Funkcja gamma Eulera

Funkcja gamma Eulera
styczeń 2014
Funkcja gamma Eulera
Podstawowe definicje. . .
Ψ(z) — pochodna logarytmiczną funkcji gamma Γ(z):
d
ln Γ(z) ≡ Ψ(z),
dz
przy czym definicję Ψ podamy nie dla argumentu z lecz z + 1:
∞ X
1
1
(223)
Ψ(1 + z) = −γ −
−
.
z+k k
(222)
k=1
Dodatkowo
Γ(1) = Γ(2) = 1.
całkujemy definicję (223) względem z 0 od z 0 = 0 do z 0 = z. Mamy
(224)
Z z
∞ X
z+k
z
Ψ(1 + z 0 )dz 0 = −γz −
ln
ln Γ(1 + z) − ln Γ(1) =
−
,
k
k
0
k=1
uwzględniając pierwszy z warunków oraz pozbywając się logarytmów
∞ Y
1
z −z/k
(225)
= eγz
1+
e
.
Γ(1 + z)
k
k=1
Jest to tzw. postać iloczynowa Weierstrassa.
Funkcja gamma Eulera
Wykorzystując drugi z warunków
ln Γ(2) = ln 1 = 0 = −γ −
(226)
∞ X
k=1
1
1+k
−
ln
k
k
.
(227)
γ=
∞ X
1
k=1
1+k
− ln
k
k
=
∞ X
1
k=1
k
− ln
2 3
k+1
· · ... ·
· ....
1 2
k
(228)
γ = lim
n→∞
n
X
1
− ln(n + 1)
k
k=1
!
= lim
n→∞
!
n
X
1
− ln(n) = lim (Hn − ln n).
n→∞
k
k=1
(Zamianę ln(n + 1) → ln(n) usprawiedliwia przejście graniczne.)
Hn to n-ta liczba harmoniczna, analogon funkcji logarytmicznej
w rachunkach zmiennej dyskretnej.
(229)
stała Eulera-Mascheroniego
γ = 0, 57721566 . . . .
Funkcja gamma Eulera
ln n us Hn . . .
1 1 1 1 1
1
1
1 + + + + + + ... +
+
=
2 2 3 3 4
n−1 n
1 1 1
1
1
1
1
1
= 1 + + + + ... + −
1+
= Hn − −
.
2 3 4
n 2
n
2 2n
1
2
Hn ≈ ln n +
1
+ 0, 077.
2
o liczbach harmonicznych =⇒ A.L – Cicer mathematicus . . .
Funkcja gamma Eulera
Podstawowe własności Γ(z)
Wykorzystując definicję (223)
∞ X
1
1
−
Ψ(1 + z) − Ψ(z) =
z+k−1 z+k
k=1
(230)
=
1
1
1
+
+
+ ... −
z
z+1 z+2
1
1
+
+
z+1 z+2
=
1
.
z
Całkując powyższą równość, otrzymujemy
(231)
ln Γ(1 + z) − ln Γ(z) = ln z + ln C,
czyli Γ(1 + z) = Cz Γ(z). Wartość stałej C wynika z warunków
Γ(2) − Γ(1) = 1 − 1 = 0;
(232)
Γ(z + 1) = zΓ(z);
→
C = 1.
aplikując ją n razy
(233)
Γ(z + n) = (z + n − 1)Γ(z + n − 1) = . . . = (z + n − 1)(z + n − 2) . . . zΓ(z),
i kładąc z = 1
(234)
Γ(n + 1) = n!
Funkcja gamma Eulera
A więc gamma Eulera to „analityczne przedłużenie” silni na całą
płaszczyznę zespoloną! Zmieniając w (233) z + n na (z + n + 1),
uzyskujemy raz jeszcze możliwość„wizualizacji” osobliwości
biegunowych gammy
(235)
Γ(z) =
Γ(z + n + 1)
,
z(z + 1) . . . (z + n)
a także policzenia jej residuów
(236)
(−1)n
Γ(z + n + 1)
=
.
z→−n z(z + 1) . . . (z + n − 1)
n!
Res Γ(−n) = lim (z + n)Γ(z) = lim
z→−n
Kolejny ważny wzór to
(237)
Γ(z)Γ(1 − z) =
π
,
sin πz
z którego wynika, po podstawieniu z = 1/2,
(238)
Γ(1/2) =
√
π.
Funkcja gamma Eulera
Wzory podwajające Legendre’a
Będąc przy argumencie z = 1/2, warto podać wzory dla dowolnych
argumentów „połówkowych”. Wykorzystując podstawową własność
gamma (232), mamy natychmiast
1
2n + 1
2n − 1
2n − 1
Γ n+
=Γ
=
Γ
;
2
2
2
2
√
√
(2n − 1)(2n − 3) . . . (3)(1) π
(2n − 1)!! π
1
=
≡
,
Γ n+
2
2n
2n
√
√
1
(2n − 3)(2n − 5) . . . (3)(1) π
(2n − 3)!! π
vΓ n −
=
≡
.
2
2n−1
2n−1
Można zresztą pozostać przy „zwykłych” silniach.
(2n − 1)(2n − 3) . . . (3)(1) =
(2n − 1)(2n − 3) . . . (3)(1) · 2n−1 (n − 1)!
=
2n−1 (n − 1)!
(2n − 1)(2n − 3) . . . (3)(1)(2n − 2)(2n − 4) . . . 2
(2n − 1)!
= n−1
2n−1 (n − 1)!
2
(n − 1)!
Funkcja gamma Eulera
Reprezentacja całkowa
∞
Z
(239)
e−t tz−1 dt,
Γ(z) =
<(z) > 0.
0
Jak wynika z zastrzeżenia, całka we wzorze (239) jest zbieżna tylko
dla dodatniej rzeczywistej części argumentu.
Z ∞
(240)
Γ(x) =
e−t tx−1 dt,
x > 0.
0
Dla x całkowitego, x = n, całkując n-krotnie przez części, znajdujemy
natychmiast potwierdzenie (234)
Z ∞
e−t tn dt = n!
Γ(n + 1) =
0
Szereg modyfikacji –szczególnie popularna
Z ∞
2
(241)
Γ(x) = 2
e−u u2u−1 du;
x > 0,
0
(podstawienie t = u2 ). Popularność tej ostatniej definicji wynika
2
z obecności w funkcji podcałkowej funkcji gaussowskiej e−u .
Funkcja gamma Eulera
Funkcje niekompletne
Z
(242)
γ(x, τ )
=
τ
e−t tx−1 dt,
Z0 ∞
(243)
Γ(x, τ )
=
e−t tx−1 dt.
τ
Oczywiście
(244)
γ(x, τ ) + Γ(x, τ ) = Γ(x).
Funkcja γ(x, τ ) będzie więc ściśle powiązana z dystrybuantą
(skumulowaną gęstością rozkładu prawdopodobieństwa) rozkładu
Gaussa. Ze względu na popularność dystrybuanty gaussowskiej
wprowadzono tzw. funkcję błędu (error function):
Z τ
2
2
1
(245)
erf(τ ) = √
e−t dt = √ γ(1/2, τ 2 ).
π 0
π
Funkcja gamma Eulera
Funkcje niekompletne, c.d.
Z definicji widzimy, że funkcja błędu reprezentuje podwojoną całkę
krzywej gaussowskiej (wartość oczekiwana zero), na prawo od punktu
t = 0 do t = τ . Dla symetrii wprowadza się też funkcję dopełniającą
dla funkcji błędu (error function complement)
Z ∞
2
1
2
e−t dt = √ Γ(1/2, τ 2 ).
(246)
erfc(τ ) = 1 − erf(τ ) = √
π τ
π
Funkcja błędu erf(x) i jej dopełnienie (do jedności) erfc(x) pojawiają
się także w fizyce, w rozwiązaniach równania dyfuzji.
Funkcja gamma Eulera
Funkcja beta Eulera
B(p, q) =
(247)
Γ(p)Γ(q)
.
Γ(p + q)
obliczmy występujący w liczniku ( iloczyn dwóch funkcji gamma:
Γ(p)Γ(q)
Z ∞
Z ∞
=
e−t tp−1 dt
e−s sq−1 ds = . . . t ⇒ x2 , s ⇒ y 2 . . .
0
0
Z ∞
Z ∞
2
−x2 2p−1
= 4
e
x
dx
e−y x2q−1 dy = . . . x = r cos θ, y = r sin θ . . .
0
Z
=
4
0
∞
2
e−r r2p+2q−1 dr
π/2
Z
0
cos2p−1 θ sin2q−1 θdθ
0
Z
=
(por. wzór 241)
= Γ(p + q) 2
π/2
cos2p−1 θ sin2q−1 θdθ.
0
Z
(248)
B(p, q) = 2
π/2
cos2p−1 θ sin2q−1 θ dθ.
0
Funkcja gamma Eulera
beta Eulera
Podstawienie cos θ = t pozwala łatwo uzyskać alternatywną definicję
Z 1
(249)
B(p, q) =
tp−1 (1 − t)q−1 dt.
0
Kolejna zmiana zmiennej całkowania t = u/(u + 1) prowadzi do
jeszcze jednego pożytecznego wzoru-definicji
Z ∞
up−1
du,
(250)
B(p, q) =
(u + 1)p+q
0
który można wykorzystać do wykazania (jeszcze raz) relacji (237)
(251)
B(p, 1 − p) = Γ(p)Γ(1 − p) =
π
.
sin pπ
Funkcja gamma Eulera