POLITECHNIKA JIDZKA WydziałFizyki Technicznej, Informatyki i

POLITECHNIKA ×ÓDZKA
Wydzia÷Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej
Kierunek:
Specjalność:
Matematyka
Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa
Elz·bieta Krajewska
Agnieszka Migdalska
Arkadiusz Spychalski
Seminarium 2
Praca zaliczeniowa napisana w Instytucie Matematyki
pod kierunkiem profesora Jana Kubarskiego
×ódź Grudzień 2009
1
1
Iloczyn tensorowy
De…nicja 1 Niech A i B bed
¾ a¾ dowolnymi kategoriami oraz niech dane bed
¾ a¾
funktory kowariantne
:A !B i
: A ! B. Transformacja¾ naturalna¾
funktora w funktor
nazywamy rodzine¾ mor…zmów kategorii B postaci =
( A )A2A która spe÷nia warunki:
(i)
A
2 M orB ( (A) ;
(A)) dla kaz·dego A 2 A
(ii) dla dowolnego mor…zmu
przemienny:
:A
! A0 kategorii A poniz·szy diagram jest
A
!
(A)
( )#
0
(A0 )
A
!
(A)
# ( ) ;
(A0 )
co równowaz·nie moz·na zapisać:
(ii’)
( )
A
=
A0
( ).
Uwaga 2 Warunek (ii) nazywamy warunkiem naturalno´sci transformacji
W przypadku funktorów kontrawariantnych przemienny jest diagram:
(A)
( )"
(A0 )
A
!
0
A
!
.
(A)
" ( ) :
(A0 )
Niech dane bed
¾ a¾ kategorie A i B. Funktorem trzech zmiennych kategorii
A w kategorie B kowariantnym wzgledem
¾
trzeciej zmiennej i kontrawariantnym
wzgledem dwóch pierwszych nazywamy przyporzadkowanie
¾
F, które przypisuje
kaz·dym trzem obiektom A,B,C kategorii A obiekt F (A; B; C) kategorii B, zaś
trzem dowolnym mor…zmom
= M orA (A2 ; A1 ),
= M orA (B2 ; B1 );
=
A
M or (C1 ; C2 ) kategorii A przypisuje mor…zm kategorii B
F ( ; ; ) : F (A1 ; B1 ; C1 ) ! F (A2 ; B2 ; C2 )
taki, z·e zachodza¾ warunki:
(i) nastepuj
¾ acy
¾ diagram jest przemienny:
(A1 ;
1 "
(A2 ;
2 "
(A3 ;
B1 ;
1 "
B2 ;
2 "
B3 ;
C1 ) !
1 #
C2 ) !
2 #
C3 ) !
F (A1 ; B1 ; C1 )
# F( 1 ; 1 ; 1 )
F (A2 ; B2 ; C2 ) ; # F(
# F( 2 ; 2 ; 2 )
F (A3 ; B3 ; C3 )
F (A1 ; B1 ; C1 )
2; 1
2;
1
F (A3 ; B3 ; C3 )
(ii) dla dowolnych A; B; C 2 A zachodzi:
F(iA ; iB ; iC ) = iF(A;B;C) .
2
2
1)
;
Oznaczmy kategorie¾ przestrzeni wektorowej przez V ect, wówczas przestrzeń
mor…zmów z E do F to L (E; F ), M orV ect (E; F ) = L (E; F ). W twierdzeniu
4.7 rozwaz·my dwa funktory trzech zmiennych z kategorii przestrzeni wektorowej
w kategorie przestrzeni wektorowej postaci:
F (E; F; G) = L (E; F ; G)
oraz
G (E; F; G) = L (E; L (F ; G)) .
Funktor pierwszy przypisuje trzem dowolnym mor…zmom
L (F2 ; F1 ) oraz 2 L (G1 ; G2 ) mor…zm
2 L (E2 ; E1 ),
2
F ( ; ; ) : L (E1 ; F1 ; G1 ) ! L (E2 ; F2 ; G2 )
zde…niowany nastepuj
¾ aco:
¾
E1
"
f
F1
"
E2
!
F( ; ; )(f )
F2
!
G1
#
G2
tzn. F ( ; ; ) (f ) =
f (
).
Funktor G przypisuje trzem dowolnym mor…zmom ; ;
j.w. mor…zm
G ( ; ; ) : L (E1 ; L (F1 ; G1 )) ! L (E2 ; L (F2 ; G2 ))
zde…niowany nastepuj
¾ aco
¾ (patrz diagram):
E1
"
E2
g
!
L (F1 ; G1 )
# '( ; ) ;
L (F2 ; G2 )
G( ; ; )(g)
!
gdzie ' ( ; ) jest zde…niowane w taki sposób, z·e diagram jest przemienny:
F1
"
F2
h
!
' ( ; ) (h)
!
G1
# :
G2
×atwo sprawdzić, z·e F i G sa¾ funktorami kowariantnymi wzgledem
¾
trzeciej
zmiennej i kontrawariantnymi wzgledem dwóch pierwszych. Sprawdzimy, z·e
powyz·sze dwa funktory sa¾naturalnie równowaz·ne, przy czym naturalna¾równowaz·ność
stanowi rodzina izomor…zmów
f (E; F; G)gE;F;G2V ect
zde…niowana w twierdzeniu 4:7 nastepuj
¾ aco:
¾
E;F;G
: L (E; F ; G) ! L (E; L (F; G))
E1 ;F1 ;G1
(f ) (x) = fx :
3
(4.1)
Twierdzenie 3 Rodzina izomor…zmów zde…niowana w (4:1) jest równowa·zno´scia¾ naturalna¾ funktorów F i G.
Dowód. Do udowodnienia twierdzenia wystarczy pokazać, z·e poniz·szy diagram jest przemienny
G
F
E1 ;F1 ;G1
:
E2 ;F2 ;G2
:
z
}|
{
L (E1 ; F1 ; G1 )
# F( ; ; )
L (E2 ; F2 ; G2 )
z
}|
{
L (E1 ; L (F1 ; G1 ))
:
# G( ; ; )
L (E2 ; L (F2 ; G2 ))
!
!
Rozwaz·my z÷
oz·enia:
(1) G ( ; ; )
(2)
E1 ;F1 ;G1
(f ) = ' ( ; )
F ( ; ; ) (f ) =
E2 ;F2 ;G2
E1 ;F1 ;G1
E2 ;F2 ;G2
(
(f )
f
: E2 ! L (F2 ; G2 ),
(
)) (f ) : E2
!
L (F2 ; G2 ).
Bierzemy dowolne x 2 E2 . Wówczas z÷oz·enie (1) w punkcie x jest równe:
'( ; )
E1 ;F1 ;G1
(f )
(x) = ' ( ; )
E1 ;F1 ;G1
(f ) ( (x)) = ' ( ; ) f
(x)
.
Natomiast z÷
oz·enie (2) w punkcie x jest równe
E2 ;F2 ;G2
(
f
(
)) (x) = [
f
(
)]x .
Pokaz·emy, z·e
[
f
(
)]x = ' ( ; ) f
(x)
.
Istotnie weźmy dowolny y 2 F2 . Wówczas
[
f
(
)]x (y) = [
f
(
)] (x; y) =
f ( (x) ; (y))
oraz
'( ; ) f
(x)
(y) =
f
(x)
(y) =
zatem diagram jest przemieny.
4
f
(x)
( (y)) =
f ( (x) ; (y)) ;