MUMIO Lab 2 ( transformaty, momenty) 1. Funkcja tworzaca
Transkrypt
MUMIO Lab 2 ( transformaty, momenty) 1. Funkcja tworzaca
MUMIO Lab 2 ( transformaty, momenty) 1. Funkcja tworza̧ca prawdopodobieństwa zmiennej losowej X w punkcie t ma postać: PX (t) = E(tX ). Znajdź funkcje tworza̧ce prawdopodobieństwa dla nastȩpuja̧cych rozkładów dyskretnych: P oi(λ) Bin(n, p) (Dwumianowy) Geo(p) (Geometryczny) Rozkład atomowy skupiony w punktach 1, ..., N z prawdopodobieństwami p1 , ..., pN 2. Funkcja tworza̧ca momenty zmiennej losowej X w punkcie t ma postać: MX (t) = E exp(tX). Znajdź funkcje tworza̧ce momenty dla nastȩpuja̧cych rozkładów dyskretnych: (Wsk: MX (t) = PX (etX )) P oi(λ) (Poissona) Geo(p) (Geometryczny) Bin(n, p) (Dwumianowy) rozkład atomowy skupiony w punktach a1 , ..., aN z prawdopodobieństwami p1 , ..., pN 3. Korzystaja̧c z zadania 2 oblicz (różniczkujac , funkcje, tworzac , a, momenty) E(X 2 ), E(X 3 ), E((X − EX)2 ), E((X − EX)3 ) - momenty powyższych zmiennych losowych 4. Znajdź funkcje tworza̧ce momenty dla nastȩpuja̧cych rozkładów cia̧głych: Exp(λ) (wykładniczy) Erlang(n, β) (Erlanga) U [a, b] (jednostajny na odcinku [a, b]) Znajdź pierwsze trzy momenty tych rozkładów, oraz wariancję, używając funkcji tworzących oraz niezależnie z definicji (Spróbuj najpierw wykonać zadanie bez użycia Maple). 5. Funkcja gȩstości rozkładu wektora losowego (X, Y ) dana jest wzorem f(X,Y ) (x, y) = x + y, (x, y) ∈ (0, 1) × (0, 1), oraz równa jest zero poza tym obszarem. Znajdź wykres gestości. Policz , E(X | Y = 0.5). 1