Przejścia międzypasmowe

Przejścia międzypasmowe
Przejścia międzypasmowe
• Na skutek przekrywania dużej liczby orbitali atomów (rzędu 10 20 )
powstają pasma – elektron może przyjmować nie dyskretne (jak w atomie),
lecz ciągłe wartości energii.
• Granica półprzewodnik/izolator: ok. 6 eV (200 nm).
Przejścia międzypasmowe
• Temperaturową zależność przerwy opisuje relacja Varshniego:
T 2
Eg T   E g 0 
T 
gdzie  i  są parametrami charakterystycznymi dla danego materiału.
GaAs
Przejścia międzypasmowe
• Domieszkowanie powoduje powstanie dodatkowych poziomów w przerwie
wzbronionej:
CB
CB
D
A
VB
VB
typ p
typ n
• Wzrost koncentracji domieszkowania powoduje zwiększenie przewodnictwa.
• Półprzewodniki o przewodnictwie porównywalnym z metalami noszą nazwę
zdegenerowanych (bardzo silnie domieszkowane).
Przejścia międzypasmowe
• Półklasyczny opis oddziaływania fali elektromagnetycznej z elektronami
w półprzewodniku:
- pole elektromagnetyczne traktowane klasycznie (brak fotonów)
- elektrony kwantowo-mechanicznie (funkcje falowe Blocha)
• Mimo prostszego podejścia, opis ten pozwala na otrzymanie takich samych
rezultatów, jak pełny model kwantowo-mechaniczny.
• Punktem wyjścia jest jednoelektronowy hamiltonian bez zewnętrznego
zaburzenia:
• Pole elektromagnetyczne opisane jest za pomocą potencjału wektorowego
Ar, t  oraz potencjału skalarnego  r, t  z cechowaniem Coulomba:
 A  0
 0
Przejścia międzypasmowe
• W tym cechowaniu pola elektryczne i magnetyczne mają postać:
E
1 A
c t
B   A
• Hamiltonian ładunku Q w obecności zewnętrznego pola można otrzymać
z hamiltonianu cząstki swobodnej, zmieniając pęd na: p  QA c  .
• Zatem dla ładunku Q  e poruszającego się w polu elektromagnetycznym
hamiltonian będzie miał postać:
• Dzięki cechowaniu   A  0 następujące wyrażenia są sobie równe:
e
e
Ap 
pA
2mc
2mc
mimo że p oraz A nie komutują ze sobą.
Przejścia międzypasmowe
• Ostatni człon w hamiltonianie może zostać zaniedbany
(zależy kwadratowo od pola).
• Wówczas hamiltonian przyjmuje postać:
gdzie drugi człon opisuje oddziaływanie elektronu z zewnętrznym polem
i nosi nazwę hamiltonianu oddziaływania elektron-promieniowanie.
• Hamiltonian ten może być również zapisany w postaci (dla innego cechowania):
gdzie pierwsza postać jest bardziej ogólna, a druga odpowiada przybliżeniu
dipola elektrycznego (pominięte jest oddziaływanie elektronu z polem
elektromagnetycznym za pośrednictwem siły Lorentza).
• Zaletą pierwszej postaci hamiltonianu jest bezpośrednie wykorzystanie
elementów macierzowych pędu w obliczeniach struktury pasmowej metodą kp.
Przejścia międzypasmowe
• W celu otrzymania z hamiltonianu oddziaływania przenikalności elektrycznej,
zakładamy, że A jest wystarczająco słaby i możemy wykorzystać rachunek
zaburzeń zależny od czasu w celu obliczenia prawdopodobieństwa przejścia
elektronu ze stanu w paśmie walencyjnym do pasma przewodnictwa.
• W tym celu należy oszacować element:
(****)
gdzie A  Ae (amplituda i wersor w kierunku potencjału wektorowego).
• Amplituda zależy od natężenia pola elektrycznego:
gdzie pierwszy człon odpowiada procesom absorpcji, a drugi emisji.
• Obliczenie elementu macierzowego
po przestrzeni.
wymaga całkowania
Przejścia międzypasmowe
• Z kolei całkowanie po czasie wyrażeń
w amplitudzie potencjału
wektorowego oraz w funkcjach Blocha elektronu, prowadzi do:
co jest proporcjonalne (dla procesów absorpcji):
oraz dla procesów emisji:
• Ponieważ proces emisji zachodzi w obecności zewnętrznego pola,
jest to proces emisji wymuszonej.
• Wielkości elementów macierzowych, odpowiadających procesowi absorpcji
oraz emisji, są sobie równe.
Przejścia międzypasmowe
• Dla potencjału periodycznego V (r ) , rozwiązania równania Schrödingera
układu opisanego hamiltonianem:
p2
H
 V (r )
2m
są postaci:
 k r   uk r eikr
gdzie funkcja uk r  posiada periodyczność sieci, tzn.: uk r   uk r  R  ,
a R jest wektorem sieci (funkcja Blocha).
Przejścia międzypasmowe
• Funkcje Blocha elektronu w paśmie przewodnictwa i walencyjnym mają
postać:
• Wówczas element macierzowy:
• Periodyczność funkcji Blocha (symetria translacyjna kryształu) powoduje,
że całka ta jest różna od zera jedynie gdy:
gdzie G jest wektorem sieci odwrotnej, a po zredukowaniu do pierwszej
strefy Brillouina, otrzymujemy zasadę zachowania wektora falowego dla
przejść optycznych:
Przejścia międzypasmowe
• W zakresie widzialnym wartość wektora falowego
,
co jest znacznie mniej od typowych wartości wektora falowego elektronu
(na brzegu strefy Brillouina:
).
• Odpowiada to przybliżeniu dipolowemu, gdzie długość fali znacznie
przekracza rozmiary komórki elementarnej (np.
oraz
).
• Dla małych wartości wektora falowego, można dokonać rozwinięcia w szereg:
• Kiedy wektor falowy jest wystarczająco mały, że wszystkie zależące od niego
elementy mogą zostać pominięte, element macierzowy przyjmuje postać:
(***)
• Jest to przybliżenie dipola elektrycznego.
• Ponieważ wektor falowy jest zaniedbywalnie mały:
, co oznacza
zachowanie wektora falowego elektronu – są to tzw. przejścia proste.
Przejścia międzypasmowe
• Element macierzowy możemy również zapisać w postaci:
• Jeżeli pierwszy element rozwinięcia w szereg jest równy zero, wówczas
za przejścia optyczne odpowiada wyraz
, a element macierzowy:
opisuje przejścia elektryczne kwadrupolowe oraz magnetyczne dipolowe.
• Przejścia kwadrupolowe są słabsze od dipolowych o czynnik rzędu
(odpowiada on stosunkowi stałej sieci do długości fali promieniowania)
Przejścia międzypasmowe
• W przypadku przejść dipolowych
(przejścia proste).
• Dodatkowo element macierzowy w przybliżeniu dipolowym (***) nie zależy
mocno od k i może zostać zastąpiony stałą
.
• Wówczas równanie (****) można zapisać w uproszczonej postaci:
• Ogólna postać Złotej Reguły Fermiego
(prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu):
R
zatem:
2
2
 2 H  1  E2  E1   

Przejścia międzypasmowe
• Strata energii pola w jednostce objętości na skutek absorpcji odpowiada
iloczynowi prawdopodobieństwa przejścia i energii fotonu: R .
• Z drugiej strony, szybkość zaniku energii fali wchodzącej do ośrodka:
gdzie x opisuje głębokość wnikania fali.
• Gęstość energii fali można wyrazić za pomocą amplitudy pola:
• Wykorzystując zależność:
• Otrzymamy:
Przejścia międzypasmowe
• Oraz korzystając z relacji Kramersa-Kroniga otrzymamy część rzeczywistą:
gdzie cv  Ec k   Ev k  .
• Odpowiada to postaci otrzymanej w modelu oscylatorów:

N
4e 2 
  2 i 2 
1    1 
m  i i   
gdzie N i jest liczbą oscylatorów na jednostkę objętości o częstościach i .
• Znając część urojoną przenikalności elektrycznej możemy wyznaczyć również
współczynnik absorpcji:

 2
cn