Technologia MES Analiza ramy płaskiej - L5.pk.edu.pl

Technologia MES
Analiza ramy płaskiej
METODY OBLICZENIOWE
Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Ewa Pabisek
(1)
Analiza ramy płaskiej
Opis pręta ramowego
Wektor funkcji przemieszceń: u = u(x), v(x)
Wektor odkształceń:
d2 v(x) o
−→
dx
dx
d
0
e = Lu, L = dx
2
d
0
− dx
2
n
o
Wektor naprężeń: s = N (x), M (x)
Wektor obciążenia po długości elementu: p = px , py
e = {εx , κ(x)} =
n du
,−
Macierz związków fizycznych:
EA 0
D=
0
EI
(2)
Element ramowy płaski
Opis elementu w układzie lokalnymi (xe , y e )
q 3= ϕ (1)
q 1= u (1)
1
q 2= v (1)
q 6 = ϕ (2)
y, v
2
q 5= v (2)
q 4= u (2)
x, u
liczba stopni swobody węzła lssw = 3, elementu lsse = 6
wektor przemieszczeń węzła elementu
qw
(3×1)
= {u, v, ϕ}w
wektor przemieszczeń ES
qe = {q1 , q2 } = {q1 , q2 , q3 | q4 , q5 , q6 } = {u1 , v1 , ϕ1 | u2 , v2 , ϕ2 }
(6×1)
(3)
Element ramowy płaski
Opis elementu w układzie lokalnymi (xe , y e )
q 3= ϕ (1)
q 1= u (1)
1
q 2= v (1)
q 6 = ϕ (2)
y, v
2
q 5= v (2)
q 4= u (2)
x, u
aproksymacja pola przemieszczeń:
ue (ξ) = Ne (ξ)qe
"
N(ξ) =
(2×6)
1−ξ
0
0
ξ
0
0
0
1 − 3ξ 2 + 2ξ 3
L(ξ − 2ξ 2 + ξ 3 )
0
3ξ 2 − 2ξ 3
L(ξ 3 − ξ 2 )
#
gdzie: ξ e = x/le – bezwymiarowa współrzędna
(4)
Element ramowy płaski
Opis elementu w układzie lokalnymi (xe , y e )
q 3= ϕ (1)
q 1= u (1)
1
q 2= v (1)
q 6 = ϕ (2)
y, v
2
q 5= v (2)
q 4= u (2)
x, u
aproksymacja pola uogólnionych odkształceń
e(ξ)
e =
= B qe
κ(ξ)
(2×1)
(2×6)(6×1)
"
0
0
1/L
0
−1/L
B(ξ) =
2
0
(6 − 12ξ)/L (4 − 6ξ)/L
0
(−6 + 12ξ)/L2
(2×6)
0
(−4 + 6ξ)/L
aproksymacja pola sił przekrojowych
N (ξ)
s =
= D · e(ξ) = D B(ξ) · qe
M (ξ)
(2×1)
(2×2) (2×1)
(2×2)(2×6) (6×1)
(5)
Element ramowy płaski
Opis elementu w układzie lokalnymi (xe , y e )
Macierz sztywności ke elementu skończonego:





e
k =

(6×6)



ke =
R le
0
BT D B dxe ,
EA
L
0
0
−EA
L
0
0
0
0
12EI
L3
6EI
L2
6EI
L2
4EI
L
0
0
−12EI
L3
−6EI
L2
6EI
L2
2EI
L
−EA
L
0
0
EA
L
0
0
0
0
−12EI
L3
6EI
L2
−6EI
L2
2EI
L
0
0
12EI
L3
−6EI
L2
−6EI
L2
4EI
L










R le
Siły zastępcze od obciążenia przyłożonego do ES: ze = 0 NeT pe dxe
dla px = const oraz py = const:
px L py L py L2 px L py L −py L2
ze =
,
,
,
,
.
2
2
12
2
2
12
(6)
Element ramowy płaski
Opis elementu w układzie globalnym (X, Y )
X, U
Q 3= ϕ (1)
Q 1= U (1)
Y, V
α
Q 6= ϕ (2)
Q 2= V (1)
Q 4= U (2)
y, v
x, u
Q 5= V (2)
orientacja na na płaszczyźnie - kąt α
liczba stopni swobody węzła lssw = 3, elementu lsse = 6
wektor przemieszczeń węzła elementu
Qw
(3×1)
= {U, V, ϕ}w
wektor przemieszczeń ES
Qe = {Q1 , Q2 } = {Q1 , Q2 , Q3 | Q4 , Q5 , Q6 } = {U1 , V1 , ϕ1 | U2 , V2 , ϕ2 }
(6×1)
(7)
Element ramowy płaski
Opis elementu w układzie globalnym (X, Y )
Macierz transformacji

c
 −s

 0
Te = 
 0
(6×6)

 0
0
Te z układu xe , y e do X, Y

0 0 0
s 0
c 0
0 0 0 

0 1
0 0 0 
 c = cos(α),
0 0
c s 0 

0 0 −s c 0 
0 0
0 0 1
s = sin(α)
Macierz sztywności Ke ES w układzie globalnym (X, Y )
Ke = Te
(6×6)
T
ke Te
(6×6) (6×6)(6×6)
Wektor węzłowych sił zastępczych od obciążeń ES
Ze = Te
(6×1)
T
ze
(6×6) (6×1)
(8)
Statyka ramy płaskiej
Przykład 3. Schemat, dyskretyzacja,topologia
3 kN/m
Q4
X
5 kN
Q9
Q6
2
2
Q5
X, U
Q8
Q7
3
4.0 m
Y
3.0 m
Y, V
4.0 m
1
Q1
NE
wP
wK
1
1
2
2
2
3
Q3
1
Q2
Liczba węzłów (LW = 3)
Liczba elementów (LE = 3)
Liczba stopni swobody węzła (LSSW = 3)
Liczba stopni swobody układu (LSSU = 9)
E = 2 · 104 MN/m2 , A = 0.08 m2 , I = 0.001066 m4 .
(9)
Statyka ramy płaskiej
Przykład 3. Obliczenia
x
2
1
X
Element e = 1 : L = 5, c = 0.6, s = −0.8
q1 = { q1 , q2 , q3 | q4 , q5 , q6 } =
{ u(1) , v(1) , ϕ(1) | u(2) , v(2) , ϕ(2) }
Q1 = { Q1 , Q2 , Q3 , | Q4 , Q5 , Q6 } =
1
α
1
{ U(1) , V(1) , ϕ(1) , | U(2) , V(2) , ϕ(2) }
1
y
1
Y
∆X = x2 − x1 = 3
∆Y = y2 − y1 = −4
√
L = ∆X 2 + ∆Y 2 = 5
s = ∆Y /L = −0.8
c = ∆X/L = 0.6
macierz transformacji

0.6 −0.8
 0.8
0.6


0
0
T1 = 
 0
0

 0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0.6
0.8
0

0 0
0 0 

0 0 

−0.8 0 

0.6 0 
0 1
(10)
Statyka ramy płaskiej
Przykład 3. Obliczenia cd.
macierz sztywności w układzie lokalnym

320.00
0
0

0
2.0467
5.1168


0
5.1168
17.0560
1
k =
 −320.00
0
0


0
−2.0467 −5.1168
0
5.1168
8.5280
−320.00
0
0
320.00
0
0
0
−2.0467
−5.1168
0
2.0467
−5.1168
0
5.1168
8.5280
0
−5.1168
17.0560








macierz sztywności w układzie globalnym
K1 = (T1 )T k1 T1




K1 = 103 · 



116.509
−152.617
4.093
−116.509
152.617
4.093
−152.617
205.536
3.070
152.617
−205.536
3.070
4.093
3.070
17.056
−4.093
−3.070
8.528
−116.509 152.617
152.617 −205.536
−4.093
−3.070
116.509 −152.617
−152.617 205.536
−4.093
−3.070
4.093
3.070
8.528
−4.093
−3.070
17.056








wektor węzłowych sił zastępczych Z1 = { 0, 0, 0, | 0, 0, 0 }
(11)
Statyka ramy płaskiej
Przykład 3. Obliczenia cd.
Element e = 2 : L = 4, c = 1.0, s = 0.0
q2 = { q1 , q2 , q3 | q4 , q5 , q6 } =
{ u(2) , v(2) , ϕ(2) | u(3) , v(3) , ϕ(3) }
Q2 = { Q4 , Q5 , Q6 , | Q7 Q8 , Q9 } =
X
{ U(2) , V(2) , ϕ(2) | U(3) , V(3) , ϕ(3) }
Y
2
3
2
y
x
2
macierz transformacji

2



2
T =



1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1








(12)
Statyka ramy płaskiej
Przykład 3. Obliczenia cd.
macierz sztywności w układzie lokalnym i globalnym

−400.0
400.0
0
0

0
3.997
7.995
0


0
0
7.995
21.320
2
2
3 
k = K = 10 · 
−400.0
0
0
400.0


0
−3.997 −7.995
0
0
7.995
10.660
0
0
−3.997
−7.995
0
3.997
−7.995
0
7.995
10.660
0
−7.995
21.320








wektor węzłowych sił zastępujących obciążenie przyłożone do wnętrza
elementu
pL pL2 pL
pL2
,
, 0,
, −
, } = {0, 6, 4, | 0, 6, −4}
Z2 = {0,
2
12
2
12
(13)
Statyka ramy płaskiej
Przykład 3. Obliczenia cd.
3 kN/m
Q4
X
5 kN
Q9
Q6
2
2
Q5
X, U
Q8
Q7
3
4.0 m
Y
3.0 m
4.0 m
1
Q1
NE
wP
wK
1
1
2
2
2
3
Q3
1
Q2
Y, V
Układ równań MES
K Q = Z + P + R.
Z = { 0, 0, 0 | 0, 6, 4 | 0, 6, −4 }
P = { 0, 0, 0 | 5, 0, 0 | 0, 0, 0 }
Q = { 0, 0, 0 | 3.297 , 2.471, 0.521 | 3.298, 0.0, −1.375 } · 10−3
R = { −5.0 − 2.95, −16.65 | 0.0, 0.0, 0.0 | 0.0, −9.05, 0.0 }
(14)
Statyka ramy płaskiej
Przykład 3. Wykresy
Wykres sil podluznych
2
3
1
Wykresy momentów
0.64
Wykres sil poprzecznych
2.95
12.2
9.05
16.64
5.77
(15)