Wielokąty foremne

Wielokąty foremne
(Konstrukcje platońskie)
1
Definicja 1. Wielokąt wypukły nazywa się
foremny , jeżeli ma wszystkie kąty równe i
wszystkie boki równe.
Przykładami wielokątów foremnych są trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny, siedmiokąt foremny,
ośmiokąt foremny:
Trójkąt
równoboczny
Kwadrat
Pięciokąt foremny
(pentagon)
Sześciokąt for. Siedmiokąt for. Ośmiokąt for.
(heptagon)
(heksagon)
(oktagon)
2
Pentagon: Siedziba Departamentu Obrony
Stanów Zjednoczonych
3
Dlaczego Pentagon jest nazywany
Pentagonem
4
Na każdym wielokącie foremnym można
opisać okrąg i to tylko jeden; w każdy wielokąt foremny można okrąg wpisać, i też tylko
jeden, przy czym środki okręgu opisanego i
okręgu wpisanego w dany wielokąt foremny
pokrywają się.
5
Jeżeli przez an i ϕn oznaczymy odpowiednio długość boku i miarę kąta wewnętrznego
n-kąta foremnego, przez R zaś promień okręgu opisanego na tym wielokącie, to zachodzą
następujące zależności:
180◦
(1)
an = 2R · sin
n
n−2
ϕn =
(2)
· 180◦
n
Przykład 2. Ze wzoru (2) wyliczamy kąt
wewnętrzny ϕ10 dziesięciokąta foremnego:
10 − 2
ϕ10 =
· 180◦ = 144◦.
10
Trochę trudniejsze jest znalezienie zależności
pomiędzy długością boku dziesięciokąta foremnego i promieniem okręgu opisanego na
tym dziesięciokącie. Zależność ta ma postać:
√
5−1
(3)
a10 =
R.
2
Jako efekt uboczny znajdujemy wartość sin 18◦:
√
5−1
sin 18◦ =
.
4
6
Prawdziwe jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie 3. Dla każdej liczby naturalnej n ­ 3 istnieje n-kąt foremny.
Jest to twierdzenie, którego prawdziwość
nie budzi wątpliwości. Nas jednak interesuje coś innego: Czy potrafimy skonstruować
każdy taki wielokąt? Jeżeli używamy słowa
„skonstruować”, to pojawia się następne, uściślające pytanie: Przy użyciu jakich narzędzi
będziemy te wielokąty konstruować?
7
Konstrukcje platońskie
Od czasów antycznych jednym z ważniejszych zagadnień geometrii było konstruowanie figur płaskich za pomocą cyrkla i linijki. Konstrukcje takie nazywane są platońskimi, od imienia (pseudonimu) sławnego filozofa greckiego Platona, żyjącego na przełomie IV i V wieku przed Chrystusem. Nie każdą figurę geometryczną można w taki sposób
skonstruować, nawet nie każdy wielokąt. Opis
wielokątów foremnych, które można skonstruować za pomocą cyrkla i linijki, podał Karl
Friedrich Gauss (1777 – 1855), sławny matematyk niemiecki, zwany księciem matematyków.
Twierdzenie 4 (Gauss). Wielokąt foremny
o n bokach można skonstruować przy pomocy cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy
n = 2m · p1 · p2 · . . . · pk ,
gdzie m jest liczbą naturalną, a p1, p2, . . . , pk
s
są różnymi liczbami pierwszymi postaci 22 +1.
8
Występujące w twierdzeniu 4 liczby poj
2
staci fj = 2 + 1 nazywamy liczbami Fermata, od nazwiska sławnego 17-wiecznego francuskiego prawnika-matematyka. Jeżeli liczba
Fermata jest pierwsza, to nazywamy ją liczbą pierwszą Fermata. Znajdźmy kilka takich
liczb. Podstawmy pod j kolejne liczby naturalne 0, 1, 2, 3, 4, 5. Otrzymujemy:
f0
f1
f2
f3
f4
f5
=
=
=
=
=
=
20
2 + 1 = 21 + 1 = 3,
1
2
2 + 1 = 22 + 1 = 5,
2
22 + 1 = 24 + 1 = 17,
3
22 + 1 = 28 + 1 = 257,
24
2 + 1 = 216 + 1 = 65 537,
5
2
2 + 1 = 232 + 1 = 4 294 967 297.
Łatwo sprawdzić, że liczby f0, f1, f2, f3 i f4
są pierwsze. Fermat przypuszczał, że wszystkie takie liczby są pierwsze, jednak Leonard
Euler (1707 – 1783) wykazał, że f5 dzieli się
przez 641: f5 = 641 × 6 700 417. Do naszych czasów nie udało się znaleźć innych liczb pierwszych Fermata: wszystkie znane liczby Fermata większe od f4 okazały się być złożone
i sformułowano nawet hipotezę, że spośród
liczb Fermata jedynie pięć początkowych to
liczby pierwsze.
9
Dla jakich n można skonstruować przy pomocy cyrkla i linijki n-kąt foremny?
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
n = 10
n = 11
n = 12
n = 13
n = 14
TAK
TAK
n = 15
n = 16
n = 17
n = 18
n = 19
n = 20
n = 21
n = 22
n = 23
n = 24
n = 25
n = 26
n = 27
n = 28
n = 29
n = 30
n = 31
n = 32
n = 33
n = 34
n = 35
n = 36
n = 37
n = 38
10
Konstrukcja pięciokąta foremnego
Dla danego okręgu skonstruujemy za pomocą
cyrkla i linijki dziesięciokąt foremny i pięciokąt foremny wpisany w ten okrąg.
B
D
A1
C
ω
O
Niech dany będzie okrąg ω o środku O i promieniu R. Konstruujemy dwie wzajemnie prostopadłe średnice tego okręgu, koniec jednej
z nich oznaczamy przez B, drugiej przez A1.
Niech C będzie środkiem odcinka OB. Konstruujemy okrąg o środku C, którego średnicą jest odcinek OB, a następnie oznaczamy
przez D punkt przecięcia odcinka A1C z tym
okręgiem.
11
Udowodnimy, że A1D jest bokiem dziesięciokąta foremnego wpisanego w okrąg ω. Istotnie, ponieważ
|A1D| = |A1C| −
R
,
2
v
u
u
u
u
t
R2
√
5
|A1C| = |A1O|2 + |OC|2 = R2 +
=
R,
4
2
√
5−1
więc |A1D| =
R. Ze wzoru (3) wynika,
2
że A1D jest bokiem dziesięciokąta foremnego
wpisanego w okrąg o promieniu R. Znajdujemy więc na okręgu ω punkty A2, A3, . . . , A10
takie, że |A1A2| = |A2A3| = . . . = |A10A1| = |A1D|,
które tworzą dziesięciokąt foremny wpisany
w okrąg ω.
s
A3
A2
D
A1
B A
4
C
O
A5
A6
A7
A10
A9
A8
12
Pięciokąt foremny wpisany w ω tworzą oczywiście punkty A1A3A5A7A9 — patrz rysunek.
A3
A4
A2
A5
A1
A6
A7
A10
A9
A8
13
6
Konstrukcja piętnastokąta foremnego
Dla danego okręgu skonstruujemy za pomocą
cyrkla i linijki piętnastokąt foremny wpisany
w ten okrąg.
C
A3
B
A1
A4 A5
A6
A7
A2
O
A8
A1
A15
A14
A9
A10
A13 A12 A11
Niech dany będzie okrąg o środku O i niech
A1B będzie bokiem dziesięciokąta foremnego
wpisanego w ten okrąg, A1C zaś bokiem sześciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg
(patrz rysunek z lewej strony). Oczywiście
∠A1OB = 36◦, ∠A1OC = 60◦, więc ∠BOC = 24◦ =
360◦
. Wynika stąd, że BC jest bokiem piętna15
stokąta foremnego wpisanego w dany okrąg.
Piętnastokąt ten przedstawiony jest na rysunku z prawej strony.
14
Czy można skonstruować kąt,
którego miara jest równa 1◦?
Gdyby można było taki kąt skonstruować,
to wówczas byłaby również możliwa konstrukcja 360-kąta foremnego! Ale 360 = 23 × 32 × 5
nie jest liczbą dopuszczalną przez twierdzenie
Gaussa. Zatem konstrukcja kąta o mierze 1◦
nie jest możliwa.
Jakie zatem kąty możemy skonstruować
przy pomocy cyrkla i linijki?
Nie możemy skonstruować kąta o mierze
2◦ (dlaczego?). A jak będzie z kątem o mierze 3◦?
Zauważmy, że można skonstruować 120-kąt
foremny, bo 120 = 23 × 3 × 5 jest liczbą dopuszczalną przez twierdzenie Gaussa. Kąt środkowy wyznaczony przez dwa kolejne wierzchołki
takiego wielokąta ma miarę 3◦. Zatem kąt o
mierze 3◦ jest możliwy do skonstruowania.
Twierdzenie 5. Przy pomocy cyrkla i linijki możemy skonstruować kąt o mierze n
stopni (n ∈ N) wtedy i tylko wtedy, gdy n jest
liczbą podzielną przez 3.
15