Twierdzenie 2. Niech b ⊲ g. Wtedy Stwierdzenie 10. 〈A, B〉K

Piotr Suwara
Denicja 1
Teoria grup II: 30 marca 2012
(niezmienniczo±¢ formy)
zmiennicza, gdy
. g algebra Liego, forma 2-liniowa h·, ·i na g jest nie-
h[B, A], Ci + hA, [B, C]i = 0 ( ⇐⇒ h[A, B], Ci = hA, [B, C]i).
Twierdzenie 2.
ˆ b⊥
Niech
b / g.
Wtedy
te» jest ideaªem,
ˆ
je±li forma zeruje si¦ na
ˆ
je±li forma jest niezdegenerowana, to
Twierdzenie 3
wtw, gdy
1
(tj.
B1 , B2 ∈ b =⇒ hB1 , B2 i = 0),
b ∩ b⊥
to
. g ⊂ gl(V ).
dla dowolnych
[b, b] ⊂ g⊥ ,
jest przemiennym ideaªem.
(kryterium Cartana dla formy ±ladowej)
Tr AB = 0
Twierdzenie 4
b
Wtedy
g
rozwi¡zalna
A ∈ g, B ∈ [g, g].
.
(kryterium Cartana dla formy killinga) To samo co wy»ej, ale dla formy
Killinga.
Twierdzenie 5.
Niech
a
b¦dzie algebr¡ prost¡. Wtedy istnieje na niej dokªadnie jedna forma
niezmiennicza z dokªadno±ci¡ do proporcjonalno±ci. Forma ta jest niezdegenerowana.
Przykªad 6.
Przykªad 7.
Przykªad 8.
Przykªad 9.
g ⊂ gl(V ), Tr AB
π : g → gl(V ) reprezentacja, Tr π(A)π(B)
ad : g → gl(V ), hA, BiK = Tr ad(A)ad(B)
gl(n) = C1 ⊕ sl(n)
to forma Killinga.
Stwierdzenie 10. hA, BiK = 2nTr AB − 2(Tr A)(Tr B)
Przykªad 11.
t(Cn )
ze ±ladem, w notatkach.
Denicja 12. ⊥ oznacza dopeªnienie ortogonalne dla formy niezmienniczej na g.
Twierdzenie 13. Niech g b¦dzie algebr¡ Liego. NWSR:
ˆ g
póªprosta,
ˆ g
nie posiada niezerowych ideaªów rozwi¡zalnych,
ˆ
forma Killinga jest niezdegenerowana,
ˆ g = a1 ⊕ . . . ⊕ an .
Denicja 14. h·, ·ig to forma Killinga wzgl¦dem algebry g.
Lemat 15. a / g, wtedy hA, Bia = hA, Big dla A, B ∈ a.
Denicja 16 (reduktywno±¢). Mówimy, »e algebra Liego jest
prost¡ algebry póªprostej i przemiennej.
Twierdzenie 17.
ˆ g
ˆ
Niech
g
b¦dzie algebr¡ Liego. NWSR:
reduktywna,
istnieje niezdegenerowana forma niezmiennicza,
ˆ g = a1 ⊕ . . . ⊕ an ,
gdzie
ai
proste lub
K.
reduktywna, gdy jest sum¡