Edudu.pl - Wielokąty foremne

Ściąga eksperta
Wielokąty foremne
Wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty tej samej miary nazywamy wielokątem foremnym.
Przykłady wielokątów foremnych:
a) Z trójkątów tylko trójkąt równoboczny jest foremny
b) Z czworokątów tylko kwadrat. Romb, niebędący kwadratem nie jest wielokątem foremnym, ma kąty różnej miary!!! Zapamiętaj to bo często
pojawiają się tutaj błędy.
c) Pięciokąt foremny
d) Sześciokąt foremny
e) Itd.
Dwunastokat foremny
Okręgi opisane na wielokątach foremnych, okręgi wpisane w wielokąty foremne
Na każdym wielokącie foremnym możemy opisać okrąg i w każdy wielokąt możemy wpisać okrąg.
Jeżeli chodzi o trójkąt równoboczny to bardzo dokładnie opisałem jego własności i długości promieni okręgów opisanych i wpisanych w
trójkąty równoboczne w wykładzie pt. „Wokół trójkąta równobocznego”, tam znajdziesz szereg zadań dotyczących tego wielokąta foremnego
zachęcam Cię do wysłuchania tego wykładu.
Środek okręgu opisanego na kwadracie i wpisanego w kwadrat to punkt przecięcia przekątnych. Zobacz rysunek.
a- długość boku kwadratu
d=a∙√2 - długość przekątnej kwadratu
R=(a∙√2)/2 - długość promienia okręgu opisanego na kwadracie
r=a/2 - długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 1/5
Ściąga eksperta
Sześciokąt foremny:
a- długość boku sześciokąta foremnego
R=a- długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym
r=(a√3)/2 – długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
d1=2a- długość dłuższej przekątnej sześciokąta foremnego
d2=a√3 - długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego
P=6∙(a2∙√3)/4 - pole sześciokąta foremnego
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 2/5
Ściąga eksperta
Zadanie 1. Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwunastokąta foremnego.
W n-kącie suma miar kątów wynosi (n-2)∙180°, dlatego suma miar kątów dwunastokąta to:
(12-2)∙180°=1800°. A ponieważ wiemy, że wielokącie foremnym wszystkie kąty są jednakowej miary więc: 1800°:12=150°. Formujemy
odpowiedź, że miara kąta dwunastokąta foremnego wynosi 150°.
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 3/5
Ściąga eksperta
Zadanie 2. www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 4/5
Ściąga eksperta
Wiedząc, że kąt wewnętrzny pewnego wielokąta foremnego ma miarę 144°. Oblicz liczbę boków tego wielokąta.
Jeżeli sumę miar kątów n-kąta foremnego podzielimy przez n (liczbę kątów) to dostaniemy miarę kąta wewnętrznego :
(n-2)∙180°
/n=144°. 180° n-360°=144°n
Rozwiązując to równanie dostaniemy:
36° n=360° ⇒ n=10
Odp: Każdy kąt dziesięciokąta foremnego ma mirę 144°.
Zadanie 3.
Obliczyć pole koła opisanego na kwadracie o boku długości 5 cm.
Obliczymy długość przekątnej danego kwadratu ze wzoru d=a√2 wynikającego bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa, zatem: d=5√2
cm. Długość promienia okręgu opisanego na tym kwadracie to połowa przekątnej:
P=π∙R2=π∙ ((5√2)/2)2=12,5π cm2.
R=1/2 d=(5√2)/2 cm. Następnie liczymy pole:
Zapiszemy odpowiedź, że pole koła opisanego na kwadracie o boku 5 cm to 12,5π cm2.
Zadanie 4. Obliczyć promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu 6√3 cm2.
Ze wzoru na pole sześciokąta foremnego P=6∙(a2∙√3)/4 obliczymy długość boku a tego sześciokąta foremnego:
6∙ (a2∙√3)/4=6√3 ⇒ a2=4 ⇒ a=2 cm
I teraz liczymy promień okręgu wpisanego w dany sześciokąt foremny: r=(a√3)/2=(2√3)/2=√3 cm
Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość √3 cm
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
Strona 5/5