Zasada włączania-wyłączania Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Zasada włączania-wyłączania
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Zasada włączania-wyłączania
TWIERDZENIE
Niech I = {1, 2, . . . , n} będzie zbiorem indeksów. Dla dowolnych skończonych zbiorów A1 , A2 , . . . , An prawdziwa
jest równość
n
X
|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An | =
(−1)k−1 Sk ,
k=1
gdzie Sk =
X
|Ai1 ∩ · · · ∩ Aik |, zaś {i1 , . . . , ik } jest zestawem różnych indeksów występujących w sumie
{i1 ,...,ik }⊂I
dokładnie jeden raz.
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An | =
= |A1 | + |A2 | + |A3 | + . . .
+ |An−2 | + |An−1 | + |An |
− |A1 ∩ A2 | − |A1 ∩ A3 | − . . . − |An−2 ∩ An | − |An−1 ∩ An |
+ |A1 ∩ A2 ∩ A3 | + . . .
+ |An−2 ∩ An−1 ∩ An |
− |A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 | − . . .
− |An−3 ∩ An−2 ∩ An−1 ∩ An |
+...
n+1
(−1)
|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An |
Nieporządki
DEFINICJA
Nieporządkiem nazywamy każdą permutację zbioru, w której żaden element nie został na swoim miejscu (bez
punktów stałych).
TWIERDZENIE
Wszystkich nieporządków zbioru n-elementowego jest n!
n
X
(−1)k
k=2
k!
.
Permutacje z punktami stałymi
TWIERDZENIE
Permutacji zbioru n-elementowego z dokładnie s punktami stałymi jest
n−s
n! X (−1)k
s!
k!
k=2
1