i = 1, 2, ..., n

Transkrypt

i = 1, 2, ..., n

Metody Numeryczne i Programowanie
Wykład 6.
Strona 1 z 21
Numeryczne metody rozwiązywania zagadnień
początkowych dla równań różniczkowych
zwyczajnych (1)
Zakładamy, że dane jest równanie różniczkowe zwyczajne (ODE) w postaci:
y ′( x ) =
d
y ( x ) = f ( x, y ),
dx
x ∈ [a, b] ,
(7.1)
oraz, że dana jest wartość funkcji y(x) w punkcie x0, to znaczy:
y(x 0 ) = y 0 .
(7.2)
Naszym zadaniem jest znalezienie rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z
zadanym warunkiem początkowym, czyli funkcji, która w zadanym przedziale [a, b] spełnia
równanie różniczkowe (7.1) wraz z warunkiem początkowym (7.2).
Przedziału [a, b] dzielimy na n równych podprzedziałów:
a = x 0 < x1 < x 2 < K < x n − 2 < x n −1 < x n = b ,
(7.3)
gdzie:
x i +1 − x i = h =
b−a
,
n
i = 0,1, K n − 1
(7.4)
jest krokiem, z jakim aproksymujemy poszukiwane rozwiązanie. Podział (7.3) przedziału [a,
b] nazywamy siatką punktów.
Naszym zadaniem jest znalezienie wartości funkcji y(x) w zadanych punktach xi, i = 1,
2, ..., n, czyli znalezieniu wartości yi = y(xi), i =1, 2, ..., n.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Wydział Technologii Chemicznej PP
Strona 1
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 2 z 21
Numeryczne metody rozwiązywania zagadnień
początkowych dla równań różniczkowych
zwyczajnych (2)
Metody jednokrokowe:
Do obliczenia wartości funkcji w punkcie xi – y(xi) wykorzystują wartość tej funkcji w
punkcie xi-1.
-
metody Taylora,
-
metody Rungego – Kutty.
Metody wielokrokowe
Do wyznaczenia kolejnego punktu stanowiącego rozwiązanie wykorzystuje się kilka
wcześniej wyliczonych punktów.
-
metody jawne,
-
metody niejawne.
Mariusz B. Bogacki
Strona 2
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 3 z 21
Metody Taylora (1)
Dane jest zadanie ODE w postaci:
d
y (t ) = f (t , y ),
dt
a ≤ t ≤ b,
y (a ) = y 0 .
(7.5)
Przyjmujemy, że w przedziale [a, b] wyznaczona jest siatka równoodległych punktów t0, t1,
t2, ..., tn, takich, że
t i = a + ih,
h=
b−a
,
n
i = 0,1,2, K , n .
(7.6)
Zakładamy, że funkcja y(t) będąca rozwiązaniem zadania jest różniczkowalna i ma w
przedziale [a, b] ciągłą pierwszą i drugą pochodną.
Dla każdego i = 0, 1 ,2, ..., n-1, y(ti+1) znajdujemy wielomian Taylora:
y (t i +1 ) = y (t i ) + y ′(t i )(t i +1 − t i ) +
(t i +1 − t i )2
2
y ′′(ξ i )
(7.7)
gdzie ξi jest pewną liczbą z przedziału [ti, ti+1].
Wynika stąd tzw. Metoda Eulera:
w0 = y (a ),
(7.8)
wi +1 = wi + hf (t i , wi ),
Mariusz B. Bogacki
Strona 3
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 4 z 21
Metody Taylora (2)
Metoda Eulera
Przykład 7.1.
Dane jest równanie różniczkowe:
y ′ = − y + t + 1,
t ∈ [0,1],
y (0 ) = 1 .
Przyjąć, że przedział [0, 1] podzielony jest na n = 10 podprzedziałów.
Rozwiązanie dokładne: y = t + e − t .
Rozwiązanie
Ponieważ n = 10, to h = 0.1 oraz ti = 0.1 × i, i = 0, 1, ..., 10.
Korzystamy z równania rekurencyjnego
w0 = y (a ),
wi +1 = wi + hf (t i , wi ),
.
gdzie f(t,y) = -y + t +1
y 0 = 1,
y i +1 = y i + h ⋅ f (t i , y i ) = y i + h ⋅ (− y i + t i + 1) =
= y i + 0.1 ⋅ (− y i + 0.1 ⋅ i + 1) =
= 0.9 ⋅ y i + 0.01 ⋅ i + 0.1
dla i = 0, 1, 2, ..., 9.
Mariusz B. Bogacki
Strona 4
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 5 z 21
Metody Taylora (3)
Metoda Eulera
Przykład 7.1.cd.
Tabela 7.1. Porównanie wartości aproksymowanych z dokładnym rozwiązaniem równania
y′ = − y + 7 + 1 . Przyjęto krok całkowania h = 0.1. ε = yi − y (ti ) .
ti
yi
y(ti)
ε
Oszacowanie
błędu
0.0
1.000000
1.000000
0.000
0.000
0.1
1.000000
1.004837
4.837e-3
5.259e-3
0.2
1.010000
1.018731
8.731e-3
1.107e-2
0.3
1.029000
1.040818
1.182e-2
1.749e-2
0.4
1.056100
1.07032
1.422e-2
2.459e-2
0.5
1.090490
1.106531
1.604e-2
3.244e-2
0.6
1.131441
1.148812
1.737e-2
4.111e-2
0.7
1.178297
1.196585
1.829e-2
5.069e-2
0.8
1.230467
1.249329
1.886e-2
6.128e-2
0.9
1.287420
1.30657
1.915e-2
7.298e-2
1.0
1.348678
1.367879
1.920e-2
8.591e-2
Mariusz B. Bogacki
Strona 5
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 6 z 21
Metody Taylora (4)
Metoda Eulera
Przykład 7.1.cd.
y
(t1,y(t1))
y(t1)
(t1,w 1)=(a+h,α+hf(a,α))
y(a)
(t0,w 0)=(a,y(a))
t
t0=a
t1
Rysunek 7.1. Interpretacja geometryczna jednego kroku całkowania metodą Eulera.
1.09
y(x)
1.07
1.05
1.03
1.01
0.99
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
Rysunek 7.2. Porównanie rozwiązania dokładnego oraz przybliżonego uzyskanego metodą
Eulera. Rozwiązywane równanie y ′ = − y + t + 1,
t ∈ [0,1],
y (0 ) = 1 .
■
Mariusz B. Bogacki
Strona 6
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 7 z 21
Metody Taylora (5)
Oszacowanie błędu metody Eulera
Twierdzenie 7.1.
Niech y(t) będzie jednoznacznym rozwiązaniem równania różniczkowego
d
y (t ) = f (t , y ),
dt
a ≤ t ≤ b,
y (a ) = y 0 ,
(7.9)
oraz w1, w2, ..., wn będą aproksymacjami jego rozwiązania generowanymi przez metodę
Eulera. Jeżeli funkcja f spełnia warunek Lipschitza z stałą L w obszarze
D = {(t , y ) : a ≤ t ≤ b,−∞ < y < ∞} ,
(7.10)
oraz istnieje taka stała M, że
y ′′(t ) ≤ M dla każdego t ∈ [a, b] ,
(7.11)
to dla każdego i = 0, 1, 2, ..., n zachodzi:
y (t i ) − wi ≤
(
)
hM L (ti − a )
e
−1 .
2L
(7.12)
■
Wniosek:
Błąd metody Eulera zależy liniowo od wielkości kroku całkowania h. JUeżeli będziemy
zmniejszać krok całkowania h, to powinniśmy uzyskiwać coraz dokładniejsze aproksymacje!
Mariusz B. Bogacki
Strona 7
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 8 z 21
Metody Taylora (6)
Metoda Eulera
Zamiast standardowej metody Eulera
w0 = y (a ),
(7.14)
wi +1 = wi + hf (t i , wi ),
posługujemy się jej wersją zmodyfikowaną:
u0 = α~,
(7.15)
ui +1 = ui + hf (ti , ui ) + δ i ,
gdzie: α~
jest maszynową reprezentacją wartości początkowej,
δi oznacza błędy zaokrąglenia związane z obliczeniem u i +1 = u i + hf (t i , y i ) .
Mariusz B. Bogacki
Strona 8
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 9 z 21
Metody Taylora (7)
Oszacowanie błędu metody Eulera uwzględniające przeprowadzanie obliczeń w
zmiennopozycyjnej arytmetyce maszynowej.
Twierdzenie 7.2.
Niech y(t) będzie jednoznacznym rozwiązaniem równania różniczkowego:
d
y (t ) = f (t , y ),
dt
a ≤ t ≤ b,
y (a ) = y 0 ,
(7.16)
a u0, u1, u2, ..., un będą aproksymacjami otrzymanymi z wykorzystaniem metody (7.15).
Jeżeli δ < δ dla każdego i = 0, 1, ..., n, gdzie δ = α~ − y oraz spełnione są założenia
0
i
0
twierdzenia (7.1), to dla każdego i = 0, 1, ..., n zachodzi:
y (t i ) − u i ≤
1 ⎛ hM δ ⎞ L (ti − a )
+ ⎟e
− 1 + δ 0 e L (t i − a ) .
⎜
L⎝ 2
h⎠
(
)
(7.17)
■
Wniosek
1. Ponieważ
⎛ hM δ ⎞
+ ⎟ = ∞,
lim⎜
h →0
h⎠
⎝ 2
(7.18)
oczekiwać należy dużych błędów dla niewielkich wartości kroku h.
2. Minimalny krok całkowania w metodzie Eulera wynosi:
h=
2δ
.
M
Mariusz B. Bogacki
(7.19)
Strona 9
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 10 z 21
Metody Taylora (8)
Lokalny błąd obcięcia metody
Lokalny błąd obcięcia w każdym kroku całkowania określa jak bardzo rozwiązanie dokładne
równania różniczkowego nie spełnia równania różnicowego użytego w aproksymacji.
Jest to miara dokładności metody w każdym kroku całkowania, przy założeniu, że metoda
była dokładna w poprzednim kroku.
Lokalny błąd metody zależy od:
(i)
rozwiązywanego równania różniczkowego,
(ii)
(ii) wielkości kroku całkowania,
(iii)
(iii) liczby wcześniej wykonanych kroków całkowania.
Mariusz B. Bogacki
Strona 10
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 11 z 21
Metody Taylora (9)
Lokalny błąd obcięcia metody
W przypadku metody Eulera, wynikającej z rozwinięcia poszukiwanego rozwiązania w
wielomian Taylora stopnia drugiego:
y (t i +1 ) = y (t i ) + hf (t i , y (t i )) +
h2
y ′′(ξ i ) ,
2
(7.21)
lokalny błąd obcięcia dany będzie równaniem:
τi =
y i − y i −1
− f (t i −1 , y i −1 ) dla każdego i = 1, 2, ..., n,
h
gdzie yi = y(ti) oznacza dokładne rozwiązanie w punkcie ti.
Stąd:
τi =
h
h
y ′′(ξ i ) ≤ M , t i < ξ i < t i +1 .
2
2
(7.22)
Metoda Eulera należy do metod zbieżnych pierwszego rzędu. Lokalny błąd obcięcia jest O(h).
Mariusz B. Bogacki
Strona 11
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 12 z 21
Metody Taylora (10)
Metody Taylora wyższego rzędu
Załóżmy, że rozwiązanie y(t) równania różniczkowego z warunkiem początkowym:
d
y (t ) = f (t , y ),
dt
a ≤ t ≤ b,
y (a ) = α ,
(7.23)
ma (n + 1) ciągłych pochodnych oraz, że rozwiązanie to, y(t), możemy rozwinąć w wielomian
Taylora stopnia n w otoczeniu punktu ti otrzymując:
h2
y ′′(t i ) + K
2
h n (n )
h n +1 (n +1)
(ξ i ), t i < ξ i < t i +1 .
+
y (t i ) +
y
(n + 1)!
n!
y (t i +1 ) = y (t i ) + hy ′(t i ) +
(7.24)
Kolejno różniczkując rozwiązanie y(t), otrzymamy:
y ′(t ) = f (t , y (t )) ,
(7.25)
y ′′(t ) = f ′(t , y (t )) ,
(7.26)
i w ogólnym przypadku
y (k ) (t ) = f (k −1) (t , y (t )) .
(7.27)
Podstawiając te pochodne do równania (7.24) otrzymamy:
h2
f ′(t i , y (t i )) + K
2
h n (n −1)
h n +1
(t i , y(t i )) +
+
f
f (n ) (t i , y (ξ i )), t i < ξ i < t i +1 .
(n + 1)!
n!
y (t i +1 ) = y (t i ) + hf (t i , y (t i )) +
Mariusz B. Bogacki
Strona 12
(7.28)
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 13 z 21
Metody Taylora (11)
Metoda Taylora rzędu n:
w0 = α ,
wi +1 = wi + hT (n ) (t i , wi ), i = 0,1,2, K n − 1,
(7.29)
gdzie:
T (n ) (t i , wi ) = f (t i , wi ) +
h
h n −1 (n −1)
(t i , wi )
f ′(t i , wi ) + K +
f
2
n!
(7.30)
Lokalny błąd obcięcia w (i+1) kroku całkowania wynosi:
τ i +1 =
y (t i +1 ) − y (t i )
hn
− T (n ) (t i , y (t i )) =
f (n ) (t i , y (ξ i )), t i < ξ i < t i +1 ,
(
)
h
n +1!
(7.32)
dla każdego i = 0, 1, ..., n-1.
Jeżeli y ∈ C n +1 [a, b] , to funkcja y (n +1) (t ) = f (n ) (t , y (t )) jest ograniczona w przedziale [a, b] i
stąd lokalny błąd obcięcia τi = O(hn) dla każdego i = 1, ..., n.
Mariusz B. Bogacki
Strona 13
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 14 z 21
Metody Taylora (12)
Metody Taylora wyższego rzędu
Przykład 7.3.
Rozwiązać stosując metodę Taylora drugiego i czwartego rzędu równanie różniczkowe
y ′ = − y + t + 1,
t ∈ [0,1],
y (0 ) = 1 .
Przyjąć krok całkowania h = 0.1. Rozwiązanie dokładne y(t) = t + e-t.
Rozwiązanie
Tabela
7.1.
Aproksymacja
y ′ = − y + t + 1,
t ∈ [0,1],
rozwiązania
równania
różniczkowego
y (0 ) = 1 za pomocą metody Taylora rzędu pierwszego
(metoda Eulera), drugiego i czwartego.
t
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Wynik
Metoda Eulera
Metoda Taylora n =2
dokładny
Aproksymacja
Błąd
Aproksymacja
Błąd
1
1
0
1
0
1.004837418
1
-4.837e-3
1.005
1.626e-4
1.0187307531
1.01
-8.731e-3
1.019025
2.942e-4
1.0408182207
1.029
-1.182e-2
1.041218
3.994e-4
1.070320046
1.0561
-1.422e-2
1.070802
4.819e-4
1.1065306597
1.09049
-1.604e-2
1.107076
5.451e-4
1.1488116361
1.131441
-1.737e-2
1.149404
5.919e-4
1.1965853038
1.178297
-1.829e-2
1.19721
6.249e-4
1.2493289641
1.230467
-1.886e-2
1.249975
6.463e-4
1.3065696597
1.28742
-1.915e-2
1.307228
6.579e-4
1.3678794412
1.348678
-1.92e-2
1.368541
6.615e-4
Metoda Taylora n = 4
Aproksymacja
Błąd
1
0
1.0048375
8.196e-8
1.0187309014
1.483e-7
1.040818422
2.013e-7
1.0703202889
2.429e-7
1.1065309344
2.747e-7
1.1488119344
2.983e-7
1.1965856187
3.149e-7
1.2493292897
3.256e-7
1.3065699912
3.315e-7
1.3678797744
3.332e-7
■
Mariusz B. Bogacki
Strona 14
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 15 z 21
Metody Rungego – Kutty (1)
Metody Taylora wymagają obliczenia pochodnych z funkcji f(t, y).
W przypadku metody drugiego rzędu:
w0 = α ,
wi +1 = wi + hT (n ) (t i , wi ), i = 0,1,2, K n − 1,
(7.33)
gdzie
T (n ) (t i , wi ) = f (t i , wi ) +
h
f ′(t i , wi ) .
2
(7.30)
Idea powstania metod z grupy Rungego – Kutty polega na zastąpieniu pochodnej jej
aproksymacją. W przypadku metody drugiego rzędu stosujemy aproksymację w postaci
a1 f (t + α 1 , y + β 1 ) , dla której błąd będzie nie większy niż O(h2).
Mariusz B. Bogacki
Strona 15
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 16 z 21
Ponieważ:
f ′(t , y ) =
d
∂
∂
f (t , y ) =
f (t , y ) +
f (t , y ) ⋅ y ′(t ) ,
dt
∂t
∂y
(7.31)
h
f ′(t i , wi ) .
2
(7.30)
to wyrażenie
T (n ) (t i , wi ) = f (t i , wi ) +
przedstawić możemy w postaci:
T (n ) (t , y ) = f (t , w) +
h ∂
h ∂
f (t , y ) +
f (t , y ) ⋅ f (t , y ) ,
2 ∂t
2 ∂y
(7.32)
gdyż y ′(t ) = f (t , w) .
Z drugiej strony z rozwinięcia w szereg Taylora:
∂
∂
f (t , y ) + a1 β 1
f (t , y ) +
∂t
∂y
+ a1 ⋅ R1 (t + α 1 , y + β 1 ),
a1 f (t + α 1 , y + β 1 ) = a1 f (t , y ) + a1α 1
(7.33)
gdzie:
R1 (t + α1 , y + β1 ) =
=
α12 ∂ 2
2 ∂t
2
f (ξ ,η ) + α1β1
∂2
β 2 ∂2
f (ξ ,η ) + 1
f (ξ ,η )
∂t∂y
2 ∂y 2
(7.34)
oraz ξ ∈ [t , t + α 1 ] i η ∈ [ y, y + β 1 ] .
Mariusz B. Bogacki
Strona 16
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 17 z 21
T (n ) (t , y ) = f (t , w) +
h ∂
h ∂
f (t , y ) +
f (t , y ) ⋅ f (t , y ) ,
2 ∂t
2 ∂y
(7.32)
∂
∂
f (t , y ) + a1 β 1
f (t , y ) +
∂t
∂y
+ a1 ⋅ R1 (t + α 1 , y + β 1 ),
(7.33)
a1 f (t + α 1 , y + β 1 ) = a1 f (t , y ) + a1α 1
Współczynniki przy odpowiednich wyrażeniach muszą być sobie równe:
f (t , y ) : a1 = 1 ,
(7.35)
∂
h
f (t , y ) : a1α 1 = ,
2
∂t
(7.36)
∂
h
f (t , y ) : a1 β 1 = f (t , y ) ,
∂y
2
(7.37)
Stąd:
a1 = 1,
h
2
h
β1 = f (t , y ),
2
α1 = ,
Mariusz B. Bogacki
(7.38)
Strona 17
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 18 z 21
Metoda Rungego – Kutty drugiego rzędu:
metoda punktu środkowego
Ostatecznie
w0 = α ,
wi +1 = wi + hT (n ) (t i , wi ), i = 0,1,2, K n − 1,
(7.33)
gdzie:
h
h
⎛ h
⎞
⎛ h
⎞
T (2 ) (t , y ) = f ⎜ t + , y + f (t , y )⎟ + R1 ⎜ t + , y + f (t , y )⎟ ,
2
2
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎠
(7.39)
2
2
h
⎛ h
⎞ h ∂
R1 ⎜ t + , y + f (t , y )⎟ =
f (ξ ,η ) +
2
2
⎝ 2
⎠ 8 ∂t
2
h2
∂2
h2
2 ∂
( f (t , y )) 2 f (ξ ,η ).
+
f (t , y )
f (ξ ,η ) +
4
∂t∂y
8
∂y
(7.40)
oraz:
Ostatecznie:
w0 = α ,
h
h
⎛
⎞
wi +1 = wi + h ⋅ f ⎜ t i + , wi + f (t i , wi )⎟.
2
2
⎝
⎠
Mariusz B. Bogacki
Strona 18
(7.41)
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 19 z 21
W przypadku metody Taylora trzeciego rzędu:
T (3 ) (t , y ) = f (t , y ) +
h
h2
f ′(t , y ) +
f ′′(t , y ) ,
2
6
(7.42)
zastosować będziemy musieli aproksymację postaci:
a1 f (t , y ) + a 2 f (t + α 2 , y + δ 1 f (t , y )) .
(7.43)
Uzyskamy kilka różnych metod z błędem O(h2).
W przypadku zmodyfikowanej metody Eulera przyjmujemy a1 = a2 = ½, α1 = δ2 = h,
a równanie różnicowe w tym przypadku ma postać:
w0 = α ,
h
⋅ [ f (t i , wi ) + f (t i + h, wi + hf (t i , wi ))],
2
i = 0,1,2,K , n − 1.
wi +1 = wi +
(7.44)
Natomiast w przypadku metody Heuna odpowiednie stałe mają wartości a1 = ¼ a2 =
¾, α1 = δ2 = ⅔h, natomiast równanie różnicowe ma postać:
w0 = α ,
wi +1 = wi +
h ⎡
2
2
⎛
⎞⎤
⋅ ⎢ f (t i , wi ) + 3 f ⎜ t i + h, wi + hf (t i , wi )⎟⎥,
4 ⎣
3
3
⎝
⎠⎦
(7.45)
i = 0,1,2,K , n − 1.
Mariusz B. Bogacki
Strona 19
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 20 z 21
Metoda Rungego – Kutty czwartego rzędu:
w0 = α ,
k1 = h ⋅ f (t i , wi ),
h
1 ⎞
⎛
k 2 = f ⎜ t i + , wi + k1 ⎟,
2
2 ⎠
⎝
h
1 ⎞
⎛
k 3 = f ⎜ t i + , wi + k 2 ⎟,
2 ⎠
2
⎝
k 4 = f (t i + h, wi + k 3 ),
(7.46)
h
⋅ [k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ],
6
i = 0,1,2,K , n − 1.
wi +1 = wi +
Lokalny błąd obcięcia tej metody wynosi O(h4) przy założeniu, że rozwiązanie y(t) ma
piątą pochodną ciągłą.
Mariusz B. Bogacki
Strona 20
2009-02-26
Wykład 6.
Strona 21 z 21
Przykład 7.4.
y ′ = − y + t + 1,
t ∈ [0,1],
y (0 ) = 1 .
Przyjąć, że przedział [0, 1] podzielony jest na n = 10 podprzedziałów. Porównać uzyskane
rozwiązanie z rozwiązaniem dokładnym: y = t + e − t .
Rozwiązanie
Tabela 7.2. Metoda Rungego – Kutty czwartego rzędu. Wyniki rozwiązania równania
różniczkowego y ′ = − y + t + 1,
t ∈ [0,1],
y (0 ) = 1 .
ti
Rozwiązanie
dokładne
Aproksymacja RK czwartego rzędu
Błąd
0.0
1.000000000
1.0000000000
0
0.1
1.0048374180
1.0048374106
7.41e-9
0.2
1.0187307531
1.0187307437
9.379e-9
0.3
1.0408182207
1.0408182389
1.819e-8
0.4
1.0703200460
1.070320078
3.198e-8
0.5
1.1065306597
1.1065307001
4.042e-8
0.6
1.1488116361
1.1488116837
4.756e-8
0.7
1.1965853038
1.196585419
1.152e-7
0.8
1.2493289641
1.2493297228
7.587e-7
0.9
1.3065696597
1.3065711133
1.454e-6
1.0
1.3678794412
1.3678811241
1.683e-6
■
Mariusz B. Bogacki
Strona 21
2009-02-26

i = 1, 2, ..., n

Transkrypt

Podobne dokumenty

Rozwiązywanie numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych

4 Metody numeryczne - if univ rzeszow pl

Analiza matematyczna 1 Lista 7 We wzorze Taylora f(x) = ∑ f(k)(a) k

Oferta pracy - Programowanie kariery

Podstawowe procedury numeryczne w języku Turbo Pascal

równanie trzeciego stopnia

Mariusz Stajszczak - Realizacje BestNetSolution

owoce warzywa kwiaty

Metody Monte Carlo Regulamin