IV. WPROWADZENIE DO MES

Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
27
IV. WPROWADZENIE DO MES
Poszukiwanie rozwiązań przybliżonych bazujących na metodach residualnych i wariacyjnych
napotyka na trudności w doborze funkcji bazowych określonych na całym obszarze.
Metoda elementów skończonych pokonuje te trudności – w MES stosuje się zlokalizowane
funkcje bazowe.
1. Sformułowanie algorytmu MES dla przestrzennego/płaskiego/liniowego
zagadnienia teorii sprężystości
Założenie:
– sformułowanie Rayleigha-Ritza,
– szczegóły algorytmy pokazano na przykładzie zagadnienia dwuwymiarowego.
1. Obszar Ω dzielimy na elementy skończone Ωe e=1,2,....,E
– proste geometryczne kształty,
– wyróżniamy punkty węzłowe a1, a2,....., aN, ogólnie a i = (ai1 , ai 2 ) i=1,2,...,N,
N - liczba
punktów węzłowych.
Rys. 4.1. Schemat statyczny i model dyskretny obszaru Ω
2. Element skończony
ƒ Geometria elementu
– może być zdefiniowany lokalny układ dla każdego elementu. Będziemy przyjmowali,
że xi( e ) = xi .
ƒ Punkty węzłowe
– zwykle w narożach a (αe) = (aα( e1) , aα( e2) )
α =1,2,..., Ne
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
28
Rys. 4.2. Element skończony
ƒ Aproksymacja przemieszczenia
– dobieramy funkcje bazowe
φ(x)(e) = [φ1(e), φ2(e),..., φNe(e)],
(4.1)
– parametry węzłowe
⎧q1(e) ⎫
⎪ (e) ⎪
(e) ⎪q 2 ⎪
q =⎨
⎬,
⎪ M ⎪
⎪q (e) ⎪
⎩ Ne ⎭
(4.2)
– aproksymacja przemieszczenia
u(e)(x)= φ(e)(x) q(e) = φα(e) qα(e),
(4.3)
– funkcje bazowe
⎧ I dla α = β
φα(e)(aβ(e))= ⎨
⎩0 dla α ≠ β
(4.4)
są klasy Cn-1 gdzie n jest rzędem najwyższej pochodnej występującej w wyrażeniu
energii potencjalnej Пp[u(x)] (ogólnie: w funkcjonale opisującym zagadnienie),
– dla zagadnienia dwuwymiarowego
u (e)
⎧ u1 ⎫
⎪ ⎪
= ⎨u 2 ⎬
⎪u ⎪
⎩ 3⎭
(e)
⎡ ϕ11
= ⎢⎢ϕ 21
⎢⎣ϕ 31
ϕ12
ϕ 22
ϕ 32
(e)
ϕ13 ⎤
ϕ 23 ⎥⎥
ϕ 33 ⎥⎦ α
(e)
⎧ q1 ⎫
⎪ ⎪
(e) (e)
⎨q 2 ⎬ = ϕ α q α .
⎪q ⎪
⎩ 3 ⎭α
(4.5)
ƒ Odkształcenie
ε(e) = Du(e) = Dφα(e)qα(e) = Bα(e)qα.
(4.6)
ƒ Naprężenie
σ(e) = C ε(e) = C Bα(e)qα.
(4.7)
3. Funkcjonał - energia potencjalna układu
Zapisujemy energię potencjalną układu pokazanego na rys. 4.3.
29
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
Rys. 4.3.
1
Πp[u]= ∫ [ ε T σ − u T ρfˆ ] dΩ − ∫ u T tˆ d(∂Ω) .
2
Ω
∂Ω
(4.8)
Energię potencjalną zapisujemy jako sumę energii potencjalnej z poszczególnych elementów.
Jest to konsystentnie równoważne jeżeli całka po wspólnych brzegach podobszarów ∂Ω (e) jest
równa zeru. Tak jest, jeżeli funkcje kształtu są odpowiedniej klasy ciągłości.
Tak więc
E
Π p ≅ ∑ Π ( e ) [u ( e ) ] ,
(4.9)
e =1
gdzie
– energia potencjalna pojedynczego elementu skończonego
1
Πp(e)[u(e)]= ∫ [ ε T(e) σ (e) − u T ( e ) ρfˆ ]dΩ =
2
Ω
1 T ( e) T ( e) (e)
(e)
T ( e ) T ( e)
∫ 2 qα Bα CBβ dΩ ⋅ qβ − ∫ qα ϕα ρfˆdΩ =
Ω
Ω
e
1
e) (e)
= qTα ( e )k (αβ
qβ − qTα ( e )Q (αe ) = Π ( e ) [q ( e) ] ,
2
e
(4.10)
– macierz sztywności elementu
(e)
k αβ
=
∫ Bα
T (e)
CB β( e ) dΩ ,
(4.11)
Ωe
– wektor równoważników statycznych obciążenia
Q ( e ) = ϕ T ( e ) ρfˆ dΩ .
α
∫
α
(4.12)
Ωe
4. Agregacja układu ES
ƒ Globalny wektor parametrów węzłowych
q = [q1, q2,...,qi,..., qN]T
ƒ Macierz incydencji
(4.13)
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
q(e)α=Λ(e)αi qi,
(4.14)
⎧I
jeżeli a (αe) = a i
Λ (e)αi= ⎨
⎩0 w przeciwnym przypadku
gdzie
30
(4.15)
ƒ Funkcjonał
Πp[u] = Πp[q] =
E
E
E
E
e =1
e =1
e =1
e =1
(e) (e)
= ∑ Π ( e ) [q ( e ) ] = ∑ Π ( e ) [ Λ ( e ) q ( e ) ] = ∑ q iT Λ αTi( e ) k αβ
Λ βj q j − ∑ q iT Λ iTα( e ) Q α( e ) =
E
= ∑ q iT K ij q j − q iT Q i ,
(4.16)
e =1
gdzie
(e) (e)
K ij = ∑ Λ Tαi( e ) k αβ
Λ βj ,
e
Q i = ∑ Λ iTα( e) Q α( e) .
(4.17)
e
ƒ Minimalizacja funkcjonału
∂Π p
=0 ⇒
K ij q j = Q i lub Kq = Q .
∂q i
(4.18)
Jeżeli u(e) nie są kinematycznie dopuszczalne, wówczas na układ powyższy należy dodatkowo
nałożyć warunki brzegowe kinematyczne.
Przykład – ściskanie pręta prostego - zagadnienie jednowymiarowe.
Rys. 4.4. Schemat statyczny zagadnienia jednowymiarowego pręta
Element skończony e-ty
- wektor parametrów q
(e)
⎧q ⎫
= ⎨ 1⎬
⎩q 2 ⎭
(e)
,
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
{
}
φ ( e) = ϕ1 ( x (e ) ), ϕ 2 ( x ( e ) )
- funkcje bazowe:
(e)
⎧ x (e)
,
= ⎨1 −
le
⎩
x (e) ⎫
⎬,
le ⎭
- wektor przemieszczenia: u(e) = φα(x(e))q(e)α = φ(e)q(e),
- wektor odkształcenia: ε
- wektor naprężenia:
(e)
1
∂
= u ( e ) = B α( e ) q α( e ) = [−
∂x
le
1 ( e ) ⎧ q1 ⎫
] ⎨ ⎬
le
⎩q 2 ⎭
σ ( e ) = Cε ( e ) = AEε ( e ) = AEε ( e ) = AEB (αe ) q (αe )
(e)
,
σ (e) = N (e)
- macierz sztywności:
le
k ( e ) = ∫ B T ( e ) CB ( e )
0
⎡ 1⎤
⎢− l ⎥ ⎡ 1
= AE ⎢ e ⎥ ⋅ ⎢ − ,
⎢ 1 ⎥ ⎣ le
⎢⎣ le ⎥⎦
⎡ 1
⎢l 2
1⎤
⎢e
⋅
=
l
EAl
e
⎥ e
le ⎦
⎢ 1
⎢l 2
⎣e
1 ⎤
le 2 ⎥⎥ EA ⎡ 1 − 1⎤ ,
=
1 ⎥
le ⎢⎣ − 1 1 ⎥⎦
2
le ⎥⎦
- wektor równoważników statycznych obciążenia:
Q (e)
⎧ 2 le 2 ⎫
p ⎧l − x ⎫
p ⎪⎪le − 2 ⎪⎪ ple ⎧1⎫
= ∫ φ ( e) pdx = ∫ ⎨ e
=
dx
⎬=
⎨ ⎬,
⎬
⎨
2
x
2
l
l
l
⎩
⎩1⎭
⎭
e ⎪
e le
e
⎪
le
⎪⎩ 2 ⎪⎭
- macierz koincydencji dla elementu e=1:
⎡1 0 0 0 0 0 0 0⎤
Λ (1) = ⎢
⎥
⎣0 1 0 0 0 0 0 0 ⎦
transformacja do układu globalnego – agregacja układu:
q(e)=Λ(e) q,
Globalny układ równań MES:
Kq = Q
w szczególności:
⎡ 1 −1
⎤ ⎧ q1 ⎫ ⎧1⎫
⎢− 1 2 − 1
⎥ ⎪q ⎪ ⎪2 ⎪
⎢
⎥ ⎪⎪ 2 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ pl
4 EA
⎢
⎥ ⎨ q3 ⎬ = ⎨2 ⎬ ,
−1 2 −1
l ⎢
8
⎥
− 1 2 − 1⎥ ⎪q4 ⎪ ⎪2⎪
⎢
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎣
− 1 1 ⎥⎦ ⎪⎩q5 ⎪⎭ ⎪⎩1⎪⎭
Po podstawieniu warunku kinematycznego: q5=0, rozwiązujemy układ równań otrzymując:
pl 2
[16,15,12,7]T .
q=
32 EA
31
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
32
2. Sformułowanie algorytmu MES dla zagadnienia linowej dynamiki
Wykorzystujemy zasadę Hamiltona:
Kinematycznie dopuszczalne pole przemieszczeń
u(x) przyjmujące rzeczywiste wartości w chwilach tp
i tk minimalizuje funkcjonał
tk
Π H = ∫ ( K − Π p )dτ ⇒ δΠ H = 0
(4.19)
tp
Rys. 4.5
gdzie:
energia kinetyczna: K =
T
1
ρu& u& dΩ ,
∫
2Ω
(4.20)
1
energia potencjalna: Π p = ∫ [ ε T σ − ρu T fˆ ] dΩ − ∫ u T tˆ d (∂Ω) .
2
Ω
∂Ω
(4.21)
Po zapisaniu poszczególnych składników
K=
1 E
1 E T (e)
T (e) T (e) ( e) (e)
&
&
ϕ
ϕ
ρ
q
q
Ω
=
q&
ρϕ T ( e) ϕ ( e ) dΩ q& ( e ) =
d
∑
∑
∫
∫
2 e=1 Ω
2 e=1
Ω
e
e
E
1
1
= ∑ q& T ( e) m ( e) q& ( e ) = q& T Mq& ,
2 e=1
2
1
Π p = q T Kq − q T Q .
2
(4.22)
(4.23)
Podstawiając do zasady Hamiltona, mamy
δΠ H = 0 ⇒
tk
∫ (δq&
T
Mq& − δq T Kq + δq T Q) dτ = 0 .
(4.24)
tp
Całkujemy pierwszy składnik przez części
tk
&& dτ + δqMq&
− ∫ δq Mq
T
tp
|tt12
tk
+ ∫ ( −δq T Kq + δq T Q) dτ = 0 ,
(4.25)
tp
gdzie drugie wyrażenie jest równe zeru ponieważ z założenia δq t =t1 ≡ 0 .
t =t 2
Stąd
tk
∫ (δq
T
&& − Kq + Q) dτ = 0 ,
( −Mq
(4.26)
tp
&& + Kq = Q .
Mq
W przypadku uwzględnienia tłumienia
(4.27)
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
&& + Cq& + Kq = Q ,
Mq
33
(4.28)
gdzie macierz tłumienia zwykle przyjmowana jest w postaci:
C=α1M+α2K,
(4.29)
α1, α2 – współczynniki zależne od częstości dragań ω.
Zagadnienie linowej dynamiki sprowadzone zostało do układu równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu. Opracowanych jest szereg metod całkowania numerycznego tego układu
równań z warunkami początkowymi
q(0) = qˆ ,
(4.30)
q& (0) = q&ˆ .
Agregacja macierzy mas przedstawia się następująco
E
M = ∑ Λ T (e)m (e) Λ (e) ,
(4.31)
e=1
gdzie macierz mas dla elementu wyznacza się jako
– macierz konsystentna:
m ( e ) = ∫ ρ φ T ( e ) φ ( e ) dΩ ,
(4.32)
Ωe
– macierz niekonsystentna (przyjmuje się masy rozłożone w węzłach)
m (e)
⎡m1
⎢0
=⎢
⎢M
⎢
⎢⎣ 0
0
m2
M
0
L 0 ⎤
L 0 ⎥⎥
.
O M ⎥
⎥
L m Ne ⎥⎦
(4.33)