(Microsoft PowerPoint - napr\352\277enia.PPT [tryb zgodno\234ci])

Katedra Geotechniki i Budownictwa Drogowego
WYDZIAŁ NAUK TECHNICZNYCH
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski
Mechanika Gruntów
Mechanika
2
dr inż. Ireneusz Dyka
http://pracownicy.uwm.edu.pl/i.dyka
e-mail: [email protected]
Mechanika Gruntów 2
podstawy wzajemnego oddziaływania konstrukcji i podłoża gruntowego
Program ćwiczeń:
1. Naprężenia w ośrodku gruntowym – od siły skupionej. Zadanie domowe nr 1.
2. Naprężenia w ośrodku gruntowym – od obciążenia ciągłego.
3. Naprężenia geostatyczne. Odprężenie gruntu w wykopie.
4. Osiadania fundamentu bezpośredniego.
5. Konsolidacja słabego podłoża.
6. Przepływ wody w gruncie – zadania.
7. Kolokwium nr 1
8. Opór graniczny podłoża - nośność podłoża.
9. Nośność podłoża uwarstwionego.
10. Parcie i odpór gruntu – zadania.
11. Analiza stateczności skarp i zboczy.
12. Nośność pali fundamentowych.
13. j.w.
14. Kolokwium nr 2
15. Kolokwium poprawkowe. Zaliczenie ćwiczeń.
dr inż. Ireneusz Dyka
http://pracownicy.uwm.edu.pl/i.dyka
e-mail: [email protected]
Naprężenie w gruncie
stan naprężenia w gruncie
graficzna interpretacja naprężenia
naprężenie geostatyczne
naprężenie powstałe wskutek działania
obciążeń zewnętrznych
Stan naprężenia w gruncie
Naprężenie - graniczna wartość stosunku siły działającej na
nieskończenie mały element pola przekroju ciała do
wymiaru tego pola:
∆N
σ = lim
∆A → 0 ∆ A
gdzie: σ - naprężenie
N - siła
A - pole przekroju
Przekrój ciała sztywnego (Glazer, 1985)
Wartość naprężenia w dowolnym punkcie przekroju zależy od kierunku
przekroju naprężenie wielkość tensorowa stan naprężenia
Graficzna Interpretacja Naprężenia
W każdym punkcie ciała istnieją trzy wzajemnie prostopadłe
płaszczyzny (nazywane głównymi), w których wartość naprężeń
stycznych równa się zeru, a naprężenia normalne nazywane są
naprężeniami głównymi, wyróżniamy:
największe naprężenie główne σ1
najmniejsze naprężenie główne σ3
pośrednie naprężenie główne σ2
Gdy K < 1, σv = σ1, σh = σ3 i σ2 = σ3 = σh.
Gdy K > 1 σh = σ1, σv = σ3 i σ2 = σ1 = σh.
Gdy K = 1σv = σh = σ1 = σ2 = σ3 występuje izotropowy stan naprężenia.
Naprężenia styczne w każdych dwóch wzajemnie
prostopadłych płaszczyznach są liczbowo sobie równe
.
τh = τv
A
τθ
Kierunek σ3
σ1
Koło Mohra
σθ
θ
C
Znając wartość i kierunek
składowych naprężenia σ1 i σ3,
można wyznaczyć naprężenia
i
styczne
w
normalne
dowolnym kierunku, stosując
następujące związki:
B
σ3
Kierunek σ1
a)
τθ
A (współrzędne σθ, τθ)
σ1 − σ 3
2
θ
σ1 + σ 3
b)
2θ
σθ
Koło Mohra
2
2
2
σ0 =σ1 cos θ +σ3 sin θ =
σ1 +σ3 σ1 −σ3
2
τ θ = (σ 1 − σ 3 )sin θ cos θ =
Graficzne przedstawienie stanu naprężenia
za pomocą koła Mohra:
a) naprężenie działające na element gruntu,
b) wykres Mohra dla stanu naprężenia w danym punkcie A.
+
2
σ1 −σ 3
2
cos2θ
sin 2 θ .
Każde naprężenie możemy rozłożyć na dwie składowe:
prostopadłą do płaszczyzny przekroju nazywaną
naprężeniem normalnym σ
w płaszczyźnie przekroju nazywaną naprężeniem
stycznym τ
Naprężenie geostatyczne
Wartość pionowej składowej naprężenia geostatycznego σγz
wyznacza się ze wzoru:
n
σ γz = ∑ ρ g h i
i =1
gdzie:
ρ - gęstość objętościowa gruntu w każdej warstwie i
hi - miąższość poszczególnych warstw i
g - przyspieszenie ziemskie
Wartość poziomej składowej naprężenia geostatycznego σγx oblicza
się ze wzoru:
σ γx = σ γy = K 0 σ γz
gdzie:
K0 - współczynnik parcia bocznego w spoczynku,
σγz - pionowa składowa naprężenia pierwotnego.
Składowe naprężenia
pierwotnego.
σγz
σγy
σγx
σγx
σγy
σγz = γz
σγz
σγx = σγy = K0σγz
Wartość współczynnika K0 zależy od rodzaju gruntu i historii
jego naprężenia i zmienia się w zakresie 0,2 ÷ 0,6 dla gruntów
normalnie skonsolidowanych i 0,8 ÷ 2,0 dla gruntów
prekonsolidowanych.
Naprężenie pierwotne lub geostatyczne σγz to naprężenie istniejące
w gruncie od ciężaru wyżej leżących warstw.
Zgodnie z zasadą superpozycji naprężenie całkowite σz w gruncie
jest sumą naprężenia pierwotnego σγz i naprężenia od obciążenia
zewnętrznego σqz:
σ z = σ γz + σ qz
W przypadku przyłożenia obciążenia nie na powierzchni
półprzestrzeni, lecz na pewnej głębokości po wykonaniu wykopu,
naprężenie całkowite σz w dowolnym punkcie wyznacza się jako
sumę naprężenia pierwotnego geostatycznego σγz zmniejszonego o
odciążenie wykopem σγz:
(
)
σz = σγz − ∆σγz + σqz
Zasady superpozycji przy wyznaczaniu wielu sił skupionych.
Q1
q
Q2
M
M
σq=f(q)
M
Q
σq=f(Q)
σ1
σ2
σ
Naprężenie od dwóch sił skupionych.
Naprężenie od obciążenia ciągłego.
Naprężenie powstałe wskutek
działania obciążeń zewnętrznych
Rozkład naprężenia w gruncie od pionowej siły skupionej
(rozwiązanie Boussinesq’a – w półprzestrzeni sprężystej:
jednorodnej, izotropowej, γ=0)
σ’R
σR
σz
τxz
σR
σR’
σt
σ R A = σ ′R A′ = σ ′R ⋅
σ ′R = σ R cosβ
Naprężenie wzbudzone siłą skupioną.
A
cos β
σ z = σ ′R cosβ
τ xz = σ ′R sinβ
naprężenie radialne w punkcie M o współrzędnych R,
β równa się:
σR
Q cos β
=k
2
R
naprężenie pionowe normalne σz w tym samym punkcie
wynosi:
3
Q cos β
2
σ z = σ R cos β = k
2
R
Podstawiając cos β =
z
, otrzymuje się:
R
3
Qz
σz =k 5
R
3
oraz k =
2π
Uzyskuje się naprężenie radialne σR równe:
3Q cos β
σR =
2
2πR
i naprężenie pionowe normalne σz (w układzie współrzędnych
walcowych po podstawieniu wartości k i R2 = z2 + r2)
σ
z
=
3Q

 r  
2 π z 1 +   
 z  

2
2
5
2
Rozkład naprężenia w gruncie
od działania obciążenia ciągłego
Zastosowanie superpozycji do
wyznaczania naprężenia od obciążenia
ciągłego.
Q
L=mLi
Obszar obciążony dzieli się na mniejsze
elementy,
w
środku
elementów
przykłada się zastępcze siły skupione.
Wartość
naprężenia
pionowego
normalnego w dowolnym punkcie
ośrodka gruntowego obciążonego
wyznacza się na podstawie wzoru
Boussinesqa:
Q
r
z
B=nBi
R1
σz
σz =
Q=qLiBi
3Q
2

r
2
2πz 1 +   
  z  
5
2
Wyznaczanie naprężenia pod narożem prostokątnego obszaru
obciążonego
y
dQ
L
dy
r
0
Na danym obszarze A wydziela się
nieskończenie mały element o polu dA = dx dy;
elementarna siła dQ = qdA wywołuje w
rozpatrywanym punkcie M na głębokości z
poniżej powierzchni półprzestrzeni elementarne
naprężenie:
dx
x
B
dσ
z
3 dQ
=
2πz 2
z

 r  
1 +   
 z  

2
5
2
M
dσz
Wyznaczanie naprężeń
pionowych od obciążenia
ciągłego za pomocą
elementarnych zastępczych sił
skupionych.
Naprężenie pionowe w rozpatrywanym punkcie
M od obciążenia ciągłego działającego w
obszarze A wynosi:
LB
σz = ∫ ∫
00
3qdxdy
 x +y
2 πz 2 1 +
z2

2
2



5
2
Metoda punktów narożnych umożliwia wyznaczanie naprężenia
pionowego oraz sumy naprężeń głównych pod narożem
prostokątnego obciążonego obszaru według wzorów:
σ zn
(
)
q
LBz L2 + B 2 + 2z 2
LB
=
+ arc tg
= qη n
2 L2 + z 2 B 2 + z 2 L2 + B 2 + z 2
z L2 + B 2 + z 2
(
)(
)
gdzie:
ηn - współczynnik wyznaczany z nomogramu w zależności od
stosunku L:B (długość obszaru obciążonego do jego szerokości)
oraz od stosunku z:B (zagłębienie punktu poniżej powierzchni
do szerokości),
q
- obciążenie ciągłe.
0
0,05
0,100
0,150
0,200
0,250
ηn
a)
A
F
2,0
M
E
D
4,0
B
G
C
H
σ zq = (ηnAFME + ηnFBGM + ηnEMHD + ηnMGCH ) ⋅ q
6,0
b)
A
8,0
D
B
C
H
E
F
G
M
σ zq = (ηnAEMH − ηnBEMG − ηnDFMH + ηnCFMG )⋅ q
10,0
z/B
Nomogram do wyznaczania
współczynnika ηn
Zastosowanie metody punktów narożnych do
obliczania naprężeń w dowolnym punkcie podłoża:
a) naroże wewnątrz obciążonego obszaru,
b) naroże na zewnątrz obciążonego obszaru.
Metodą punktów środkowych można wyznaczyć naprężenie
pionowe pod środkiem prostokątnego obszaru obciążonego,
posługując się wzorem:
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
η0
σ z = η0q
1,0
Wartość σz można również
wyznaczyć, stosując superpozycję
naprężeń pod wspólnym narożem
czterech obciążonych prostokątów
o bokach L i B .
2,0
3,0
2
4,0
5,0
z/B
Nomogram do wyznaczania
współczynnika η0.
2
Metoda pól wpływowych umożliwia wyznaczanie rozkładu
naprężenia pod dowolnie obciążoną powierzchnią, którą dzieli się
współśrodkowymi okręgami o promieniach ri na n promieni
równoważnych pod względem wartości wzbudzonego przez
każde z nich naprężenia pionowego pod środkiem tych kół. Przy
r = ∞, η = 1, σz = q, przy r = 0, η = 0, σz = 0; przyjmując η’ =
1/n, można wyznaczyć promień okręgu pierwszego
wewnętrznego koła wywołującego naprężenie ze wzoru:
ri


1

= z
 
1 
 1 −

n 
 
2
3


− 1



1
2
Następnie można dobrać takie wartości promieni kolejnych
okręgów, aby różnica współczynników ∆η = η – η = const = 1/ η.
Przy założeniu z = const zmienny jest promień ri:

1
ri = z 
 (1 − η
i
)
2
3

− 1

1
2
Nomogram Newmarka umożliwia
wyznaczenie wartości naprężenia
pionowego σz od obciążenia
równomiernie rozłożonego q na
dowolnej powierzchni wg wzoru:
0 1 2 3 4 5 6
7
8
9
M
σ
zn
ww=0,005
gdzie:
= I PW w q
z
IP
Ww - współczynnik wpływu
Q
Nomogram Newmarka.
- liczba pól wpływu
- obciążenie ciągłe
Przy wyznaczaniu naprężenia punktowego, pod którym wyznacza
się naprężenie σz, należy umieścić w środku nomogramu kontur
obciążonego obszaru w skali odpowiadającej danemu zagłębieniu:
1: (z/zn). Następnie oblicza się liczbę pól zakrytych na nomogramie
obszarem obciążonym. wg wzoru:
I cz
I P = Ic +
2
gdzie:
Ic- liczba pól mieszczących się całkowicie wewnątrz konturów
fundamentów
Icz- liczba pól przykrytych częściowo obszarem obciążonym.
Rozkład naprężenia pod fundamentami sztywnymi
a)
b)
qmax
q1
S1
S2
przy qmax
Rzeczywisty
rozkład naprężeń
S2>S1
Teoretyczny
rozkład naprężeń
Z
Z
Rozkład naprężenia pionowego w poziomie posadowienia absolutnie sztywnego fundamentu
a) w początkowym okresie obciążenia, b) przy obciążeniu granicznym.
Teoretyczny rozkład naprężenia w poziomie posadowienia wyznacza
się ze wzoru
q
gdzie:
σ =
1
2
ρ - odległość rozpatrywanego punktu od
2


ρ
środka fundamentu
2  1 − 2 
r - promień podstawy fundamentu
r


Naprężenia pionowe na głębokości z (poniżej poziomu
posadowienia) wyznacza się jako naprężenia średnie
(całkowe) w obrębie prostokąta znajdującego się pod obszarem
obciążanym wg wzoru:
L B
σ zs
1
q
= ∫ σ z dA =
AA
BL
gdzie:
ηsnaprężenia
2 2
∫ ∫ η (x , y )dxdy
n
= qη s
L B
− −
2 2
współczynnik
rozkładu
q
L
z
σzs
σz
Rozkład naprężenia σz i
naprężenie średnie σzs
na głębokości z pod
obszarem prostokątnym
obciążonym
równomiernie
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 ηs
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
z/B
Nomogram do wyznaczania współczynnika η
Rozkład Naprężenia Pod Nasypami
a)
b)
∞
b)
Schemat do wyznaczania naprężenia pionowego σz
w podłożu gruntowym pod nasypem:
a) schemat nasypu,
b) nomogram do wyznaczania współczynnika η.
Obciążenie od nasypu można podzielić na
równomierne
pasmowe
pasmowe trójkątne
Naprężenie w dowolnym punkcie podłoża jest równe sumie naprężeń
od obciążenia równomiernego pasmowego i obciążenia pasmowego
w postaci dwóch prostokątnych trójkątów a mianowicie:
σ z = σ z + σ z + σ z = (η1 + η 2 + η3 )q
1
gdzie:
2
3
η2
- współczynnik odpowiadający obciążeniu pasmowemu o
rozkładzie prostokątnym,
η1 i η3
- współczynnik odpowiadające obciążeniu pasmowemu o
rozkładzie trójkątnym
q
- obciążenie od nasypu (q = γ h).
Odwzorowanie Stanu Naprężenia w Układzie p – q
Przedstawienie na jednym wykresie wielu stanów naprężenia
dokonuje się poprzez nanoszenie punktu, którego współrzędne są
równe:
p =
σ
1
+ σ
2
3
q =
σ
1
− σ
2
3
W większości przypadków naprężenia główne występują na
pionowych bądź na poziomych płaszczyznach, a zatem równania
można napisać w postaci:
p =
σ
v
+ σ
2
h
q =
σ
v
− σ
2
h
Ten sposób przedstawienia stanu naprężenia w gruncie sprowadza się
do naniesienia jednego najwyżej leżącego punktu dla q dodatniego
lub najniżej leżącego punktu dla q ujemnego na kole Mohra.
Ścieżki Naprężenia
Ścieżka naprężenia to linia prosta lub krzywa powstała w wyniku połączenia
szeregu punktów stanu naprężenia naniesionych na wykres, przedstawia ciągłość
kolejnych stanów naprężenia.
a)
b)
τθ
q
Ścieżka naprężenia
E
E
D
D
C
C
B
B
A
σθ
A
p
Przedstawienie kolejnych stanów naprężenia przy zwiększeniu pionowej składowej
naprężenia σ1 i stałej wartości składowej σ3;,
a)
koło Mohra,
b)
b) wykres p –q.
a)
b)
q
q
∆σh=-∆σv
∆σv=0
∆σh<0
E
∆σv>0
∆σh=0
1
1
1
1
F
C
5 3
c)
∆σv=0
∆σh<0
E
q
∆σv>0
∆σh=0
K0
C
Obciążenie
dla σh/σv=K
∆σh=1/4∆σv
K<1
B
A
p
p
K=1
∆σv=∆σh
K>1
Przykład ścieżek naprężeń:
a) początkowo σv = σh,
b) początkowo σv > σh > 0
c) początkowo σv = σh = 0.
p