¦puj¡ce w rzeczywisto±ci potencjaªy s¡ funkcjami ci¡gªymi, prawie zawsze mo»na przybli»y¢ je przez parabol¦ w pobli»u minimum. Potencjaª oscylatora harmonicznego Wybieraj¡c pocz¡tek osi x i osi energii tak, by znajdowaªy si¦ one w tym minimum, paraboliczn¡ funkcj¦ potencjaªu mo»emy zapisa¢ jako: k V (x) = x2 , 2 gdzie k jest pewn¡ staª¡. Potencjaª oscylatora harmonicznego Cz¡stka poruszaj¡ca si¦ pod wpªywem takiego potencjaªu doznaje dziaªania liniowej siªy dV zwrotnej ( ) = − dx = − . Z mechaniki klasycznej wiemy, »e Fx kx cz¡stka poruszaj¡ca si¦ pod wpªywem takiej siªy porusza si¦ ruchem harmonicznym z cz¦sto±ci¡ r ω= k . m Stacjonarne równanie Schrödingera opisuj¡ce ten przypadek ma posta¢: − }2 d2 ψ d 2 m x 2 + k 2 x2 ψ = E ψ. Potencjaª oscylatora harmonicznego Rozwi¡zuj¡c to równanie, znajdujemy warto±ci wªasne energii oscylatora En = n + 1 2 }ω, n = 0, 1, 2, 3, ... co jest bliskie przewidywaniom Plancka, wedªug którego energia cz¡stki wykonuj¡cej ruch harmoniczny przybiera warto±ci En = n}ω, n = 0, 1, 2, 3, ... Okazuje si¦, »e postulat Plancka nie przewidywaª istnienia drga« zerowych. Potencjaª oscylatora harmonicznego Funkcje wªasne oscylatora harmonicznego we wspóªrz¦dnej bezwymiarowej ξ= q mω x s¡ postaci } ψn (ξ) = An Hn (ξ)e−ξ 2 /2 , Hn to√n-ty wielomian Hermite'a, a staªa normalizacyjna An = (2n n! π)−1/2 . gdzie Liczba kwantowa 0 1 2 3 4 5 Funkcja wªasna −ξ 2 /2 0 −ξ 2 /2 1 2ξ 2 −ξ 2 /2 2 (4ξ − 2) 3 −ξ 2 /2 3 (8ξ − 12ξ) 4 2 −ξ 2 /2 4 (16ξ − 48ξ + 12) 5 3 −ξ 2 /2 5 (32ξ − 160ξ + 120ξ) Ae A e A A A A e e e e Potencjaª oscylatora harmonicznego Kilka pierwszych funkcji wªasnych i odpowiadaj¡cych im g¦sto±ci prawdopodobie«stwa. Plan prezentacji: √ 1. Potencjaª niesko«czenie gª¦bokiej studni prostok¡tnej. 2. Potencjaª oscylatora harmonicznego. Plan prezentacji: √ √ 1. Potencjaª niesko«czenie gª¦bokiej studni prostok¡tnej. 2. Potencjaª oscylatora harmonicznego. Bibliograa: [1] [2] [3] Fizyka kwantowa R. Eisberg, R. Resnick Mechanika kwantowa L. I. Schiff Wst¦p do mechaniki kwantowej R. L. Liboff